2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高二上冊11月期中摸底數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高二上冊11月期中摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為（

）A． B． C． D．4．直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相交但直線不過圓心 B．相切C．相離 D．相交且直線過圓心5．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A．1 B． C． D．6．直線分別交軸和于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．7．以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（

）A．圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于B．曲線與曲線，恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)8．已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．圓與圓恰有三條公切線，則D．已知圓，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)10．對(duì)于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B．若數(shù)列為等比數(shù)列，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為13D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列11．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．離心率C．面積的最大值為D．以線段為直徑的圓與直線相切12．?dāng)?shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為．14．點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為.15．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長為．16．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求；(2)若為與的等比中項(xiàng)，求．18．已知直線(1)當(dāng)時(shí)，直線過與的交點(diǎn)，且垂直于直線，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)到直線的距離d的最大值.19．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且滿足，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.20．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0.(1)求橢圓的方程；(2)求直線的斜率.21．已知圓，過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，圓是以線段為直徑的圓．(1)求圓的方程；(2)設(shè)，圓是的內(nèi)切圓，試求面積的取值范圍．22．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）如圖，過作斜率為的兩條直線，分別交橢圓于，且證明：直線過定點(diǎn)并求定點(diǎn)坐標(biāo)1．C【分析】由題意結(jié)合直線的斜率公式求出該直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2．A【分析】由兩直線垂直求得的值，根據(jù)充分條件，必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩條直線分別為與，兩條直線互相垂直，反之，由與直線垂直，，解得或，則不能推出，所以”是“直線與直線垂直的充分不必要條件.故選：A3．C【分析】根據(jù)可得，表示出和，解不等式即可.【詳解】由，可得，而，所以，，，可轉(zhuǎn)化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C4．A【分析】要判斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關(guān)系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5．D【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．6．C【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線交軸和于兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程【詳解】直線分別交軸和于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得，所以點(diǎn)、，則直線的方程為，化簡得故選這是一道考查直線性質(zhì)的題目，解題的關(guān)鍵是求出直線的截距，然后求出直線方程．7．B【分析】選項(xiàng)A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來確定所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；選項(xiàng)B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項(xiàng)C利用圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點(diǎn)的距離的最小值問題；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，求出切線的方程即可判斷．【詳解】解：選項(xiàng)A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因?yàn)閳A與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑

，同時(shí)兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，D正確．故選：B．8．A【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，代入即可.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.9．BCD將直線的方程進(jìn)行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系比較即可判斷選項(xiàng)B；由題意知兩圓外切；由圓心距等于半徑即可求得值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，因?yàn)?、分別為過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：即，由可得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.結(jié)論點(diǎn)睛：（1）圓和圓的公共弦的方程為兩圓的方程相減即可.（2）已知，，以線段為直徑的圓的方程為：.10．AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和公式判斷A，B的正誤；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和公式判斷C，D的正誤即可.【詳解】解：對(duì)于A，若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對(duì)于B，若數(shù)列為等比數(shù)列，若公比時(shí)，；若公比時(shí)，則，所以，故B不正確；對(duì)于C，若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對(duì)于D，若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則公差，所以，假設(shè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，，且互不相等，則，所以，所以，因?yàn)?，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設(shè)不成立，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列，故D正確.故選：AD.11．AD【分析】根據(jù)橢圓方程求得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯(cuò)誤；其中面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD12．ABC【分析】根據(jù)題意求得，得到的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，即可判斷A；求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判定B正確；根據(jù)為奇數(shù)和偶數(shù)，求得，可判定C正確；結(jié)合時(shí)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以的奇?shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為，，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，即C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，，此時(shí)，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.13．##【分析】由裂項(xiàng)相消法求解，【詳解】，的前8項(xiàng)和為．故14．【分析】計(jì)算，設(shè)直線方程為，計(jì)算，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】如圖所示：，故，設(shè)直線方程為.，，故，根據(jù)相似計(jì)算得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到：，解得或當(dāng)時(shí)，直線和圓不相交，舍去，故.故答案為.

本題考查了圓的切線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15．【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長為圓的直徑，求出公共弦長.【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故答案為.16．【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為.17．(1)；(2).【分析】（1）由已知條件，列式后解方程組，求數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再求通項(xiàng)公式；（2）首先由題意得，，代入通項(xiàng)公式后，求.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18．(1)(2)【分析】（1）計(jì)算兩直線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直得到直線斜率，得到直線方程.（2）確定直線過定點(diǎn)，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即最大距離，計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線：，：，則，解得交點(diǎn)又由直線l垂直于直線，而直線的斜率，兩直線垂直得斜率乘積為，得到又因?yàn)橹本€l過與的交點(diǎn)，直線l的方程為，即（2）直線：過定點(diǎn)，又，點(diǎn)M到直線的距離d的最大值為19．(1)，(2)【分析】（1）計(jì)算等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量即可寫出通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)題意利用分組轉(zhuǎn)化即可進(jìn)行求和.【詳解】（1）由已知，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，解得：，所以因?yàn)?，，?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，所以解得：，，所以所以（2）由已知所以20．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓過點(diǎn)列出方程即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由以代替求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率即可得解.【詳解】（1）由題意知，故可設(shè)橢圓方程為，

由在上可得，，解得或（舍去），故所求橢圓的方程為.（2）設(shè)直線，，把代入橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，從而得點(diǎn)，在上式中以代替，得，即直線的斜率為.21．(1)或(2)【分析】（1）設(shè)出直線，根據(jù)已知求出弦心距，從而求出直線的方程.再根據(jù)兩圓相交時(shí)，圓心連線與交線垂直得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得結(jié)果；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，可從（1）中結(jié)果中任選一種解答，根據(jù)已知可得，三邊所在的直線就是圓的切線，設(shè)出切線方程，可以表示出斜率和t的關(guān)系，A，B兩點(diǎn)都在y軸上，則以AB做底，高就是C點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A半徑為，，所以圓心到直線的距離，即，解得，當(dāng)時(shí)，過與直線垂直的直線與交點(diǎn)為，所以圓方程為當(dāng)時(shí)，過與直線垂直的直線與交點(diǎn)為，所以圓方程為即所求圓方程為或（2）由圓的性質(zhì)可知，只研究圓方程為時(shí)即可設(shè)與圓相切，則有，即有，從而有設(shè)與圓相切，則有，即有，從而有聯(lián)立直線，由得，所以當(dāng)時(shí)，.22．（1）；（2）證明見解析，恒過定點(diǎn)．【分析】（1）利用橢圓過點(diǎn)，以及離心率為．求出，，即可得到橢圓方程．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，然后求解．當(dāng)直線斜率存