2023-2024學年吉林省通化市輝南縣高二上冊第一次半月考數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年吉林省通化市輝南縣高二上冊第一次半月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．設，向量，，且，則（

）A． B． C．3 D．42．若，，，則的形狀是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不等邊銳角三角形3．已知空間中三點，，，則（

）A．與是共線向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是4．如圖,在四面體中,是的中點,是的中點,則等于（

）A． B．C． D．5．已知空間三點，，，若，且，則點的坐標為（

）A． B．C．或 D．或6．已知空間中三點，，，則點C到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．7．如圖，在一個的二面角的棱上有兩個點，，分別連接線段、在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，且，，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為1的正方體中，，分別是線段，上的點，是直線上的點，滿足平面，，且、不是正方體的頂點，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9．以下命題正確的是（

）A．直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；B．直線l的方向向量，平面的法向量，則；C．平面的法向量分別為，則；D．平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則．10．在長方體中，??分別為棱??的中點，，，則正確的選項是（

）A．異面直線與所成角的大小為60°B．異面直線與所成角的大小為90°C．點到平面的距離為D．點到平面的距離為11．以下命題正確的是（

）A．若是平面的一個法向量，直線b上有不同的兩點A，B，則的充要條件是B．已知A，B，C三點不共線，對于空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點共面C．已知，，若與垂直，則D．已知的頂點坐標分別為，，，則AC邊上的高BD的長為12．在直三棱柱中，，，分別是的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（

）A．平面B．若是上的中點，則C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角最小時，線段長為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為14．如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD與△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：①；②∠BAC＝60°；③三棱錐D﹣ABC是正三棱錐；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正確結(jié)論的序號是．（請把正確結(jié)論的序號都填上）15．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為．16．如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是．四、解答題（本大題共2小題，共20.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．如圖，在正方體中，M，N分別為棱和的中點，求CM和所成角的余弦值．18．如圖，四面體中，、分別、的中點，，．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值的大??；(3)求點到平面的距離．附加題19．如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，是的重心，，分別為，上的點，且.（1）求證：平面平面；（2）求證：是直線與的公垂線；（3）求異面直線與的距離.1．C【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.2．D【分析】根據(jù)已知求出三條邊長排除A,B選項，再根據(jù)余弦定理計算最大角可以判斷C,D選項.【詳解】因為，，，所以的三條邊都不相等，也不滿足勾股定理，故排除A，B．因為的最大邊為，所以角C為的最大內(nèi)角，又，故角C為銳角，即為銳角三角形．故選：D．3．D【分析】根據(jù)共線向量、單位向量、空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，由，，，所以與不共線，所以A錯誤；對于B，的單位向量為，所以B錯誤；對于C，，所以，所以C錯誤；對于D，設平面的法向量是，則，將，，代入驗證滿足方程組，所以D正確．故選：D4．C【分析】因為在四面體中,是的中點,是的中點,,即可求得答案.【詳解】在四面體中,是的中點,是的中點故選:C.本題主要考查了向量的線性運算,解題關(guān)鍵是掌握向量基礎(chǔ)知識和數(shù)形結(jié)合,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】設點坐標，由可解出坐標，再用空間向量模長公式即可.【詳解】設，則，，因為，所以，，，所以，又，解得或，所以或，故選:C6．A【分析】根據(jù)點到直線的向量坐標公式計算即可求解．【詳解】依題意得則點C到直線AB的距離為故選：A7．A【分析】利用向量法求得的長.【詳解】，兩邊平方得：，，，所以的長為.故A8．B【分析】依題意建立空間直角坐標系，設，，即可表示的坐標，再連結(jié)，可證平面，即可得到則即可得到，設，則，即可得到，即可表示的坐標，最后根據(jù)向量模的坐標表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：如圖，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，1，，設，，，，則，，，，連結(jié)，正方體中，是正方形，平面，，，又，平面，平面，平面，，又，1，，，，，，，，，，設，則，，，，，即，，，，，，當時，的最小值是．故選：．9．AD【分析】按照線線垂直、線線平行、面面平行的向量表示以及平面的法向量依次判斷4個選項即可.【詳解】，直線l與m垂直，A正確；，或，B錯誤；不共線，所以與不平行，故C錯誤；，向量是平面的法向量，，即，則，D正確．故選：AD．10．BC【分析】建立空間直角坐標系，求出，后，由可判斷A、B；求出平面的一個法向量后，由點到平面的距離為可判斷C、D.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，連接，則，，，，，所以，，所以，所以，所以異面直線與所成角的大小為90°，故A錯誤，B正確；又，，設平面的一個法向量，則，令，則，則點到平面的距離為，故C正確，D錯誤.故選：BC.關(guān)鍵點點睛：（1）建立合理的空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角；（2）轉(zhuǎn)化點到平面的距離為方向向量在平面法向量方向上投影的絕對值.11．BD【分析】舉出反例可判斷A；由空間向量的線性運算轉(zhuǎn)化條件為，即可判斷B；由空間向量垂直的坐標表示可判斷C；由空間向量夾角的坐標表示可得，再由即可判斷D.【詳解】對于A，若直線，則成立，故不是的必要條件，故A錯誤；對于B，若，則，所以，所以，，，四點共面，故B正確；對于C，由題意可得，，若與垂直，則，解得，故C錯誤；對于D，由題意，，則,,所以,所以邊上的高,故D正確.故選：BD.12．ACD【分析】由題意寫出空間中的點的坐標，利用與平面法向量的數(shù)量積等于零可判斷A；根據(jù)可判斷B；求出平面的一個法向量，利用空間向量數(shù)量積求線面角可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法可判斷D.【詳解】由題意可得，，，，，，，設，，，直三棱柱中，，可得為平面的一個法向量，為平面的一個法向量，對于A，，，即，又平面，所以平面，故A正確；對于B，若是上的中點，則，所以，所以與不垂直，故B不正確；對于C，由為平面的一個法向量，，設直線與平面所成角為，則，故C正確；對于D，設，則，當時，即時，取最大值，即直線與直線所成角最小，此時，，故D正確.故選：ACD13．3【分析】由向量的夾角公式列方程求解.【詳解】向量，，∴，，．又夾角的余弦值為，∴，解得．故答案為:．14．②③【分析】①由折疊的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，數(shù)量積為零，②由折疊后AB＝AC＝BC，三角形為等邊三角形，得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC，根據(jù)正三棱錐的定義判斷．④平面ADC和平面ABC不垂直．【詳解】BD⊥平面ADC，?BD⊥AC，①錯；AB＝AC＝BC，②對；DA＝DB＝DC，結(jié)合②，③對④錯．故答案為②③本題主要考查折疊前后線線，線面，面面關(guān)系的不變和改變，解題時要前后對應，仔細論證，屬中檔題．15．【詳解】試題分析：因為，所以，即，故．16．以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點、、、，所以，，，，設向量滿足，，由題意可得，解得，取，則，，可得，因此，.故答案為.關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線、的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標，再利用距離公式求解即可.17．【分析】以D為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】以D為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，不妨設正方體邊長為2，則所以,設CM和所成角為，則,所以CM和所成角的余弦值為.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用等腰三角形和勾股定理得到與，垂直，即可得證；（2）（3）利用第一步得到的三線垂直，建立空間坐標系，容易找到各點坐標，從而得到所需向量和法向量，代入公式即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，，，，在中，由題設知，，，，，即，，平面，平面；（2）解：以為原點，如圖建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，0，，，異面直線與所成角的余弦值大小為（3）解：由（2）知：，．設平面的