2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共60分）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，且，則向量在向量上的向量為（

）A．1 B．-1 C． D．4．根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級以上大風(fēng)的概率為0.2，則在刮四級以上大風(fēng)的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為（

）A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.95．已知，，則（

）A．25 B．5 C． D．6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.用2個(gè)陽爻，4個(gè)陰爻，可以組成（

）種不同的重卦.A．6 B．15 C．20 D．247．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．8．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且為偶函數(shù)，，則不等式成立的是（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9．已知，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，將的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．是圖像的一個(gè)對稱中心C．是奇函數(shù) D．在區(qū)間上的值域?yàn)?1．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．12．如圖所示的幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，設(shè)是圓弧的中點(diǎn)，是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．不存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得平面D．不存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角為第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若離散型隨機(jī)變量滿足：，則隨機(jī)變量的期望．14．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長為2，則實(shí)數(shù)的值是.15．已知圓錐的底面直徑為，軸截面為正三角形，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.16．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的演算步驟?證明過程及文字說明.17．在中，角所對的邊分別為已知.（1）求A的大??；（2）如果，求的面積.18．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.19．如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.20．新高考改革后廣西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生5000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試?滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布.①估計(jì)5000名學(xué)生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語的可信度.附：，，.21．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的左頂點(diǎn)作直線與橢圓相交，另一交點(diǎn)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．B【分析】解一元二次不等式化簡，根據(jù)交集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由，得，則，所以.故選：B2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.故選：C．3．C【分析】利用投影向量的求法即可.【詳解】由題知，因?yàn)?，，所以，所以，向量在向量上的投影向量為?故選：C.4．A【分析】利用條件概率的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)發(fā)生中度霧霾為事件，刮四級以上大風(fēng)為事件，依題意，，，，則在刮四級以上大風(fēng)的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為.故選：A5．D【分析】將轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，然后代入目標(biāo)式，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由得，即，故選：D.6．B【分析】只需從6個(gè)位置中選取2個(gè)位置放置陽爻，則問題得解.【詳解】要滿足題意，則只需從6個(gè)位置中選取2個(gè)位置放置陽爻即可，故滿足題意的重卦有種.故選：B.7．C【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用時(shí)，值為正即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；當(dāng)時(shí)，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.故選：C8．B【分析】構(gòu)造，求得導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，結(jié)合的奇偶性，可得所求結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，可得在上遞增，又為偶函數(shù)，則，，，，由，可得，即有.故選：B.思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.9．ACD【分析】令可求得可判斷A；寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得可判斷B；令，求得，進(jìn)而求得可判斷C；由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，然后令可得出所求式子的值，可判斷D．【詳解】因?yàn)?，令，得，故A正確；展開式的通項(xiàng)為，則，故B錯(cuò)誤；令，得，故C正確；展開式的通項(xiàng)為，則，其中且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，可得，故D正確.故選：ACD.10．AB【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)周期，從而可求得，由函數(shù)的平移變換可得函數(shù)的解析式，然后對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，∴周期，∴，A正確；函數(shù)的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位，可得，，B正確；易判斷為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，在區(qū)間上的值域?yàn)?，D錯(cuò)誤．故選：AB11．AC【分析】當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去；再分、求得漸近線的斜率，再根據(jù)離心率定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩漸近線的斜率為，此時(shí)直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，如圖1所示，

.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)P，

，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.12．ABC【分析】由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，對于根據(jù)平面，當(dāng)重合即可判定；對于根據(jù)平面而是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，即可判定；對于，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面的法向量和垂直即可判定結(jié)果；對于,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角最大，求出夾角正弦值，進(jìn)一步分析即可.【詳解】由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，如圖示：

對于因?yàn)檎襟w中，平面,平面，所以所以當(dāng)重合時(shí)，由故正確；對于因?yàn)?若，則,又,則重合，而是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，不可能重合，所以不成立，故正確；對于,以為原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則令，得，則假設(shè)平面，則所以因?yàn)?，所以即是圓弧的中點(diǎn)，符合題意，故正確；對于,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成角最大，因?yàn)樗源藭r(shí)直線與平面的所成角的正弦值為，由，得直線與平面的所成角的最大角大于，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角為，故錯(cuò)誤.故選：13．2【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式即可求解．【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量滿足：，所以隨機(jī)變量的期望是．故2．14．【詳解】根據(jù)給定條件，利用幾何法求弦長列式求解作答.圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，依題意，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.故15．##【分析】根據(jù)軸截面圖形，求出圓錐內(nèi)切球半徑R即可得解．【詳解】依題意，圓錐內(nèi)半徑最大的球?yàn)閳A錐內(nèi)切球，如圖作出軸截面，圓O和AC相切于點(diǎn)D，

因?yàn)槭钦切?，所以，，，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，在中可得，，所以，解得，球的體積為.故答案為.16．【分析】根據(jù)拋物線的定義和幾何性質(zhì)，可得，，可得，進(jìn)而可得的最大值為.【詳解】

如圖，過點(diǎn)作，過作，設(shè)，，則由拋物線的定義知，，由題意知，因得，，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，，所以，故17．（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理的變形：即可求解.（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式求出，由三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）。由余弦定理可得，又因?yàn)?，所?（2）由，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，，所以的面積.本題考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.18．(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求得和公比后可得通項(xiàng)公式；（2）按奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分組求和．【詳解】（1）由題知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然，則有由①÷②得，所以，代入①得，所以；（2）由（1）可得，所以.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）欲證明一條直線平行于一個(gè)平面，只需證明該直線平行于平面內(nèi)的一條直線即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算線面角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，則，，∴四邊形為平行四邊形，所以，∵平面，平面，平面；（2）在平面中過點(diǎn)作于，連接，∵平面平面，平面平面，∴平面，由菱形，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，解得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，綜上，直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)種(2)①4093人；②不可信【分析】（1）結(jié)合分類加法原理根據(jù)排列組合列式計(jì)算即可；（2）①由正態(tài)分布的對稱性求出成績介于120分到300分之間概率即可估計(jì)人數(shù)；②根據(jù)正態(tài)分布的原則判斷即可.【詳解】（1）甲乙兩個(gè)學(xué)生必選語文?數(shù)學(xué)?外語，若另一門相同的選擇物理?歷史中的一門，有種，在生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)共種方法；（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測試的成績記為，則，由題知，，，則，所以，所以估計(jì)5000名學(xué)生中成績介于120分到300分之間有4093人；②不可信.，則，5000名學(xué)生中成績大于430分的約有人，這說明5000名考生中，會(huì)出現(xiàn)約7人的成績高于430分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分”，說法錯(cuò)誤，此宣傳語不可信.21．(1)(2)證明見解析【分析】(1)由條件列方程求，由此可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的斜率為，由條件求出,，的坐標(biāo)，再證明即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，依題意得：所以，而所以根據(jù)橢圓的定義得：，即又因?yàn)樗?/p>

所以的方程為；（2）因?yàn)?，所以三點(diǎn)不共線，所以設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由得：又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗灾本€的方程為：，由

得：所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)所以所以即所以所以所以故直線與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，且該圓方程為．即直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．本題解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的坐標(biāo).22．(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)解析式求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，點(diǎn)斜式求切線方程；（2）