安徽省六校教育研究會2024屆高三上學(xué)期入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省六校教育研究會2024屆高三上學(xué)期入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，等價于，解得或，故或，所以.故選：B.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，則，.故選：A3.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，故，解得，所以，故.故選：D4.已知向量，，且，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩邊平方得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C5.已知，，若動點滿足，直線與軸、軸分別交于兩點，則的面積的最小值為（）A. B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，由可得，化簡可得，故動點的軌跡為圓心為，半徑為的圓，圓心到的距離為，故圓上的點到直線的最小距離為，由于，所以，故的面積的最小值為，故選：D.6.設(shè)為等比數(shù)列，則“對于任意的，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，當(dāng)時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞減數(shù)列.當(dāng)時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時此時為遞減數(shù)列.反之，若為遞減數(shù)列，則，所以“對于任意的，”是“為遞減數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.7.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為〖答案〗C〖解析〗由已知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，無最小值(m范圍為開區(qū)間).故選：C.8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，由于，所以的定義域為，，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得，所以不等式的解集是.故選：A二、選擇題9.為了解中學(xué)生參與課外閱讀的情況，某校一興趣小組持續(xù)跟蹤調(diào)查了該校某班全體同學(xué)10周課外閱讀的時長，經(jīng)過整理得到男生、女生這10周課外閱讀的平均時長（單位：h）的數(shù)據(jù)如下表：女生7.07.37.57.88.48.68.99.09.29.3男生6.16.56.97.57.78.08.18.28.69.4以下判斷中正確的是（）A.該班男生每周課外閱讀的平均時長的平均值為7.85B.該班女生每周課外閱讀的平均時長的80%分位數(shù)是9.0C.該班女生每周課外閱讀的平均時長波動性比男生小D.由該班估計該校男生每周課外閱讀的平均時長不低于8h的概率為0.5〖答案〗CD〖解析〗由表可知，該班男生每周課外閱讀的平均時長的平均值為，故A錯誤；因為，則該班女生每周課外閱讀的平均時長的80%分位數(shù)是，故B錯誤；由表可知，該班女生每周課外閱讀的平均時長的極差為，該班男生每周課外閱讀的平均時長的極差為，所以該班女生每周課外閱讀的平均時長波動性比男生小，故C正確；由表可知，估計該校男生每周課外閱讀的平均時長不低于8h的概率為，故D正確；故選：CD10.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為81ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為27ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度與排氣時間（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系，其中（為常數(shù)）.（注：）若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，人就可以安全進入車庫了.則（）A. B.C.排氣20分鐘后，人可以安全進入車庫 D.排氣24分鐘后，人可以安全進入車庫〖答案〗AD〖解析〗由題意可設(shè)，則，此時為常數(shù)，由，得，則，即，，故A正確,B錯誤；把代入，得，又，，由，得．由于，故排氣24分鐘后，人可以安全進入車庫，則C錯誤，D正確．故選：AD.11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.是周期函數(shù)B.的值域是C.在上是增函數(shù)D.若方程有3個不同實根，則〖答案〗AB〖解析〗由題意，列出部分定義域函數(shù)，所以部分定義域的，如圖：可得函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域為，在上單調(diào)遞減，故選項A、B正確，C錯誤；對于選項D，若方程有3個不同實根，則的圖象與直線有3個交點，又直線恒過點，結(jié)合圖象知，或，故選項D錯誤.故選：AB.12.如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.的周長最小值為C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A選項，連接，由于為的中點，所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項，把沿著展開與平面同一個平面內(nèi)，連接交于點，則的最小值即為的長，由于，，，，所以，故，的周長最小值為，B錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點，連接，過點作垂直于于點，則為的中心，點在上，過點作⊥于點，因為，所以，同理，則，故，設(shè)，故，因為∽，所以，即，解得，C正確；D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設(shè)小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項可知，其高為，由C選項可知，是正四面體的高，過點且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項可知，正四面體內(nèi)切球半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.故選：ACD.三、填空題13.第六屆進博會招募志愿者，某校高一年級有3位同學(xué)報名，高二年級有5位同學(xué)報名，現(xiàn)要從報名的學(xué)生中選取4人，要求高一年級和高二年級的同學(xué)都有，則不同的選取方法種數(shù)為______.（結(jié)果用數(shù)值表示）〖答案〗65〖解析〗由題意，要求高一年級和高二年級的同學(xué)都有，則有.故〖答案〗：6514.18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家辛卜森運用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體統(tǒng)一體積公式（其中，，，分別為的上底面面積、下底面面積、中截面面積和高），我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題：如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為1cm的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為______.〖答案〗〖解析〗如圖：設(shè)上下截面小圓圓心分別為E，F(xiàn)，上底面截面小圓上一點A，連接OA，因為球的表面積為，所以球的半徑，所以，又，，所以截面小圓半徑，根據(jù)“萬能求積公式”可得所求幾何體的體積為：.故〖答案〗為：15.已知、為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點在第一象限且與點關(guān)于軸對稱，，直線交雙曲線的右支于點，若，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由得，從而有，，又，所以，又由得，則，即，所以，所以.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①的圖象關(guān)于點對稱；②的圖象關(guān)于直線對稱；③是周期函數(shù)；④的最大值為.其中正確結(jié)論有______.（請?zhí)顚懶蛱枺即鸢浮舰佗邰堋冀馕觥綄τ冖伲椎?，即的圖象關(guān)于點對稱，①正確；對于②，，即的圖象不關(guān)于直線對稱，②錯誤；對于③，，顯然是的一個周期，即③正確；對于④，，令，令，即在時取得極大值也是最大值，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，故④正確.故〖答案〗為：①③④四、解答題17.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角大小；（2）若的中點為且，求的最大值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，所以，所以，又，所以，所以，又，所以；（2）設(shè)，則在中，由知，由正弦定理得，所以，，又，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以的最大值為.18.如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為下底面圓周上異于，的點.（1）點為線段的中點，證明：直線平面；（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面夾角的正弦值.（1）證明：取中點，連接，則有，，如圖：在等腰梯形中，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面.（2）解：過點B作于，在等腰梯形中，，所以梯形的高，所以等腰梯形面積為，所以四棱錐的體積，解得，所以點與重合，以為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有，故，，設(shè)平面的法向量，故，令，解得，得，設(shè)直線與平面所求角的大小為，則.所以直線與平面夾角的正弦值為.19.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令得；令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意有兩個零點，令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以有兩個零點等價于有兩個零點，等價于有兩個不同的實數(shù)解，等價于與有兩個交點，則，得，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)t趨向于0且為正時，趨向于負(fù)無窮大，當(dāng)t趨向于正無窮大時，趨向于0，如圖：由圖可知，要使與有兩個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.20.為紀(jì)念成立102周年，學(xué)校某班組織開展了“學(xué)黨史，憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學(xué)至少答對1題）.若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立.求：（1）若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；（2）若第一次由甲組答題，記第次由甲組答題的概率為，求.解：（1）設(shè)第1次由甲組答題記作事件A，第1次由乙組答題記作事件，第2次由乙組答題記作事件B，因為答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)分別為，，，，，，，所以答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為，所以答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為，則；（2）第次由甲組答題，是第次由甲組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件與第次由乙組答題第次繼續(xù)由甲組答題的事件和，它們互斥，又各次答題相互獨立，所以第次由甲組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，第次由乙組答題，第次繼續(xù)由甲組答題的概率為，因此，則，因為第一次由甲組答題，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即21.設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，且，.令，記為數(shù)列的前項積，為數(shù)列的前項和.（1）若，，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求.解：（1）因為，所以，解得，所以，又，所以，整理化簡得，解得或，所以或，又，所以或（舍去），所以，所以.（2）因為為等差數(shù)列，所以，即，解得或，所以或，所以或，①當(dāng)時，，易知是等差數(shù)列，所以，，又，所以，所以，解得；②當(dāng)時，，易知是等差數(shù)列，所以，，又，所以，解得，舍去；綜上，.22.已知拋物線（為常數(shù)，）.點是拋物線上不同于原點的任意一點.（1）若直線與只有一個公共點，求；（2）設(shè)為的準(zhǔn)線上一點，過作的兩條切線，切點為，且直線