2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高三上冊第二次統(tǒng)測（10月）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高三上冊10月月考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．2 D．3．兩個單位向量與滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．如圖，點(diǎn)為正方形的中心，平面平面，且，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線6．已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．在中，，則的長為（

）A．4 B．4或5 C．5 D．8．已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．2二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合造目要求.全部遙對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．最大10．直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．拋物線的焦點(diǎn)為C．若為原點(diǎn)，則 D．若，則11．已知函數(shù)任一對稱軸與其相鄰的零點(diǎn)之間的距離為，若的圖像向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A． B．若在單調(diào)遞增，則C．曲線的一條對稱軸是 D．曲與直線有5個交點(diǎn)12．如圖所示，一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），圓臺的上下底面半經(jīng)分別為3和1，母線長為4，則（

）A．圓臺容器的的容積為B．圓臺的外接球的半徑為C．容器中可放入一個半徑為1.7球體D．圓臺容器內(nèi)放入一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體棱長的最大值為2三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知，若則.14．若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為.15．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.若甲以獲勝的概率不高于甲以獲勝的概率，則的取值范圍為.16．正方體的棱長為，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則平面截正方體所得截面面積的的最大值為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，.(1)證明：;(2)若的面積為，求邊上的高.19．如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面平面(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.20．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若邊的中線長為，求面積的最大值.21．某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為.(1)求及的分布列.(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎機(jī)會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：）22．已知函數(shù)和.(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，求證.1．C【分析】解出集合B中的不等式，得到集合B，再進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.【詳解】由，解得，則有，，所以.故選：C.2．D【分析】將等式整理可得，即可計(jì)算出.【詳解】將整理可得，所以；可得.故選：D3．A【分析】根據(jù)向量夾角公式，以及向量夾角坐標(biāo)公式，或者根據(jù)向量運(yùn)算法則求解畫圖即可.【詳解】法一：，設(shè)與的夾角為，則，又，；法二：根據(jù)，，取，設(shè)，與的夾角為，從而，又，；法三：利用運(yùn)算法則，設(shè)，，，則，如圖，則設(shè)向量與夾角為，則，，，，又，.故選：A4．B【分析】根據(jù)空間中線面之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，平行或相交，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D正確.故選：B.5．A【分析】由題意作出圖形，并連接，結(jié)合已知條件容易證明四邊形為等腰梯形，從而由等腰梯形的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示：連接，點(diǎn)為正方形的中心，則經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以在中，，又，且由正方形性質(zhì)可知，所以，即四邊形為等腰梯形，又為等腰梯形的對角線，所以，且直線是相交直線.故選：A.6．D【分析】由題設(shè)得為正三角形，數(shù)形結(jié)合及投影向量定義即可得答案.【詳解】由得：為中點(diǎn)，的外接圓圓心為，則，又，所以，為正三角形，由投影向量的定義，得向量在向量上的投影向量為.故選：D7．C【分析】根據(jù)倍角公式和正弦定理可得，再根據(jù)角的關(guān)系和三角恒等變換可得，利用正弦定理運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，由正弦定理可得，即，解得，且，可得，則，可得，由正弦定理，可得.故選：C.8．A【分析】由題意得，，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出，在中利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得答案.【詳解】由題意得，，則，，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，當(dāng)時，，得，則，即，所以，，，在中，由余弦定理得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，故選：A

9．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式求解判斷．【詳解】等差數(shù)列，由得，所以正確；，故B正確；，又，可知大于0，故C正確，錯誤.故選：ABC．10．BC【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得準(zhǔn)線和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷AB，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C，由焦半徑公式即可判斷D.【詳解】由，則其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為A錯，B對；聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，則，而，由，即，故C對，顯然直線不過焦點(diǎn)，由拋物線定義有，所以D錯.故選：BC11．AD【分析】利用周期和圖像平移即可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)B；利用正弦函數(shù)的對稱軸即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)圖像即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題意，故，又的圖象向左平移個單位得到，所以，且，故，A正確；令，故易知在單調(diào)遞增，故，B錯；因?yàn)?，則，所以直線不是曲線的一條對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；直線與曲線均過點(diǎn)，且該直線與曲線均關(guān)于該點(diǎn)中心對稱，當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖所示，由對稱性可知曲線與直線有5個交點(diǎn)，故D對.故選：AD12．ACD【分析】對A，根據(jù)軸截面分析和臺體體積公式求解；對B，圓臺外接球的球心在圓臺的軸上，作軸截面，則軸截面等腰梯形的外接圓的半徑即為外接球的半徑，由正弦定理求解；對C，根據(jù)題意可求出圓臺內(nèi)能放置的最大球的半徑；對D，由C知圓臺內(nèi)能放下的最大球的直徑，再根據(jù)該球?yàn)榇苏襟w外接球求解即可.【詳解】圓臺截面為等腰梯形?如圖，可得圓臺的高為，由臺體體積公式可得，故A選項(xiàng)正確.圓臺外接球的球心在圓臺的軸上，作軸截面，則軸截面等腰梯形的外接圓的半徑即為外接球的半徑，等價(jià)于的外接圓的半徑.由上圖可得，由正弦定理得.B選項(xiàng)錯誤.考慮該圓臺是否有內(nèi)切球.圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖，與兩底切（如圖所示）時，球心在兩底面圓心連線們中點(diǎn)，半徑為；接下來驗(yàn)證點(diǎn)到距離，由題意，則，即為直角三角形，所以，解得，故圓臺存在內(nèi)切球，且半徑為，故C選項(xiàng)正確.正方體可以任意轉(zhuǎn)動，則最大正方體應(yīng)是圓臺容器內(nèi)最大球的內(nèi)接正方體，由（3）可知，最大正方體對角線為，所以，最大邊長的值為2，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD13．##【分析】利用二倍角公式計(jì)算出，根據(jù)的范圍求出，再求余弦可得答案.【詳解】，，，又.故答案為.14．【分析】由待定系數(shù)法求解或，即可根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解.【詳解】由題知，圓心在第一象限，設(shè)圓的方程為，代入整理得，解得或，圓心到直線距離為故15．【分析】分別求得甲以獲勝的概率，甲以獲勝的概率，再由求解.【詳解】解：題意可知，甲以獲勝的概率為，甲以獲勝的概率為，因?yàn)?，所以，解得，故的取值范圍?故16．【分析】根據(jù)題意，由條件可得截面的位置為過棱的中點(diǎn)的正六邊形，即可得到結(jié)果.【詳解】相互平行的直線與平面所成的角是相等的，可知在正方體中，平面與直線所成的角是相等的，平面與平面平行，由正方體的對稱性：要求截面面積最大，則截面的位置為過棱的中點(diǎn)的正六邊形（過正方體的中心），邊長為2，所以其面積為.故17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系式求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，時，時，.，，（2）由（1）得，由題得，18．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理以及二倍角公式證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論以及利用正弦定理或余弦定理求出角的值，再根據(jù)三角形面積公式以及等面積法求解即可.【詳解】（1）證明：，由正弦定理，及余弦定理得，①，又，②由①②得，，.（2）由（1）得，，（或由余弦定理得）的面積，設(shè)邊上的高為，則的面積，，即邊上的高為.19．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)線線垂直即可求證線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求證法向量垂直.（2）根據(jù)二面角的平面角可得進(jìn)而得，利用等體積法即可求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）法一：取中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接與，則，且又為中點(diǎn)，，且，四邊形是平行四邊形，.在正三棱柱中，平面平面，，又為等邊三角形，，又平面，平面，又平面，平面平面，法二如圖，以原點(diǎn)，垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則又平面的法向量為，，平面平面（2）方法一：取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，，是二面角的平面角，又平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，即點(diǎn)到平面的距離為.方法二：由（1）得，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，則又平面的法向量為，二面角的大小為，由于，，又，點(diǎn)到平面的距離為.20．(1)的最小正周期，的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式，化簡得，再由三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的肯定答案；（2）由函數(shù)解出，利用、余弦定理，結(jié)合基本不等式解出，由此利用三角形的面積公式可得答案.【詳解】（1），，故的最小正周期，由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）得，，即，，又，，，，當(dāng)僅時取等號，面積，面積的最大值為.21．(1)，分布列見解析；(2)，證明見解析；(3)所得獎券數(shù)額的期望約為593.7元.【分析】（1）利用古典概型求出抽到紅球、黑球的概率，求出，再求出的可能值及對應(yīng)概率列出分布列.（2）分析求出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法證明即可.（3）由（2）的結(jié)論，利用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【詳解】（1）依題意，抽到一個紅球的概率為，抽到一個黑球的概率為0.4，顯然的值為25，50，則，所以，又的值為，則，所以的分布列為：25501000.40.240.36（2）依題意，當(dāng)時，甲第n次抽到紅球所得的獎券數(shù)額為，對應(yīng)概率為，抽到黑球所得的獎券數(shù)額為25元，對應(yīng)概率為，因此當(dāng)時，，，即，又，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為1.2，首項(xiàng)為90.（3）由（2）得，，即，所以顧客甲抽獎6次，所得獎券數(shù)額的期望為（元）.思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在