2021年重慶市中考數(shù)學真題(A卷)（解析版）

重慶市2021年初中學業(yè)水平暨高中招生考試數(shù)學試題（A卷）

一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）

1.2的相反數(shù)是（）

A.----B.-C.2D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

【詳解】2的相反數(shù)是-2,

故選D.

2.計算3*十。的結(jié)果是（）

A.3*B.2a5C.2a6D.3a5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)單項式除以單項式法則、同底數(shù)累除法法則解題―

【詳解】解：3a+。=3/,

故選：D.

【點睛】本題考查同底數(shù)基相除、單項式除以單項式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解

題關(guān)鍵.

3.不等式xW2在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.??■1~~?一■<?B.?????IC.

-1012345-1012345

-i_I_I_JII4D.-1-1~~1―1-1~~1~

-1012345-101234s

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)在表示解集時"2"，要用實心圓點表示；要用空心圓圈表示，把已知解集表示在

數(shù)軸上即可.

【詳解】解：不等式xW2在數(shù)軸上表示為：

?一?1?~1~.

-101234s

故選：D.

【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AABC與ABEF位似，點。是它們的位似中心，其中OE=2O8,則△ABC與△OE尸的周長之比是

)

D

C.1：3D.1：9

【答案】A

【解析】

【分析】利用位似性質(zhì)得△ABCS^QEF,OB：0E=1：2,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題.

【詳解】解：:△ABC與△OEF位似，點0為位似中心.

A/XABC^/XDEF,OB：0E=1：2,

...△ABC與尸的周長比是：1：2.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,若乙4=80。，則NC的度數(shù)是（)

B.100°C.110°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可.

【詳解】解：；四邊形A2CQ內(nèi)接于。。,

.?.ZC=180°-ZA=100°,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

6.計算Ji^x近-正的結(jié)果是（）

A.7B.60C.772D.2不

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，先算乘法再算減法即可得到答案；

【詳解】解：V14xV7-V2

=J2x7x7-夜

=7血-夜

=60,

故選:B.

【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，點8,F,C,E共線，NB=NE,BF=EC,添加一個條件，不等判斷AABC彩△￡>￡：尸的是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題.

【詳解】解：BF=EC,

:.BC=EF

A.添加一個條件AB=DE,

又.BC=EF,NB=NE

：.4ABemADEFBAS）

故A不符合題意；

B.添加一個條件NA=N￡>

又BC=EF,NB=NE

:.^ABC^DEF(AAS)

故B不符合題意：

C.添加一個條件AC=￡>F,不能判斷AABC絲△￡>EF,故C符合題意;

D.添加一個條件AC〃F￡>

：.ZACB=ZEFD

又BC=EF,ZB=ZE

:._ABC^DEF（.ASA）

故D不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

8.甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20機高的樓頂起飛，兩架無人機同時勻速上升10s.甲、乙

兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（單位：?。┡c無人機上升的時間x（單位：s）之間的關(guān)系如圖所

示.下列說法正確的是（）

A.5s時，兩架無人機都上升了40w

B.10s時，兩架無人機的高度差為20皿

C.乙無人機上升的速度為8加s

D.10s時，甲無人機距離地面的高度是60,“

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象運用待定系數(shù)法分別求出甲、乙兩架無人機距離地面的高度y（米）和上升的時

間x（分）之間的關(guān)系式，進而對各個選項作出判斷即可.

【詳解】解：設(shè)甲的函數(shù)關(guān)系式為丁甲=依，把（5,40）代入得：40=5。，解得。=8,

/.y甲=8x,

設(shè)乙的函數(shù)關(guān)系式為丁乙="+力，把(0,20),(5,40)代入得:

'。=20]&=4

5k+b=4Q，解得[〃:20，

y乙=4x+20,

A、5s時，甲無人機上升了40m,乙無人機上升了20〃?，不符合題意；

8、10s時，甲無人機離地面8x10=80〃?，

乙無人機離地面4x10+20=60〃?，相差20%,符合題意；

40-20

C、乙無人機上升的速度為七，=4血/s,不符合題意；

。、10s時，甲無人機距離地面的高度是80九

故選:B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，

讀懂圖形中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵.

9.如圖，正方形ABC。的對角線AC,8。交于點O,M是邊上一點，連接OM,過點。做ONLOM,

交8于點N.若四邊形MOM)的面積是1,則AB的長為()

C.2D.2夜

【答案】C

【解析】

【分析】先證明-M4OdM)O(ASA),再證明四邊形MON。的面積等于，一440的面積，繼而解得正

方形的面積，據(jù)此解題.

【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BOJ_AC,

:.ZAOD=90°

ONLOM

:.ZMON^90°

ZAOM=4DON

又-.ZMAO=ANDO=45°,AO=DO

:.^MAO^.NDO（ASA）

…AMAO一°NDO

四邊形MON。的面積是1,

SDAO~1

???正方形ABCD的面積是4,

AB2=4

：.AB^2

故選：C.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

10.如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站A/A和MD.甲在山腳點C處測得通信基站頂

端M的仰角為60°,測得點C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點尸處測得點尸距

離通信基站的水平距離FE為50m,測得山坡QF的坡度i=l：1.25.若ND=，DE,點、C,B,E,F

8

在同一水平線上，則兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差為（）（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73）

C.13.1mD.22.1m

【答案】C

【解析】

【分析】分別解直角三角形RtAOE尸和RtMBC,求出NE和MB的長度，作差即可.

【詳解】解：；莊=50加，OF的坡度i=l：1.25,

ADE:￡F=1:1.25,解得DE=40m,

ND=-DE=25m,

8

NE=ND+DE=65m,

?；ZMCB=60°,6C=30m,

???MB=BC-tan60°=306加，

頂端M與頂端N的高度差為NE-M5=65-30百213.1/M，

故選：C.

【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3x-2>2（x+2）

11.若關(guān)于x的一元一次不等式組《.\"的解集為x26,且關(guān)于y的分式方程

a—2x<—5

皇學+辛送=2的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)4的值之和是（）

y-li-y

A.5B.8C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】先計算不等式組的解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到2<6解得。<7,再解分式方程得到

2

丁=等，根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到。>-5,且。+5是2的倍數(shù)，據(jù)此解得所有符合條件的整數(shù)

“的值，最后求和.

3x-222(x+2)①

【詳解】解:

ci—2,x<—5(2)

解不等式①得，x>6,

解不等式②得，x>—

2

不等式組的解集為：x>6

5+a/

----<6

2

.\a<7

y+2a+3y-8

解分式方程=2得

y-l1-y

y+2。3y—8

2

yTy-i

.??y+2a—(3y—8)=2(y-l)

整理得y=等，

,y-loO,則等工1,

ci豐一3,

分式方程的解是正整數(shù),

<7+5

>0

~1~

/.a>-5,且a+5是2的倍數(shù),

.---5<a<7,且a+5是2的倍數(shù)，

,整數(shù)“的值為-1,1,3,5,

-1+1+3+5——8

故選：B.

【點睛】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCQ的頂點。在第二象限，其余頂點都在第一象限，AB〃X軸，

AOLAD,AO=AD.過點A作AELCD,垂足為E,DE=4CE.反比例函數(shù)），=：（x>0）的圖象經(jīng)過點￡,與

邊AB交于點凡連接OE,OF,EF.若^田-二二，則女的值為（）

O

342

【答案】A

【解析】

【分析】延長EA交x軸于點G,過點尸作x軸的垂線，垂足分別為“，則可得△QEA絲/XAG。，從而可得

DE=AG,AE=OG,若設(shè)CE=a,則Z)E=AG=4a,AD=DC=DE+CE=5a,由勾股定理得AE=0G=3a,故可得點

E、A的坐標，由AB與x軸平行，從而也可得點尸的坐標，根據(jù)$=S￡"+S梯形EG〃F-S尸如，即可

求得。的值，從而可求得火的值.

【詳解】如圖，延長EA交x軸于點G,過點尸作x軸的垂線，垂足分別為，

???四邊形ABCQ是菱形

：.CD=AD=AB,CD//AB

：AB〃x軸，AELCD

；.EGJ_x軸，ZD+ZDAE=90°

'：OA±AD

：.ZDAE+ZGA0=9Q°

：.ZGAO=ZD

?：OA^OD

：./\DEA^/\AGO(AAS)

J.DE=AG,AE=OG

設(shè)CE=a,plijDE=AG=4CE=4a,AD=AB=DC=DE+CE=5a

在心△AE。中，由勾股定理得：4E=3a

0G=AE=3a,GE=AG+AE=la

.,.A(3a,4a)(E(3a,la)

：A8〃x軸，AG_Lx軸，F(xiàn)H_Lx軸

.?.四邊形AG”F是矩形

FH=AG=3a,AF=GH

?.?E點在雙曲線y=g(x>0)上

-"-k=2\a2

即>=血

X

?..F點在雙曲線丫=亞上，且尸點的縱坐標為4“

X

21a

??x=---

4

r21。

即1rl0H=——

4

：.GH^OH-OG=—

4

***SEOF-SEOG+S梯形反汨尸-SFOH

,1c「1/r/、9。12kz)11

??一x3ax7od—(7Q+4Q)x----x---x4Q——

224248

1

解得：a29=-

17

:?k=2\a~9=21x—=—

93

故選：A.

【點睛】

本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等

知識，關(guān)鍵是作輔助線及證明△DE40ZX4GO,從而求得E、A、尸三點的坐標.

二、填空題：(本大題6個小題，每小題4分，共24分)

13.計算：|3|-(p-1)°=.

【答案】2.

【解析】

【分析】分別根據(jù)絕對值的性質(zhì)、。指數(shù)幕的運算法則計算出各數(shù)，再進行計算即可.

【詳解】解：|3|-(p-1)°=3-1=2,

故答案是：2.

【點睛】本題考查的是絕對值的性質(zhì)、0指數(shù)累，熟悉相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵.

14.在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片.卡片的正面分別標有數(shù)字-1,0,1,3.把四張卡片背面朝上,

隨機抽取一張，記下數(shù)字且放回洗勻，再從中隨機抽取一張.則兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負數(shù)的概率

是.

【答案】-

4

【解析】

【分析】畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到的兩張卡片上標有的數(shù)字之積為負數(shù)的結(jié)果,

再由概率公式即可求得答案.

【詳解】畫樹狀圖如圖：

共有16個等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為負數(shù)的結(jié)果有4個，

41

,兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為負數(shù)的概率=一=一.

164

故答案為：一.

4

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖，求

出相應的概率.

4—x

15.若關(guān)于x的方程——+。=4的解是x=2,則〃的值為__________.

2

【答案】3

【解析】

【分析】將42代入已知方程列出關(guān)于a的方程，通過解該方程來求"的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，知

4-2

+a=4,

2

解得”=3.

故答案是：3.

【點睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次

方程的解.

16.如圖，矩形ABC。的對角線4C,8。交于點0,分別以點A,C為圓心，4。長為半徑畫弧，分別交AB,

CD于前E,F.若BD=4,NCAB=36。，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）.

【答案】二萬

【解析】

【分析】利用矩形的性質(zhì)求得O4=OC=OB=OD=2,再利用扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：???矩形A8C。的對角線AC,8。交于點。，且B￡>=4,

：.AC^BD=4,0A=0C=0B=0D=2,

.0_2x36乃x2?_4

??）陰影=扇形AOE一森一飛兀，

4

故答案為：一萬.

5

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，三角形紙片ABC中，點。，E,尸分別在邊A8,AC,BC上，BF=4,CF=6,將這張紙片沿直

線OE翻折，點A與點尸重合.若DE〃BC,AF=EF,則四邊形4OFE的面積為.

【答案】5百

【解析】

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE為,.,A6C的中位線，利用中位線定理求出OE的長度，再解RAACE求

出4尸的長度，即可求解.

【詳解】解：???將這張紙片沿直線OE翻折，點A與點F重合，

.?.OE垂直平分AF,AD=DF，AE=EF，NADE=4EDF，

,JDE//BC,

AZADE^ZB,NEDF=NBFD,NAFC=90°,

???ZB=^BFD，

???BD=DF,

:.BD=AD，即。為AB的中點，

:.DE為ABC的中位線，

DE=-BC=5,

2

"：AF=EF,

.AEF是等邊三角形，

在RAACE中，NC4F=60°,CF=6,

CFr-

：.AF=---------=26，

tan60°

???AG=6,

四邊形ADFE的面積為！OE?AGx2=56，

2

故答案為：5百.

【點睛】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.某銷售商五月份銷售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4,A、B、C三種飲料的單價之比為1：2：

1.六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對三種飲料的價格作了適當?shù)恼{(diào)整，預計六月份三種飲料

的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的B、C飲料增加的銷售額之比

為2：1.六月份A飲料單價上調(diào)20%且A飲料的銷售額與B飲料的銷售額之比為2：3,則4飲料五月份的

銷售數(shù)量與六月份預計的銷售數(shù)量之比為.

9

【答案】—

10

【解析】

（分析】設(shè)銷售A飲料的數(shù)量為3x,銷售B種飲料的數(shù)量2x,銷售C種飲料的數(shù)量4x,A種飲料的單價y.B、

C兩種飲料的單價分別為2y、y.六月份A飲料單價上調(diào)20%,總銷售額為m,可求A飲料銷售額為3xy+L〃2,

91171

8飲料的銷售額為不孫+不加，C飲料銷售額：一孫+茄〃2,可求機二15肛，六月份A種預計的銷售額

2104,20

4孫，六月份預計的銷售數(shù)量Wx,A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預計的銷售數(shù)量之比3x：Wx計算

33

即可

【詳解】解：某銷售商五月份銷售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4,

設(shè)銷售A飲料的數(shù)量為3x,銷售8種飲料的數(shù)量2x,銷售C種飲料的數(shù)量4x,

A、B、C三種飲料的單價之比為1：2：1.,

設(shè)A種飲料的單價y.B、C兩種飲料的單價分別為2y、y.

六月份A飲料單價上調(diào)20%后單價為(1+20%)y,總銷售額為m,

A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的'

A飲料銷售額為3xy+—,

A飲料的銷售額與8飲料的銷售額之比為2：3,

3<1、91

B飲料的銷售額為弓3xy+—m\=-xy+—m

131\

.?.C飲料銷售額:

22157

m=m

15210420

：.m=\5xy

六月份A種預計的銷售額3xy+-5-xl5肛=4肛,

六月份預計的銷售數(shù)量4肛子(1+20%)y=§%

；.A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預計的銷售數(shù)量之比3x:、10x=9:10=95

310

9

故答案為—

10

【點睛】本題考查銷售問題應用題，用字母表示數(shù)，列代數(shù)式，整式的加減法，單項式除以單項式，掌握

銷售額=銷售單價X銷售數(shù)量是解題關(guān)鍵

三、解答題：(本大題7個小題，沒小題10分，共70分)

19.計算(1)(x—+%(x+2y)；

(aa1-4

(2)1------—----------

Ia+2Ja~+4o+4

【答案】(I)2x2+y2；(2)鼻

【解析】

【分析】(1)利用完全平方公式和整式的乘法運算法則計算即可；

(2)根據(jù)分式混合運算的運算法則計算即可.

【詳解】解：⑴(x-?+x(x+2y)

=X2-2^+儼+X2+與，

=2x2+y2；

(acr-4

(2)1-----N—、---

Itz+2JQ~+4Q+4

(Q+2CI(a+2)(a—2)

Q+2Q+2(a+2)~

2(a+2)2

—___x__：______

Q+2(Q+2)(a—2)

2

【點睛】本題考查整式的混合運算、分式的混合運算、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握運算法則是

解答的關(guān)鍵.

20.“惜餐為榮，殄物為恥“，為了解落實“光盤行動”的情況，某校數(shù)學興趣小組的同學調(diào)研了七、八年級部

分班級某一天的餐廚垃圾質(zhì)量.從七、八年級中各隨機抽取10個班的餐廚垃圾質(zhì)量的數(shù)據(jù)(單位：kg),

進行整理和分析(餐廚垃圾質(zhì)量用x表示，共分為四個等級：A.x<l,B.l<x<1.5,C.L5Wx<2,

D.x>2）,下面給出了部分信息.

七年級10個班的餐廚垃圾質(zhì)量：0.8,0.8,0.8,0.9,1.1,1.1,1.6,1.7,1.9,2.3.

八年級10個班的餐廚垃圾質(zhì)量中B等級包含的所有數(shù)據(jù)為：1.0,1。1.0,1.0,1.2.

七八年級抽取的班級餐廚垃圾質(zhì)量統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A等級所占百分比

七年級1.31.1a0.2640%

八年級1.3b1.00.236％

八年級抽取的班級

餐廚垃圾質(zhì)*曲形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出上述表中a,b,機的值；

（2）該校八年級共30個班，估計八年級這一天餐廚垃圾質(zhì)量符合A等級的班級數(shù)；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級的“光盤行動”，哪個年級落實得更好？請說明理由（寫出一條

理由即可）.

【答案】（1）。=0.8,人=1.0,m=20：（2）6個；（3）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及眾數(shù)、中位數(shù)的定義可解匕的值，由扇形統(tǒng)計圖可解得〃?的值；

（2）先計算在10個班中，八年級4等級的比例，再乘以30即可解題；

（3）分別根據(jù)各年級的眾數(shù)、中位數(shù)、方差等數(shù)據(jù)結(jié)合實際分析解題即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，七年級10個班的餐廚垃圾質(zhì)量中，0.8出現(xiàn)的此時最多，即眾數(shù)是0.8:

由扇形統(tǒng)計圖可知加％=1-50%—10%—20%=20%,

八年級的A等級的班級數(shù)為10x20%=2個，八年級共調(diào)查10個班，故中位數(shù)為第5個和第6個數(shù)的平均數(shù),

A等級2個班，B等級的第3個數(shù)和第4個數(shù)是1.0和1.0,故八年級10個班的餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)為

(l.O+l.O)4-2=1.0

/.m=20

a-0.8,Z?=1.0,m—20；

（2）???八年級抽取的10個班級中，餐廚垃圾質(zhì)量為A等級的百分比是20%,

,估計該校八年級各班這一天的餐廚垃圾質(zhì)量符合A等級的班級數(shù)為：30x20%=6（個）；

答：估計該校八年級各班這一天的餐廚垃圾質(zhì)量符合4等級的班級數(shù)為6個.

（3）七年級各班落實“光盤行動”情況更好，因為：

①七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的眾數(shù)0.8低于八年級各班的餐廚垃圾質(zhì)量的眾數(shù)1.0；

②七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量A等級的40%高于八年級各班餐廚垃圾質(zhì)量4等級的20%；

八年級各班落實“光盤行動”情況更好，因為：

①八年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)1.0低于七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的中位數(shù)11；

②八年級各班餐廚垃圾孩子里那個的方差0.23低于七年級各班餐廚垃圾質(zhì)量的方差0.26.

【點睛】本題考查統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、用樣本估計總體等知識，是重要考點，難

度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在LABCD中，AB>AD.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE,使得AE=AO；作NBCO的平分線交AB于點F.（保留

作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖形中，連接OE交CF于點尸，猜想△CAP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）直角三角形，理由見解析

【解析】

【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出符合題意的答案；

（2）先證明再利用平行線性質(zhì)“同旁內(nèi)角互補”，得出/CP￡>=90。即可得出答案.

【詳解】解：（1）解：如圖所示：E,尸即為所求；

21題答圖

（2）△C。尸是直角三角形.

???四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AB//DCfAD//BC.

：.ZCDE=ZAEDfZADC+ZBCD=\80°,

9

：AD=AEf

：.ZADE=ZAED.

：.ZCED=ZADE=—ZADC.

2

?.,C尸平分NBCQ,

ZDCP=—NBCD,

2

ZCDE+ZDCP=90°.

：.ZCPD=90°.

.?.△COP是直角三角形.

【點睛】本題主要考查了基本作圖以及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學知識解決問題.

22.在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)及其應

用的過程.以下是我們研究函數(shù)y=3三的性質(zhì)及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題.

（1）請把下表補充完整，并在給出的圖中補全該函數(shù)的大致圖象;

X???-5-4-3-2-1012345???

4-%22A123

???040…

y-X2+1126~Uj_2

2

（2）請根據(jù)這個函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

（3）已知函數(shù)y=-]x+3的圖象如圖所示.根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式一』％+3＞紀匕的解集.（近

22x2+l

對稱軸是

y軸；⑶x<-0.3,1<x<2

【解析】

【分析】（1）直接代入求解即可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的性質(zhì)即可；

（3）根據(jù)圖象交點寫出解集即可.

【詳解】解：（1）表格中的數(shù)據(jù)，從左到右，依次為：

221726

函數(shù)圖象如圖所示.

22題答圖

（2）①該函數(shù)圖象是軸對稱圖象，對稱軸是y軸；

②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值，當x=0,函數(shù)取得最大值4；

③當％<0是，y隨X的增大而增大；當x>0是，y隨X的增大而減?。唬ㄒ陨先龡l性質(zhì)寫出一條即可）

34-x2

（3）當》=一0.2時，-x+3=3.3,2—L-3.8；

2x2+l

34-x2

當x=-0.4時，--x+3=3.6,a3.31；

2x2+l

2

所以x=-0.3是—±3x+3=42-二x的一個解；

2x2+l

34-r2

由圖象可知x=l和x=2是一1x+3="匚的另外兩個解；

2x2+l

34-x2

???—的解集為x<-0.3,l<x<2.

2x2+l

【點睛】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，能夠從表格中獲取信息，利用描點法畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象

解題是關(guān)鍵.

23.某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)8產(chǎn)品，去年兩個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同

且全部售出.已知A產(chǎn)品的銷售單價比B產(chǎn)品的銷售單價高100元，1件4產(chǎn)品與1件8產(chǎn)品售價和為500

元.

（1）4、8兩種產(chǎn)品的銷售單價分別是多少元?

(2)隨著5G時代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進入了快速發(fā)展時期.今年，該工廠計劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間

改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間.預計4產(chǎn)品在售價不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加“％：

B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少〃％,但B產(chǎn)品的銷售單價將提高3a%.則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出

29

后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加一。％.求。的值.

25

【答案】(1)A產(chǎn)品的銷售單價為300元，B產(chǎn)品的銷售單價為200元；(2)20

【解析】

【分析】(1)設(shè)8產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為(x+100)元，根據(jù)題意列出方程解出即

可；

(2)設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為f件，根據(jù)題意根據(jù)題意列出方程

300(1+4%)1+200(1+3。％)4(1-。％)=500「11+||。％)解出即可；

【詳解】解：(1)設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為(x+100)元.

根據(jù)題意，得

x+(x+l()0)=5(X).

解這個方程，得x=200.

則x+100=300.

答：A產(chǎn)品的銷售單價為300元，2產(chǎn)品的銷售單價為200元.

(2)設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為f件，根據(jù)題意，得

、r29)

300(1+a%)?r+200(1+3a%)-r(l-a%)=500/-1+—a%

設(shè)a°/0=m,則原方程可化簡為5/"2_m=0.

解這個方程，得見=(,加2=0(舍去)?

：.a=20.

答：。的值是20.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，

正確列出一元一次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次方程.

24.如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0,且能分解成AxB，其中A與8都是兩位數(shù)，A與8的十位數(shù)

字相同，個位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)”為“合和數(shù)”，并把數(shù)〃分解成M=的過程，稱為“合分解

例如609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為1(),

...609是“合和數(shù)”.

又如7234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個位數(shù)字之和不等于10,

.?.234不是“合和數(shù)”.

(1)判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由;

(2)把一個四位“合和數(shù)”M進行“合分解"，即河=4、3.A的各個數(shù)位數(shù)字之和與8的各個數(shù)位數(shù)字

之和的和記為P(M)；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與3的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為。(“).令

P(M)

G(M)當G(M)能被4整除時，求出所有滿足條件的

Q(M),

【答案】(1)168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)，理由見解析；(2)M有1224，122b5624,5616.

【解析】

【分析】(1)首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解"合和數(shù)’'的定義：如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0,且能分解

成4x6,其中A與8都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)M為“合和數(shù)”,

再判斷168,621是否是“合和數(shù)”;

(2)首先根據(jù)題目內(nèi)容，理解"合分解'’的定義.引進未知數(shù)來表示A個位及十位上的數(shù)，同時也可以用來

~“八P(M)

表示B.然后整理出：=根據(jù)能被4整除時，通過分類討論，求出所有滿足條件的

Q(M)

【詳解】解：(1)

168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)”.

168=12x14,2+4W10,

.?.168不“合和數(shù)”,

621=23x27,十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字3+7=10,

.?.621是“合和數(shù)”.

(2)設(shè)A的十位數(shù)字為加，個位數(shù)字為〃(小，〃為自然數(shù)，且3WmV9,1W〃W9),

則A=+=10m+10-n.

P(M)=m+n+m+10-n=2/n+10,Q(M)=|(/?2+n)-(/n+10-n)|=|2n-10|.

P(M)2m+10m+5.,

------=-----=4k(A是整數(shù)).

Q(M)|2?-10||?-5|

3<m<9,

.\8<m+5<14,

Z是整數(shù)，

二.加+5=8或優(yōu)+5=12,

①當m+5=8時，

加+5=8[m+5=8

]〃一5|=1或〃一5|=2，

.?.M=36x34=1224或M=37x33=1221.

②當加+5=12時，

m+5=12m+5=12

|n-5|=1或|n-5|=3，

M=76x74=5623=78x72=5616.

綜上，滿足條件M有1224,1221，5624,5616.

【點睛】本題考查了新定義問題，解題的關(guān)鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會操作題目中所涉及的

過程，結(jié)合所學知識去解決問題，充分考察同學們自主學習和運用新知識的能力.

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yuf+H+c經(jīng)過A(0,-1),B(4,1).直線AB交x軸于點

C,P是直線AB下方拋物線上的一個動點.過點P作垂足為。，PE〃x軸，交AB于點E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當^PDE的周長取得最大值時，求點P的坐標和^PQE周長的最大值；

(3)把拋物線丁=/+區(qū)+。平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點p.M是新拋物線上一點，N

是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點月，B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐

標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

【答案】(1)y=x2--x-l；(2)片2時，△2￡>￡周長取得最大值，最大值為空亞+8，點P的坐標為

25

(2,-4)；(3)滿足條件的點M的坐標有(2,-4),(6,12),(-2,12),過程見解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式即可；

(2)先求出直線AB的函數(shù)表達式和點C坐標，設(shè)/t,t2一々-1],其中0</<4,則2*-7/,『,

I2J12)

證明△PQEs^AOC,根據(jù)周長之比等于相似比可得

/=地土^]—2(/—2『+8]=-述上山(7—27+曳^+8,根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求解即可；

(3)分以下情況①若48是平行四邊形的對角線；②若A8是平行四邊形的邊，1)當時；2)當

NM〃A8時，利用平行四邊形的性質(zhì)分別進行求解即可.

【詳解】解(1)???拋物線y=Y+hx+c經(jīng)過點A(0,-1),點6(4,1),

,fc="1

??<9

16+4〃+c=1

解得，2,

c=-1

7

???該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-/x-l；

(2)VA(0,-1),B(4,1),

直線AB的函數(shù)表達式為y=gx-l,

：.C(2,0),

設(shè)尸’,產(chǎn)一：/一1),其中0<r<4,

:點E在直線y=gx—l上，PE〃x軸，

.\￡^2/2-7/,r2-1r-lj,NOCA=NDEP,

PE=-It2+8t=-2?—2)2+8,

"：PDYAB,

：.ZEDP=ZCOA,

：./\PDE<^/\AOC,

'：AO=\,OC=2,

:.ACf,

△AOC的周長為3+J5，

令"DE周長為/,則也g=

IPE

.?./=喑(一2(-2)2+8卜-丁(一2)2+苧+8，

當仁2時，APnE周長取得最大值，最大值為史1+8，

5

此時點P的坐標為(2,-4),

(3)如圖所示，滿足條件的點M的坐標有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達式為y=f—4x,對稱軸為直線x=2.

①若AB是平行四邊形的對角線，

當與AB互相平分時，四邊形ANBM是平行四邊形，

即MN經(jīng)過AB的中點C(2,0),

:點N的橫坐標為2,

.??點M的橫坐標為2,

???點M的坐標為(2,-4)；

②若42是平行四邊形的邊，

1)MN〃AB時，四邊形ABMW是平行四邊形，

VA(0,-1),B(4,1),點N的橫坐標為2,

...點M的橫坐標為2-4=-2,

.??點M的坐標為(-2,12)；

2)當NM〃AB時，四邊形4BMN是平行四邊形，

VA(0,-1),B(4,1),點N的橫坐標為2,

???點M的橫坐標為2+4=6,

.??點M的坐標為(6,12),

綜上，滿足條件的點M的坐標有(2,-4),(6,12),(-2,12).

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式、相似三角形的判定與性質(zhì)、求二次函數(shù)的最值、平行四邊

形的性質(zhì)等知識，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運用平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和分類

討論的思想方法進行探究、推導和計算.

四、解答題：（本大題1個小題，共8分）

26.在A8。中，AB=AC,。是邊8C上一動點，連接4）,將AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置,

使得ZDAE+ZBAC=180°.

（1）如圖1,當N84C=90°時，連接3E,交AC于點F.若3E平分NA8C,BD=2,求Ab的長;

（2）如圖2,連接5E,取砧的中點G,連接AG.猜想AG與CO存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。G,CE.若4〃C=120。，當BD>CD,NAEC=150°時，

請直接寫出'。一"G的值.

CE

【答案】（1）0;（2）AG=-CD,證明見解析；（3）BD*G=叁

2CE2

【解析】

【分析】（1）連接CE,過點/作垂足為〃，證明一A6E名一”8尸，得：AF=HF，再在

等腰直角,切。中，找到尸”=注。尸，再去證明△FCE為等腰三角形，即可以間接求出的長；

2

（2）作輔助線，延長84至點“，使=連接EM，在一班戶中，根據(jù)三角形

的中位線，得出再根據(jù)條件證明：AADCgAAEM，于是猜想得以證明；

2

（3）如圖（見解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出是等邊三角形，再根據(jù)NABC+NAEC=180。證

出A,B,C,E四點共圓，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一、角的和差可得△CDE是等腰直角三角形，設(shè)

CE=DE=2a,從而可得AD=2a,CD=2^a,根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得

ZBDP=ZBAP=120。,從而可得NAG。=NGOP=/"￡>=90°,根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得四邊形

AGDP是矩形，DG=AP,最后根據(jù)等量代換可得BD-D3JC-AP=?,解直角三角形求出

CECECE

CP="。即可得出答案.

【詳解】解：（1）連接CE,過點F作垂足為”.

BE平分/ABC,ZBAC=90°,

:.FA=FH.

AB^AC,

.?.ZABC=NACB=45。，

：.FH=—CF，

2

^BAC+ZDAE=180°,

：.ABAC=ZDAE=9Q°,

:.NBAD=NCAE,

AB=AC

在和ACE中，＜NB4O=/C4E,

AD^AE

:.^ABD^ACE(SAS),

：.BD=CE=2,ZABD^ZACE=45°,

:.NBCE=9Q。,

BE平分NABC,

:.ZABF=ZCBF.

:.ZAFB=ZBEC,

ZAFB=/EFC,

：.NBEC=NEFC,

:.ZCEB=ZEFC.

：.AF=—CF=V2.