專題1.16 有理數（分類討論問題）（培優(yōu)練）-2023-2024學年七年級數學上冊全章復習與專題突破講與練（滬科版）

專題1.16有理數（分類討論問題）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·河北邢臺·七年級邢臺三中?？计谥校┫铝惺菙档姆诸?，正確的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）點、在同一條數軸上，其中點表示的數為1，若點到點的距離為4，則點表示的數是（

）A．3 B．5 C．3或 D．5或3．（2023秋·重慶豐都·七年級統(tǒng)考期末）位于直線l上的線段，則兩點間的距離是（）A． B． C．或 D．不能確定4．（2022秋·四川眉山·七年級校聯考期中）點、、在同一條數軸上，其中點、表示的數分別為、，若點到點的距離為，則點到點的距離等于（

）A． B． C．或 D．或5．（2022秋·六年級單元測試）在數軸上，與對應的點距離為個單位的點表示的數是（

）A． B．或 C． D．6．（2023秋·全國·七年級專題練習）滿足的整數共有（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022秋·浙江湖州·七年級校聯考階段練習）已知點A是數軸上的一點，它到原點的距離為3，把點A向左平移7個單位后，再向右平移5個單位得到點B，則點B到原點的距離為（

）A．3或7 B．3或5 C．1或3 D．1或58．（2022秋·浙江杭州·七年級校聯考期中）若，則的值為（

）A．0或1 B．或0 C． D．9．（2023秋·七年級單元測試）已知有理數a，c，若，且，則所有滿足條件的數c的和是（）A．﹣6 B．2 C．8 D．910．（2023秋·全國·七年級專題練習）若滿足方程，則等于（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·全國·七年級專題練習）已知、均為數軸上的點，到原點的距離為，點到點的距離為個單位長度，且在的左邊，則點表示的數為．12．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數軸上有三個點A、B、C，若點A、B表示的數互為相反數．（1）圖中點C表示的數是；（2）若點D在數軸上，且，則點D表示的數為．13．（2023秋·全國·七年級專題練習）已知點、點、點是同一條數軸上的三個點，且，若點在數軸上表示的數是1，則點在數軸上表示的數是．14．（2022秋·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀c、、是數軸上不重合的三個點，點表示的數為，點表示的數為3，若、、三個點中，其中一點到另外兩點的距離相等時，我們稱這三個點為“和諧三點”，則符合“和諧三點”的點表示的數為．15．（2023·全國·九年級專題練習）數軸上表示1和的兩點之間的距離是；若，則x=16．（2023秋·全國·七年級專題練習）已知點A在數軸上對應的數是a，點B在數軸上對應的數是b，將A、B之間的距離記作，定義，若，設點P在數軸上對應的數是x，當相差2時，則x的值為．17．（2022秋·浙江麗水·七年級?？计谥校┮阎?，且，，則共有個不同的值，若在這些不同的值中，最小的值為，則．18．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學校?？计谥校┮阎跀递S上A、B兩點分別表示的數是a和b，，，，點Р在數軸上且與點A、點B的距離相等，則點Р表示的數是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數軸上從左到右依次有點、、、，其中點為原點，、所對應的數分別為、1，、兩點間的距離是3．（1）在圖中標出點，的位置，并寫出點對應的數；（2）若在數軸上另取一點，且、兩點間的距離是7，求點所對應的數．20．（8分）（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）如圖，數軸上點A、B對應的數分別是a、b，并且．

（1）求A、B兩點之間距離．（2）若兩動點P、Q同時從原點出發(fā)，點P以1個單位長度/秒的速度沿數軸向左移運動，點Q以2個單位長度/秒的速度向右運動，問運動多少秒時點P到點A的距離是點O到點B距離的2倍？

（3）點C是數軸上A、B之間一點，P、Q兩點同時從點C出發(fā)，沿數軸分別向左、右運動，運動時間為a秒時，P、Q兩點恰好分別到達點A、B，又運動a秒時，P、Q兩點分別到達點E、F，接下來調轉方向保持原來速度不變相向而行，同時點R從點E出發(fā)沿數軸向右運動，當點R運動3秒時，點R與點Q在M點相遇，此時點P和點M的距離為5個單位長度，點M和點C的距離為2個單位長度，求點R的速度．

21．（10分）（2022秋·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）已知點P，A，B是數軸上的三個點．若點P到原點的距離等于點A，B到原點距離之和的一半，則稱點P為點A，B的“關聯點”．（1）已知點A在數軸上表示的數是1，點B在數軸上表示的數是，點，，，在數軸上表示的數分別是，，0，2．其中是點A，B的“關聯點”的是____________；（2）已知點A在數軸上表示的數是3，點B在數軸上表示的數是b，點P為點A，B的“關聯點”，且點P到原點的距離為5，求b的值；（3）已知點A在數軸上表示的數是，將點A沿數軸正方向移動4個單位長度，得到點B．若點P與點B之間的距離表示為，點P與點A之間的距離表示為，當點P為點A，B的“關聯點”時，直接寫出的值．22．（10分）（2023秋·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）對于數軸上的線段與不在線段上的點，給出如下定義：若點與線段上的一點的距離等于，則稱點為線段的“距點”．已知：數軸上點A，B兩點表示的數分別是，（1）當時，在，，三個數中，______是線段的“2距點”所表示的數；（2）若數軸上的點為線段的“距點”，則的最大值與最小值的差為______；（3）若數軸上所對應的點是線段的“距點”，且的最大值與最小值的比為，求的值．23．（10分）（2022秋·四川成都·七年級校考期中）唐代文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無”，當代印度詩人泰戈爾也寫道：“世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚”，距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度，已知點在數軸上分別表示有理數，兩點之間的距離表示為，閱讀以上材料，回答以下問題：（1）若數軸上表示和的兩點之間的距離是4，則________；（2）當的取值范圍是多少時，代數式有最小值，最小值是________；（3）若未知數，滿足．求代數式的最大值，最小值分別是多少？24．（12分）（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）人們通過長期觀察發(fā)現如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數學的學習過程中，通過對簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．【數學問題】數軸上分別表示數a和數b的兩個點A、B之間的距離該如何表示？【問題探究】（1）觀察分析（特殊）：①當，時，A，B之間的距離；②當，時，A，B之間的距離；③當，時，A，B之間的距離；（2）一般結論：數軸上分別表示有理數，的兩點A，B之間的距離表示為；【問題解決】（3）應用：數軸上，表示和3的兩點A和B之間的距離是5，試求的值；【問題拓展】（4）拓展：①若，則．②若，則．③若，滿足，則代數式的最大值是，最小值是．參考答案1．A【分析】按照有理數、整數、分數的概念進行判斷即可得出答案．解：有理數可分為整數和分數，故A選項正確，符合題意；整數可分為：正整數，0，負整數，故B選項錯誤，不符合題意；分數可分為：正分數，負分數，故C選項錯誤，不符合題意；有理數可分為整數和分數，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查了有理數和無理數的定義，以及有理數的分類，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識．2．D【分析】與點距離為4的點有兩個，分別在點左側4個單位長度和點右側4個單位長度．解：，，點表示的數是5或，故選：D．【點撥】本題考查實數與數軸，熟練掌握數軸上點的特征，兩點間距離的求法是解題的關鍵．3．C【分析】分類討論：點C在線段上和點C在射線上兩種情況．解：分兩種情況：①點C在線段上，則；②點C在線段的延長線上，．故選C．【點撥】本題考查了兩點間的距離．需要分類討論，以防漏解．4．D【分析】根據點在數軸上的位置，利用分類討論得出答案．解：點、表示的數分別為、，且點到點的距離為，當點在點的左側時，點表示的數是，此時點與點的距離是，當點在點的右側時，點表示的數是，此時點與點的距離是，點與點的距離為或，故選：D．【點撥】此題主要考查了數軸的有關知識點，分情況討論得到點表示的數是解題關鍵．5．B【分析】設數軸上與表示的點的距離為個單位的點表示的有理數是，再根據數軸上兩點間的距離公式求出的值即可．解：設數軸上與表示的點的距離為個單位的點表示的有理數是，則，解得：或．故選：B．【點撥】本題考查了數軸上兩點之間的距離，解絕對值方程；熟知數軸上兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．6．D【分析】根據絕對值的性質化簡即可求出答案．解：當時，，令，解得：；當時，，恒為4，此時整數；當時，，令，解得：綜上，整數可能為、、、0、1，共有5個．故選：D．【點撥】本題考查了絕對值的化簡，熟練掌握絕對值的意義及性質，利用絕對值的性質解題是關鍵．7．D【分析】先求得點A在數軸上表示的數，再根據平移，求得點B表示的數，即可求解．解：點A是數軸上的一點，它到原點的距離為3，則點A在數軸上表示的數為或當點A在數軸上表示的數為時，把點A向左平移7個單位后，再向右平移5個單位得到點B，則點B表示的數為，點B到原點的距離為，當點A在數軸上表示的數為時，把點A向左平移7個單位后，再向右平移5個單位得到點B，則點B表示的數為，點B到原點的距離為，故選：D【點撥】此題考查了絕對值的含義，數軸上點的平移，解題的關鍵是正確確定點B表示的數．8．C【分析】先得到，再分當時，，當時，，兩種情況討論求解即可．解：∵，∴，當時，，則；當時，，則；故選C．【點撥】本題主要考查了化簡絕對值，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．9．D【分析】根據絕對值的代數意義對進行化簡，或，解得或有兩個解，分兩種情況再對進行化簡，繼而有兩個不同的絕對值等式，和，每個等式同樣利用絕對值的代數意義化簡，分別得到c的值有兩個，故共有四個值，再進行相加，得到所有滿足條件的數的和．解：，或，或，當時，等價于，即，或，或；當時，等價于，即，或，或，故或或或，所有滿足條件的數的和為：．故答案為：D【點撥】本題主要考查了絕對值的代數意義，負數的絕對值是它的相反數，正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，解題的關鍵在于經過兩次分類討論，的值共有4種可能，不能重復也不能遺漏．10．D【分析】根據絕對值的性質分情況討論m的取值范圍即可解答.解：當時，，不符合題意；當時，，符合題意；當時，，不符合題意；所以故選D【點撥】本題考查絕對值的性質以及有理數的加減，熟練掌握以上知識點是解題關鍵.11．或【分析】根據題意得到點所表示的數是，根據兩點間的距離，求得點所表示的數．解：∵點到原點的距離等于，∴點所表示的數是，∵點到點的距離是，且在的左邊，∴點表示的數是：或，綜上所述，點表示的數是或，故答案為：或．【點撥】此題考查數軸，解題的關鍵是數形結合思想，進行分類討論．12．1或4【分析】（1）根據A、B表示的數互為相反數，得到的中點即為原點的位置，進而得到點C表示的數即可；（2）根據數軸上兩點間的距離公式，即可得到點D表示的數．解：（1）∵點A、B表示的數互為相反數，則：的中點即為原點的位置，如圖所示：∴點C表示的數為：；故答案為：1；（2）由（1）知，點C表示的數為：，∵∴當在點C左側時，點表示的數為：；當在點C右側時，點表示的數為：；綜上：點表示的數為或4；故答案為：或4．【點撥】本題考查數軸上兩點間的距離．解題的關鍵是根據題意，確定數軸上原點的位置．13．、1或【分析】分在左側，右側，重合，三種情況分類討論即可；解：①當重合時，即表示的數是1時，滿足題意；②當不重合時，為的中點，在左側時：表示的數是：；在右側時：表示的數是：；綜上：點在數軸上表示的數是、1或；故答案為：、1或．【點撥】本題考查數軸上兩點間的距離．根據題意，正確的畫圖，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．14．或或14【分析】依據“和諧三點”的定義，分點P在點A的左側，在A、B之間，在點B的右側三種情形解答即可，數軸上兩點間的距離等于兩點表示的數的差，大減小．解：設點P表示的數為x，∵點A表示的數為，點B表示的數為3，∴，當點P在點A的左側時，∵A、B、P三個點是“和諧三點”，∴，∵，∴，∴；當點P在A，B之間時，∵A、B、P三個點是“和諧三點”，∴，∵，∴，∴；當點P在點B的右側時，∵A、B、P三個點是“和諧三點”，∴，∵，∴，∴．綜上所述，符合“和諧三點”的點P表示的數為：或或14．故答案為：或或14．【點撥】本題主要考查了數軸，定義新概念等，解決問題的關鍵是熟練掌握數軸上兩點間的距離公式，定義的新概念的意義，分類討論，解一元一次方程．15．3或3【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式計算即可求解；（2）分情況討論，去絕對值，再解方程即可求解．解：（1），故答案為：3；（2）當時，；當時，，此時方程無解，舍去；當時，，故答案為：或3．【點撥】本題考查了數軸上兩點之間的距離以及解絕對值方程的知識，注重分類討論的思想是解答本題的關鍵．16．或【分析】先利用絕對值的非負性，求出點A、點B所對應的數分別為，，再根據數軸上的兩點之間的距離的定義得到或，然后針對x的取值范圍進行分類討論即可．解：，，即，相差2，或，當時，時，，無解；時，，解得，時，，無解；當時，時，，無解，時，，解得，時，，無解；綜上所述，x的值為：或，故答案為：或．【點撥】本題考查了絕對值的性質和絕對值的幾何意義，解決本題的關鍵是會進行分類討論．17．7【分析】根據絕對值的性質進行化簡求出x、y的值，然后代入即可解答．解：，，，，，，，三個數中有兩負一正，當，為負，為正數時，；當，為負，為正數時，；當，為負，為正數時，；共有個不同的值，若在這些不同的值中，最小的值為，，，．故答案為：7．【點撥】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的性質以及分類討論思想是解題的關鍵．18．或【分析】由得，所以，再由，得，，得，所以，或，，再求點P表示的數即可．解：∵，，∴，．又∵，∴，∴．∴，或，．當，時，∵點Р在數軸上且與點A、點B的距離相等，∴點P表示的數為；當，時，∵點Р在數軸上且與點A、點B的距離相等，∴點P表示的數為；∴點P表示的數為或．故答案為：或．【點撥】本題考查了數軸上的點所表示的數及中點的性質，熟練掌握絕對值的相關概念及運算法則是解題的關鍵．19．（1）；（2）5或．【分析】（1）根據、所對應的數，為原點，確定；結合、兩點間的距離是3，且在左側，確定，依據數軸寫出點對應的數即可；（2）利用兩點間的距離公式，分點在點的右側時或點在點的左側，兩種情況討論．（1）解：（1）如圖：點對應的數是．（2）因為、兩點間的距離是7，當點在點的右側時，表示的數為：當點在點的左側時，表示的數為：，即表示的數是5或．【點撥】本題考查了是數軸上點及兩點間的距離公式；解題的關鍵是掌握距離等于兩個數的差的絕對值或直接用右邊的數減去左邊的數．20．（1）；（2）或；（3）【分析】（1）根據平方、絕對值的非負性求出a，b的值，在根據數軸上兩點之間的距離公式求解即可；（2）設運動時間為t秒，P點對應的數為，Q點對應的數為，根據題意及數軸兩點之間的距離公式建立方程求解即可；（3）根據題意求出點C，可知a秒后，P點運動的路程為，Q點運動的路程為，再運動a秒后，E點對應的數為，F點對應的數為，根據題意求出a值，從而的得到M的值，計算即可．（1）解：，，，，，，，，A、B兩點之間距離為：5；（2）（2）設運動時間為t秒，P點對應的數為，Q點對應的數為，的長度為，的長度為；當時，的長度是的2倍，，，（舍），與相矛盾；當時，同上可解得：，，符合題意；當時，同上可解得：，，符合題意；運動秒或秒時點P到點A的距離是點O到點B距離的2倍；（3）設C點對應的數為c，根據題意可得：，解得，此時可知a秒后，P點運動的路程為，Q點運動的路程為，再運動a秒后，E點對應的數為，F點對應的數為，當調轉方向再運動3秒后，P，Q未相遇，Q與R相遇，且P與R相距5個單位長度，則可知，3秒后P、Q相距5個單位長度，則3秒內，P，Q共運動5個單位長度，所以，根據題意，點R和點Q在M點相遇，點M與點C相距2個單位長度，可知點M對應的點為，則R點3秒運動的距離為，則R點的速度為單位長度/秒．【點撥】本題考查了平方和絕對值的非負性、數軸上的兩點間的距離的計算方法、及數軸上點的運動情況和兩點間的距離公式，熟記數軸兩點之間的距離公式及絕對值的幾何意義是解題的關鍵．21．（1），；（2）7或；（3）0或4【分析】（1）求出點A到原點的距離是1，點B到原點的距離是，可得點A，B的“關聯點”是和，然后可得答案；（2）根據“關聯點”的定義求出點B到原點的距離為，進而可得答案；（3）首先求出點B表示的數為，然后根據“關聯點”的定義求出點P到原點的距離為，可得點P表示的數為或，然后分情況求解即可．（1）解：因為點A在數軸上表示的數是1，點B在數軸上表示的數是，所以點A到原點的距離是1，點B到原點的距離是，所以點A，B到原點距離之和的一半是，所以點A，B的“關聯點”是和，即，，故答案為：，；（2）因為點P為點A，B的“關聯點”，且點P到原點的距離為5，所以點A，B到原點的距離之和為，因為點A表示的數是3，所以點A到原點的距離為3．所以點B到原點的距離為，所以點B表示的數是7或，所以b的值為7或．（3）由題意得：點B表示的數為，所以點A，B到原點的距離之和為，因為點P為點A，B的“關聯點”，所以點P到原點的距離為，所以點P表示的數為或，當點P在原點的右側，即點P表示的數為時，，，所以；當點P在原點的左側，即點P表示的數為時，，，所以，綜上所述，的值為0或4【點撥】本題考查了新定義，數軸上兩點間的距離公式，正確理解“關聯點”的定義，注意分類討論思想的應用是解題的關鍵．22．（1）；（2）1；（3）或【分析】（1）根據題意可得，線段的“2距點”所表示的數在點A的左邊或點B的右邊，根據題意，分別求出與，，三個數距離兩個單位長度的點，再判斷是否在線段上即可；（2）根據“距點”的定義，可得點P到線段上的點距離最大值和最小值分別為和之間的距離，即可求解；（3）根據題意，進行分類討論，即可求解．（1）解：當時，點A表示1，點B表示2，與距離為2的點表示的數為：或，都不在線段上，不符合題意；與距離為2的點表示的數為：或，1在線段上，符合題意，故是線段的“2距點”所表示的數；與距離為2的點表示的數為：或，都不在線段上，不符合題意；故答案為：．（2）∵點P到點A的距離為，點P到點B的距離為，∴．故答案為：1．（3）設為點Q所表示的數，當點