2023-2024學(xué)年吉林省四平市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省四平市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或12．已知，，，則平面ABC的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．3．若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．6 B．或 C． D．或4．“點(diǎn)在圓外”是“直線與圓相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交圓于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．7．已知橢圓：，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，則稱為矩形的外接橢圓，已知邊長(zhǎng)為4的正方形的外接橢圓的短軸長(zhǎng)為，則的方程為（

）A． B．C． D．8．已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，.以下各組值中能使得的是（

）A．， B．，C．， D．，10．若直線過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能為（

）A． B．C． D．11．已知圓，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓心為 B．半徑為2C．圓與直線相離 D．圓被直線所截弦長(zhǎng)為12．已知橢圓分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)有4個(gè)C．直線與直線的斜率乘積為定值D．橢圓C內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．直線的傾斜角的是．14．點(diǎn)到直線的距離為．15．以為圓心，且經(jīng)過(guò)的圓的方程是.16．已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)F作直線交C于A，B兩點(diǎn)，連接（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D，若，則橢圓的離心率為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在中，已知，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.18．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的一般方程；(2)若圓和圓C相交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長(zhǎng).19．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為直角梯形，，．

(1)求證；；(2)若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線，的斜率分別記為，，若，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，橢圓（）的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求使取最小值時(shí)直線的方程．22．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.2．A【分析】代入法向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.3．D【分析】根據(jù)離心率的計(jì)算公式，分焦點(diǎn)的位置，討論即可求解．【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故選：D．4．B【分析】求出給定的兩個(gè)命題的充要條件，再分析即可判斷得解.【詳解】命題p：點(diǎn)在圓外等價(jià)于，命題q：直線與圓相交等價(jià)于，從而有，所以p是q的必要不充分條件.故選：B5．A【分析】寫出直線的方程，求圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為即又圓即，所以圓心，半徑則圓心到直線的距離直線被圓截得的弦故選：6．D【分析】設(shè)，先得到的值，再代入的余弦定理計(jì)算可得，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于橢圓有，設(shè)，則根據(jù)橢圓的定義得，又，解得，.故選：D.7．B【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為，則，即，所以橢圓方程為，又正方形的邊長(zhǎng)為4，由橢圓與正方形的對(duì)稱性可知，正方形的其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.8．C【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設(shè)，則，，，

在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.9．BC【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示列式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證判斷作答.【詳解】向量，，于是當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，A不是；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，B是；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，C是；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，D不是.故選：BC10．ABC【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入各方程判斷是否在直線上，再求直線在x、y軸上的截距，即可得答案.【詳解】A：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為1，符合；B：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為3，符合；C：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為0，符合；D：不在上，不符合.故選：ABC11．BD【分析】把方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)和半徑，可判定A錯(cuò)誤，B正確；由點(diǎn)到直線的距離公式，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可判定D正確.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，可知圓心，半徑，故A錯(cuò)誤，B正確；由圓心到直線的距離，即，直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，所以D正確.故選：BD.12．CD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)以及余弦定理可得在橢圓的上下頂點(diǎn)處，最小，最大，進(jìn)而可判斷AB,由斜率公式可判斷C，根據(jù)三角換元可判斷D.【詳解】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為，則，，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，此時(shí)在橢圓的上下頂點(diǎn)處，最小，最大，對(duì)于A,當(dāng)在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，，故不存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,當(dāng)在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，的最小值為，此時(shí)為鈍角，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知：當(dāng)為直角時(shí)，此時(shí)有4個(gè)滿足位置的點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，滿足條件的有2個(gè)，同理為直角時(shí)，也有2個(gè)滿足條件的，故當(dāng)為直角三角形時(shí)，有8個(gè)滿足滿足條件的，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，,所以,故C正確，對(duì)于D，設(shè)不妨設(shè)是橢圓在第一象限得的內(nèi)接矩形的一頂點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知橢圓的內(nèi)接矩形的四個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故矩形的周長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，在橢圓上，此時(shí)周長(zhǎng)最大為8，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)在短軸上，不能構(gòu)成矩形，故周長(zhǎng)大于4，故周長(zhǎng)的范圍為，故D正確，故選：CD13．【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故答案?14．【分析】根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故答案為.15．【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把代入圓方程即可求出參數(shù)，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A心，故可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以所求圓的方程為.故16．【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形滿足的邊關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由故，由,所以四邊形為平行四邊形，由于，進(jìn)而可得四邊形為矩形，設(shè)，則，因此，在直角三角形中，,即，解得，所以，故，故，即，故17．（1）；（2）.【分析】（1）由直線方程的兩點(diǎn)式可得；（2）先求直線方程，再求到的距離，最后用面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1），，邊所在的直線方程為，即；（2）設(shè)到的距離為，則，，方程為：即：..18．(1)(2)【分析】（1）由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得圓心C在直線上，又圓心在直線上，聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，從而求得結(jié)果；（2）將兩圓方程相減求得相交弦方程，求得原點(diǎn)O到直線MN的距離結(jié)合勾股定理求得弦長(zhǎng).【詳解】（1）由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得圓心C在直線上，又∵圓心C在直線上，∴圓心C的坐標(biāo)為設(shè)圓C的半徑為r，則，故圓C的方程為.化成一般方程為.（2）圓O與圓C的方程聯(lián)立，得到方程組，兩式作差，得，即為直線MN的方程.原點(diǎn)O到直線MN的距離又圓O的半徑為2，∴由勾股定理得故.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫虼耍?（2）解：因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，，所以，、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則，因此，平面與平面的夾角的余弦值為.20．（1）；（2）是定值，此定值為3．【分析】（1）據(jù)題意得，解方程即可得答案；（2）設(shè)，，由題知，再結(jié)合點(diǎn)，在橢圓上得，進(jìn)而解得，，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離即可得答案.【詳解】解：（1）由題意可知，解得．所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，則，，由，所以，即，因?yàn)?，在橢圓上，所以，整理得，所以，則為定值．本題考查橢圓的方程的求解，橢圓中的定值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)出點(diǎn)，，進(jìn)而根據(jù)題意得方程，，聯(lián)立求解即可.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或．（Ⅰ）由離心率及，可得出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程；（Ⅱ）進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，分別將直線與的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出和的表達(dá)式，然后利用弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出取得最小值時(shí)k的值，最后寫出直線的方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知，，又，解得，，所以橢圓方程為；（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在時(shí)，由題意知，不滿足條件；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，設(shè)，，將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得，則，，所以，同理，，所以+=≥，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，所以直線AB的方程為或．易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，對(duì)于第二問(wèn)，應(yīng)該對(duì)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計(jì)算能力，屬于中檔題.22．(1)(2)點(diǎn)在定直線上【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，可得出，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出，再利用橢圓的短軸長(zhǎng)可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線方程，可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)，則，且，所以，，則，故①，又②，

聯(lián)立①②，解得，，故橢