2023-2024學(xué)年寧夏石嘴山市高二上冊期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年寧夏石嘴山市高二上冊期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．2．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．若直線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．4．圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交5．直線：被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．6．一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，則反射光線所在直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．7．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．8．臺風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，若城市B在A地正東40km處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（

）A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．直線的方向向量可以是（

）A． B． C． D．10．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則11．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．離心率C．面積的最大值為D．以線段為直徑的圓與直線相切12．（多選）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PAC B．平面EFCC．點(diǎn)F到直線CD的距離為 D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程是.14．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知，，若，，則的值是.16．已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為,，且以線段,為直徑的圓與直線相切，則橢圓C的離心率為.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點(diǎn)的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．18．已知在正三棱錐P－ABC中，點(diǎn)M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，記，，.(1)分別用，，來表示向量，；(2)若，，是兩兩垂直的單位向量，求向量與的數(shù)量積.19．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC邊上的高所在直線的一般式方程；(2)求△ABC的面積．20．已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．21．將沿它的中位線折起，使頂點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，得到如圖所示的四棱錐，且，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．22．已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.1．A【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A2．B【分析】依據(jù)斜率計(jì)算傾斜角即可.【詳解】直線的斜率為，則由，知，即故選:B．3．B【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件可得.【詳解】由題意可知，解得.故選：B.4．D【分析】根據(jù)方程確定圓心和半徑，再由圓心距與半徑和差的關(guān)系判斷圓的位置關(guān)系即可.【詳解】由，則，半徑，由，則，半徑，所以，即兩圓相交.故選：D5．B【分析】求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，再求出圓心到直線的距離，最終利用弦長公式即可求解.【詳解】由圓，得圓心，半徑為，則，圓心到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長為.故選：B6．C【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)，直線即為反射光線所在直線，由直線方程中令得縱截距．【詳解】關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線為.因?yàn)?，所以反射光線所在直線的方程為.令，得反射光線所在直線在軸上的截距為.故選：C．7．D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.8．B【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，則直線被圓截得弦長為，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為，選B.點(diǎn)睛：圓的弦長問題，處理直線與圓的弦長問題時(shí)多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：9．BD【分析】首先求直線的斜率，寫出其中一個(gè)方向向量為，再求與其共線的向量，即可求解.【詳解】由題意可知，直線的斜率，所以直線的一個(gè)方向向量為，并且和向量平行的向量為，當(dāng)時(shí)，向量為.故選：BD10．AC【分析】對于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對于C，兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．AD【分析】根據(jù)橢圓方程求得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯(cuò)誤；其中面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD12．AD【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面EFC的法向量，利用向量垂直條件及線面垂直的判定定理及線面平行的向量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及點(diǎn)到面的距離的向量公式即可求解.【詳解】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可知，，，，，，，所以，，，.因?yàn)?，所以，即，所以，?又，所以平面PAC，故A正確；設(shè)平面EFC的法向量為，則，即，令，則，所以.因?yàn)?，所以，故B不正確；設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線CD的距離為，故C不正確；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.故選：AD.13．【分析】設(shè)所求方程為：，再將點(diǎn)代入求解.【詳解】解：設(shè)所求方程為：，因?yàn)樗笾本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，故所求直線方程為：，故14．【分析】根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題可知：所以故15．或1【分析】根據(jù)題意，由向量模的坐標(biāo)表示，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，解得：或，因此?故或1.本題主要考查由空間向量的模與數(shù)量積求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.16．【分析】根據(jù)直線與圓相切知，圓心到直線的距離等于半徑，可得關(guān)于的方程，再利用離心率的計(jì)算公式可得.【詳解】橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為,,以線段,為直徑的圓的圓心為，半徑為，根據(jù)直線與圓相切可得，圓心到直線的距離等于半徑，則有，即，可得，橢圓的離心率為.故17．(1)(2)【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共線所在直線的距離，根據(jù)弦長的幾何求法即可求得答案.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過圓與圓交點(diǎn)的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長為.18．(1)，；(2)【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知，；（2）由（1）可知，若，，是兩兩垂直的單位向量，則，所以.19．（1）x＋5y＋3＝0；（2）S△ABC＝3【詳解】試題分析：求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡單的方法是求出一邊的長以及這邊所在直線的方程，高線長利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求出面積.試題解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，所以BC邊上的高所在直線方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0.(2)由兩點(diǎn)間的距離公式，得|BC|＝，BC邊所在的直線方程為y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，所以點(diǎn)A到直線BC的距離d＝，故S△ABC＝.已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求面積，最簡單的方法是求出一邊的長以及這邊所在直線的方程，高線長利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求出面積,還可求出三邊長借助海倫公式去求；求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.20．(1)(2)和【分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，圓心在線段的垂直平分線上，故聯(lián)立兩直線方程，求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，得到圓的方程；（2）設(shè)出切線方程，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出，得到切線方程.【詳解】（1）的中點(diǎn)為，，所以線段的垂直平分線方程為，由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解之得所以圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由題意斜率不存在時(shí)不滿足，所以設(shè)切線方程為即由已知得解得所以切線方程為和21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）只需證明，；（2）的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求平面與平面的夾角.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹形痪€，所以．因?yàn)椋?，，又，所以平面．?）由（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以．又平面平面，所以平面，且．以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，．所以，．設(shè)是平面的法向