2023-2024學年江蘇省南京市高二上冊期初考試數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年江蘇省南京市高二上冊期初考試數(shù)學模擬試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知直線與直線平行，則的值為（

）A． B．1 C． D．03．在長方體中，已知點P為線段的中點，且，，，則直線與AP所成的角為（

）A． B． C． D．4．開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星H看作一個質(zhì)點，H繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星P在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星C的近日點距離和遠日點距離之和是20（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是81，則（

）A．181 B．97 C．52 D．195．已知向量，滿足，且，則，夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知圓臺的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．7．已知角，且，則（

）A． B．或 C． D．或8．已知A，B是圓C：上的兩個動點，且，若，則點P到直線AB距離的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為120°B．經(jīng)過點，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．直線l：恒過定點D．已知直線l過點，且與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則△AOB面積的最小值為410．已知圓M：，圓N：，則下列選項正確的是（

）A．直線MN的方程為B．若P?Q兩點分別是圓M和圓N上的動點，則的最大值為5C．圓M和圓N的一條公切線長為D．經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小的圓的面積為11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則是銳角三角形C．若，，，則符合條件的有兩個D．對任意，都有12．在邊長為2的正方體中，M，N分別是BC，的中點，則（

）A．AM與為異面直線B．C．點到平面的距離為2D．若點Q為線段上的一動點，則的范圍三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.13．若橢圓的離心率為，則m的值為.14．已知向量，的夾角為，且，，則在上投影向量的坐標為.15．在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為“塹堵”.已知三棱柱為一“塹堵”，其中，，，且該“塹堵”外接球的表面積為，則該“塹堵”的高為.16．若直線l：與曲線C：有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17．在△ABC中，，，.(1)求BC邊的高線所在的直線的方程；(2)過點A的直線l與直線BC的交點為D，若B?C到l的距離之比為1：2，求D的坐標.18．如圖，在三棱錐中，底面ABC，.

(1)求證：平面平面PBC；(2)若M是PC的中點，二面角的大小為45°且，求直線與平面所成角的正切值.19．在①；②；③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中且滿足___________.(1)求角C的大??；(2)若△ABC的面積為，求△ABC的周長.20．已知圓C經(jīng)過?兩點，且圓心在直線上.(1)求圓C的標準方程；(2)過點的直線l與圓C相交于P?Q兩點，且，求直線l的方程.21．如圖，在正方體中，點E?F分別為棱?的中點，點P為底面對角線AC與BD的交點，點Q是棱上一動點.

(1)證明：直線∥平面；(2)證明.22．已知橢圓E：的左右焦點分別為，，過的直線l交橢圓E于P，Q兩點（點P位于第三象限），點P關(guān)于原點O的對稱點為R.當時，的面積為1，且.(1)求橢圓E的方程；(2)若的面積為，求直線l的方程.1．B【分析】先化簡z，再直接寫出虛部.【詳解】由題可得，則的虛部為，故選B．2．A【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可直接求出的值.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.3．B【分析】根據(jù)題意分析可知直線與AP所成的角即為（或其補角），進而在中，運算求解即可.【詳解】因為∥，則直線與AP所成的角即為直線與AP所成的角，如圖，連接，可知直線與AP所成的角即為（或其補角），則，因為平面，平面，則，在，可知，且為銳角，則，所以直線與AP所成的角為.故選：B.

4．A【分析】根據(jù)橢圓定義以及性質(zhì)得出長半軸與半焦距的方程組并求解即可.【詳解】設(shè)某行星運行軌道（橢圓）的長半軸長和短半軸長分別為，則半焦距為，所以行星C的近日點距離為，遠日點距離為，由題意，解得，所以.故選：A5．A【分析】根據(jù)題意利用數(shù)量積的運算律可得，代入夾角公式運算求解即可.【詳解】因為，即，解得，所以，夾角的余弦值為.故選：A.6．D【分析】根據(jù)圓臺的軸截面，結(jié)合正切函數(shù)的定義、圓臺表面積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示圓臺的軸截面，

過點作，因此有，因為母線與下底面所成為角的正切值為，所以，該圓臺的表面積為，故選：D7．C【分析】根據(jù)題意利用倍角公式可得，進而可得，進而利用誘導公式運算求解.【詳解】因為，則，可知，且，解得，則，可得，所以.故選：C.8．D【分析】設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得，再根據(jù)結(jié)合幾何關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：圓C：的圓心，半徑，則，設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，因為，解得，分別過P、C作，垂足分別為，再過C作，垂足為，顯然當P、C位于直線AB的同側(cè)時，點P到直線AB的距離較大，

則，當且僅當，即直線AB與直線PC垂直時，等號成立，所以點P到直線AB距離的最大值為7.故選：D.9．ACD【分析】對于A：先求斜率，進而可得傾斜角；對于C：整理得，令，運算求解即可；對于B、D：設(shè)直線l：，進而可得截距，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；對于選項C：因為，整理得，令，解得，所以直線l恒過定點，故C正確；對于選項B、D：可知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l：，令，解得，即直線l在y軸上的截距為；令，解得，即直線l在x軸上的截距為；對于B：若在x，y軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故B錯誤；對于D：直線l與x，y軸正半軸交于點A?B兩點，則，可知，可得面積，當且僅當，即時，等號成立，所以△AOB面積的最小值為4，故D正確；故選：ACD.10．AD【分析】根據(jù)題意求圓M、N的圓心與半徑.對于A：根據(jù)兩點式方程運算求解；對于B：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對于C：根據(jù)切線的性質(zhì)運算求解；對于D：當為直徑的圓時，經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小，運算求解即可.【詳解】由題意可知：圓M：的圓心，半徑，圓N：，的圓心，半徑，對于選項A：直線MN的方程為，即，故A正確；對于選項B：因為，所以的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，可知圓M與圓N外切，如圖，直線為兩圓的公切線，為切點坐標，過A作，垂足為，

則為矩形，可得，所以公切線長為，故C錯誤；對于選項D：當為直徑的圓時，經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小，此時圓的面積為，故D正確；故選：AD.11．ABD【分析】由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可判斷A；根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可判斷B；由正弦定理及三角形性質(zhì)可判斷C；由三角形內(nèi)角性質(zhì)及余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A選項，由，根據(jù)正弦定理得，（為外接圓半徑），即，則，故A正確；對于B，，所以，所以，所以三個數(shù)有個或個為負數(shù)，又因最多一個鈍角，所以，即都是銳角，所以一定為銳角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理得，則，又，則，知滿足條件的三角形只有一個，故C錯誤；對于D，因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故D正確；故選：ABD12．BCD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算逐項計算判斷即可.【詳解】以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，，，，對于A，因為，，則，所以，所以四點共面，所以AM與不是異面直線，故A錯誤；對于B，，，則，所以，所以，故B正確；對于C，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，又，所以點到平面的距離為，故C正確；對于D，點Q為線段上的一動點，則設(shè),，所以，則，，則，因為，所以，所以，所以，又，所以，即的范圍，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點點睛：對于立體幾何中的動點問題（范圍問題），往往建立空間直角坐標系，把幾何的角（距離）的范圍問題轉(zhuǎn)化向量夾角（距離）問題，但要注意轉(zhuǎn)化的等價性和公式的準確性.13．【分析】根據(jù)橢圓的離心率公式進行求解即可.【詳解】因為，所以該橢圓的焦點在橫軸上，所以所以有，因為該橢圓的離心率為，所以，故14．【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)在方向上的投影向量為計算可得.【詳解】因為，所以，又向量與的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.因為，所以在方向上的投影向量.故答案為.15．【分析】三棱柱補成長方體，可知三棱柱的外接球即為長方體的外接球，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】如圖，將三棱柱補成長方體，

則三棱柱的外接球即為長方體的外接球，設(shè)球的半徑為，該“塹堵”的高為，由題意可得，解得，所以該“塹堵”的高為.故答案為.16．【分析】根據(jù)題意分析可得曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為，可得，且，所以曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，直線l：過定點，斜率為，如圖所示：

當直線l過時，可得；當直線l：與曲線C相切，則，解得；所以實數(shù)k的取值范圍是.故答案為.17．(1)(2)或【分析】（1）先求直線BC的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系可得高線所在的直線斜率，進而可得結(jié)果；（2）先求直線的方程，分類討論直線l的斜率是否存在，利用點到直線的距離公式可得直線l的方程，進而可求交點坐標.【詳解】（1）由題意可知：直線BC的斜率為，則BC邊的高線所在的直線斜率為，所以BC邊的高線所在的直線方程為，即.（2）由（1）可知直線的方程為：，即，若直線l的斜率不存在，則直線l：，可知B?C到l的距離分別為，不合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l：，即，由題意可得：，即或，當，則直線l：，聯(lián)立方程，解得，即；當，則直線l：，聯(lián)立方程，解得，即；綜上所述：D的坐標為或.18．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線線垂直得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由題意求出的長，過點作于，連接，則為直線與平面所成的角，然后在中可求得結(jié)果【詳解】（1）因為PA⊥底面，平面，所以，因為∠ABC＝90°，所以，因為,平面，所以平面，因為平面，所以平面平面PBC.（2）由（1）可知平面，平面，所以，因為，所以為二面角的平面角，所以，令，則，如圖，過點作于，因為平面平面，平面平面，平面，

則平面，且為的中點，連接，則為直線與平面所成的角，在中，,在中，，M是PC的中點，則，因為平面，平面，所以.在中，，，則直線與平面所成角的正切值為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化化簡，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由可得，從而可得，由正弦定理可得，結(jié)合三角形的面積公式即可求得，再由余弦定理即可求得.【詳解】（1）若選①，因為，所以，即，所以，所以，且，則；若選②，因為，所以，即，化簡可得，所以或（舍），即；若選③，因為，所以，化簡可得，，即，且，則；（2）因為，則，解得，且，由正弦定理可得，，即，又因為，即，所以，則，由余弦定理可得，，則，所以三角形的周長為.20．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運算求解；（2）利用數(shù)量積的定義及直角三角形求出圓心到直線的距離，利用點到直線距離公式求解斜率，即可求解直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓C的標準方程為，可知其圓心為，由題意可得，解得，所以圓C的標準方程為.（2）由題意，過點的直線l與圓C相交于P?Q兩點，且，則，所以，所以，所以圓心C到直線l的距離，由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線為，即，所以，化簡得，解得或，所以直線l的方程為或.

21．(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）建系，利用空間向量可得∥，再結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）由空間向量的坐標運算可得，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，以為坐標原點，分別為軸所在的直線，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，可得，可知，則∥，且平面，平面，所以∥平面.

（2）設(shè)，則，可得，由（1）可知：，因為，所以.22．(1)(2)或.【分析】（1）由對稱性得到，求出