吉林省長春市第八十七中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含答案)

2022-2023學(xué)年吉林省長春八十七中1-8班九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.如圖是由個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，這個(gè)立體圖形的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：從上邊看得到的平面圖形是：

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．2.某省在踐行社會主義核心價(jià)值觀活動中，共評選出各級各類“吉林好人”45000多名，45000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.45×103 B.4.5×104 C.4.5×105 D.0.45×103【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】45000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5×104．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先移項(xiàng)，再化系數(shù)為1，從而可得答案．【詳解】解：，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的解法，掌握不等式的解法是解題的關(guān)鍵．4.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的特征即可判斷．【詳解】解：點(diǎn)a在2的右邊，故a>2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；點(diǎn)b在1的右邊，故b>1，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；b在a的右邊，故b>a，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由數(shù)軸得：2<a<1.5，則1.5<a<2，1<b<1.5，則，故D選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．5.如圖，C，D是上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A.50° B.60° C.80° D.70°【答案】D【解析】【分析】由AB是直徑可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=20°，∴∠CAB=70°，∴∠BDC=∠CAB=70°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，由AB是直徑求出∠ACB=90°是解題的關(guān)鍵．6.為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A.米 B.米 C.10米 D.5米【答案】B【解析】【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出，即可得解．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，，在中，，，米．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用：仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，，點(diǎn)D為圖中所作直線和射線與AC的交點(diǎn)，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖中尺規(guī)作圖痕跡可得BD為的平分線，DG為線段AB的垂直平分線，結(jié)合角平分線和線段垂直平分線的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：由圖中尺規(guī)作圖痕跡可得，BD為的平分線，DG為線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；為的平分線，，，，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；，，，，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；如下圖，過D作于H，，，，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖一基本作圖、角平分線的定義與性質(zhì)、線段垂直平分線的定義與性質(zhì)，熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，點(diǎn)B為反比例函數(shù)（）上的一點(diǎn)，點(diǎn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．若點(diǎn)C恰好也在反比例函數(shù)的圖象上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，則k＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先可證得，得出再得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再利用求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)，建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)F，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴，∴，∴，∵C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，且點(diǎn)，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出是解本題的關(guān)鍵．二.填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9.分解因式：___________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行分解即可．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式和公式法進(jìn)行因式分解，掌握基本的因式分解方法是解題關(guān)鍵．10.若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值等于________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根的判別式得出△=b2-4ac=12-4×2×（-m）=0，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x2+x-m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2-4ac=12-4×2×（-m）=0，解得：m=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．11.明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差半斤（注：明代時(shí)1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個(gè)成語）．這個(gè)問題中共有_____兩銀子．【答案】46【解析】【分析】根據(jù)題意利用人數(shù)不變，結(jié)合每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差半斤，得出等式即可．【詳解】解：設(shè)總共有x個(gè)人，根據(jù)題意得：，解得：，（兩），故答案為：46．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用人數(shù)不變找到等量關(guān)系列出方程，注意明代時(shí)1斤＝16兩．12.將等腰直角三角板ABC與量角器按如圖方式放置，其中A為半圓形量角器的0刻度線，直角邊BC與量角器相切于點(diǎn)D，斜邊AB與量角器相交于點(diǎn)E，若量角器在點(diǎn)D的讀數(shù)為120°，則∠DAE的度數(shù)是__°．【答案】15【解析】【分析】連接OD、DF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥AC，求得∠CAO＝60°，于是得到答案．【詳解】解：如圖，連接OD、DF，由D為切點(diǎn)可知：OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴OD∥AC，由題意可得：∠AOD＝120°，∴∠DOF＝∠CAO＝60°，∴∠BAO＝60°﹣45°＝15°，∵∠DAO＝30°，∴∠DAE＝∠DAO﹣∠BAO＝15°，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．13.如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點(diǎn)A，則的度數(shù)為______度．【答案】12【解析】【分析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．【詳解】連接AO，如圖，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多邊形AHIJK是正五邊形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．14.已知點(diǎn)，是二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，其函數(shù)值等于_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)、橫坐標(biāo)不同縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于對稱軸的等式，當(dāng)時(shí)，正好等于，即對稱軸的一半，則，將代入二次函數(shù)可得函數(shù)值為2，即當(dāng)時(shí)函數(shù)值也為2．【詳解】解：當(dāng)和時(shí)，的值相等，二次函數(shù)對稱軸，當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等得二次函數(shù)的對稱軸，用對稱軸表示的值代入二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．三.解答題（本大題共10小題，共78分）15.先化簡，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝.【答案】－4a＋5，3.【解析】【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算化簡后，再代入求得數(shù)值即可．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】考查整式的混合運(yùn)算—化簡求值，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.16.在一個(gè)不透明的口袋中裝有三個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字2，4，5，這些小球除數(shù)字不同，外其余均相同，從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字，請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次摸出的小球上的數(shù)字都是偶數(shù)的概率．【答案】兩次摸出的小球所標(biāo)數(shù)字都是偶數(shù)的概率為．【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與這兩個(gè)球上的數(shù)字都是奇數(shù)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹形圖得：共有9種等情況數(shù)，其中兩次摸出的小球所標(biāo)數(shù)字都是偶數(shù)的有4種，由樹形圖可知：兩次摸出的小球所標(biāo)數(shù)字都是偶數(shù)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題的關(guān)鍵是要區(qū)分放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．17.為迎接五?一國際勞動節(jié)，某商店準(zhǔn)備采購一批服裝，經(jīng)調(diào)查，用1000元采購A種服裝的件數(shù)與用800元采購B種服裝的件數(shù)相等，A種服裝每件的進(jìn)價(jià)比B種服裝多10元，求B種服裝每件的進(jìn)價(jià)．【答案】B種服裝每件的進(jìn)價(jià)為40元．【解析】【分析】設(shè)B種服裝每件的進(jìn)價(jià)為x元,然后根據(jù)“用1000元采購A種服裝的件數(shù)與用800元采購B種服裝的件數(shù)相等”的等量關(guān)系列分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)B種服裝每件的進(jìn)價(jià)為x元，由題意可得：=解得：x=40經(jīng)檢驗(yàn)得：x=40為原方程的解，且符合題意答：B種服裝每件的進(jìn)價(jià)為40元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄懂題意、設(shè)出未知數(shù)、根據(jù)等量關(guān)系列分式方程是解答本題的關(guān)鍵．18.圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的項(xiàng)點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形邊長為1，點(diǎn)、、、、、均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段為邊畫個(gè)中心對稱四邊形．使其面積為9；（2）在圖②中以線段為邊畫一個(gè)軸對稱四邊形．使其面積為10；（3）在圖③中以線段為邊一個(gè)四邊形，使其滿足僅有一對對角都為直角．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）由題意直接利用平行四邊形的中心對稱性質(zhì)及其面積的計(jì)算方法得出符合題意的圖形；（2）根據(jù)題意直接利用正方形的軸對稱性質(zhì)以及面積求法得出答案；（3）由題意以線段為邊一個(gè)四邊形，利用割補(bǔ)法進(jìn)行分析進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）中心對稱四邊形如下圖：（2）軸對稱四邊形如下圖：（3）四邊形如下圖：【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，以及四邊形面積求法，正確掌握四邊形的性質(zhì)和面積求法是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長線上，且，連接，，，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，，則______．【答案】（1）證明過程見詳解（2）【解析】【分析】（1）證明四邊形是菱形，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明其是平行四邊形，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，由此即可求證；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，證明，由對應(yīng)邊成比例，勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴是等腰三角形，∵平分，∴，且，即是垂直平分線，∵，∴四邊形是平行四邊形，且，，∴平行四邊形是菱形．【小問2詳解】解：由（1）得，，，，，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∵，即，∴，，∴，∴，∴，∴，，，∴，則，在中，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形與菱形的綜合應(yīng)用，掌握等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.某農(nóng)科所甲、乙試驗(yàn)田各有水稻稻穗3萬個(gè)，為了考察水稻穗長的情況，于同一天在這兩塊試驗(yàn)田里分別隨機(jī)抽取了50個(gè)稻穗進(jìn)行測量，獲得了它們的長度x（單位：），并對數(shù)據(jù)（穗長）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲試驗(yàn)田穗長的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如表1所示（不完整）：b．乙試驗(yàn)田穗長的頻數(shù)分布直方圖如圖所示：甲試驗(yàn)田穗長頻數(shù)分布表（表1）分組/頻數(shù)頻率49nm102合計(jì)50c．乙試驗(yàn)田穗長在這一組的是：d．甲、乙試驗(yàn)田穗長的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下（表2）：試驗(yàn)田平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲乙根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表1中的值為____，的值為____；（2）表2中的值為____；（3）在此次考察中，穗長為的稻穗，穗長排名（從長到短排序）更靠前的試驗(yàn)田是____；稻穗生長（長度）較穩(wěn)定的試驗(yàn)田是____；A．甲B．乙C．無法推斷（4）若穗長在范圍內(nèi)的稻穗為“良好”，請估計(jì)甲試驗(yàn)田所有“良好”的水稻約為多少萬個(gè)？【答案】（1），（2）（3）A，A（4）估計(jì)甲試驗(yàn)田所有“良好”的水稻約為萬個(gè)【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)，頻率，總數(shù)之間的關(guān)系求得的值；（2）根據(jù)方差的意義進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)方差的意義進(jìn)行判斷穩(wěn)即可；（4）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可求解．【小問1詳解】∵這一組對應(yīng)的頻率為，∴，∵這一組的頻數(shù)為，∴頻率為，∴，∴，故答案為：；【小問2詳解】由乙的頻數(shù)分布直方圖和中位數(shù)定義可知，中位數(shù)為這組數(shù)的第1個(gè)與第2個(gè)的平均數(shù)，故中位數(shù)為：，故答案為：；【小問3詳解】由題意可知，穗長為的稻穗在甲試驗(yàn)田在中位數(shù)之前，在乙試驗(yàn)田中在中位數(shù)之后，所以穗長排名（從長到短排序）更靠前的試驗(yàn)田是甲，因?yàn)榧讓?shí)驗(yàn)田的方差小，所以稻穗生長（長度）較穩(wěn)定的試驗(yàn)田是甲．故答案：A，A；【小問4詳解】甲試驗(yàn)田中穗長在范圍內(nèi)頻率為，故甲試驗(yàn)田所有“良好”的水稻約為（萬個(gè)），答：估計(jì)甲試驗(yàn)田所有“良好”的水稻約為萬個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，求中位數(shù)，根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性，樣本估計(jì)總體，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵．21.貨車和轎車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一公路相向而行．轎車出發(fā)后休息，直至與貨車相遇后，以原速度繼續(xù)行駛，設(shè)兩車出發(fā)時(shí)間為（單位：），貨車、轎車與甲地的距離為（單位：），（單位：），圖中的線段、折線分別表示與之間的函數(shù)關(guān)系．（1）貨車行駛的速度為______；（2）求所在直線的函數(shù)解析式；（3）直接寫出兩車出發(fā)多長時(shí)間相距．【答案】（1）（2）線段DE所在直線的函數(shù)表達(dá)式為（3）兩車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)后相距【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形可得小時(shí)的的路程為600千米，根據(jù)路程除以時(shí)間求得貨車的速度；（2）設(shè)直線的解析式為：，待定系數(shù)法求解析式，繼而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得出點(diǎn)坐標(biāo)為：，然后待定系數(shù)法求解析式即可；（3）待定系數(shù)法求得解析式，根據(jù)①當(dāng)轎車休息前與貨車相距時(shí)，②當(dāng)轎車休息后與貨車相距時(shí)，分別列出一元一次方程，解方程即可求解．小問1詳解】由圖象可得，貨車行駛的速度為：（），故答案為：75；【小問2詳解】由題意可得所在直線為關(guān)于x的正比例函數(shù)，設(shè)直線的解析式為：，將代入得：，解得，∴；則時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵轎車在休息前行駛，休息后按原速度行駛，∴轎車行駛后需．∴點(diǎn)坐標(biāo)為：．設(shè)線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得：，解得，∴線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問3詳解】設(shè)段的函數(shù)解析式為y=mx+n，將代入得：，解得，∴．①當(dāng)轎車休息前與貨車相距時(shí)，有，，解得；②當(dāng)轎車休息后與貨車相距時(shí)，有，，解得．答：兩車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)后相距．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從函數(shù)圖像獲取信息是解題的關(guān)鍵．22.【推理】如圖①，在邊長為10的正方形中，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，延長交于點(diǎn)．求證：．【運(yùn)用】如圖②，在【推理】條件下，延長交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段______．【拓展】如圖③，在【推理】條件下，，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則的最小值是______．【答案】【推理】見解析；【運(yùn)用】；【拓展】【解析】【推理】利用正方形與折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理解答即可．【運(yùn)用】連接，通過證明，得到；利用等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，則為的中點(diǎn)，再利用【推理】中的結(jié)論即可求得結(jié)論．【拓展】利用折疊的性質(zhì)和點(diǎn)的軌跡得到點(diǎn)的位置，利用當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最小值，再利用勾股定理求得，則的最小值為．【詳解】證明：四邊形是正方形，，．由題意得：垂直平分，，，，，在和中，，；解：，理由：連接，如圖，由題意得：，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．在和中，，，．由題意：，，，．，，，，．，，．故答案為：．解：AN的最小值是，理由：由題意得：垂直平分，，即點(diǎn)的軌跡為在的上方，以為直徑的半圓（不含，），設(shè)的中點(diǎn)為，連接，是的中點(diǎn)，，，∴點(diǎn)的軌跡為在的上方，以為直徑的半圓（不含，），設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖，則，．，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的軌跡，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在中，，于點(diǎn)D，．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線向終點(diǎn)C運(yùn)動，在邊上運(yùn)動時(shí)速度為每秒5個(gè)單位長度，在邊上運(yùn)動時(shí)速度為每秒個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P不與的頂點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為．（1）＝______；（2）求線段的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）連接，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求出t的取值范圍；（4）點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值．【答案】（1）（2）（3）滿足條件的t的取值范圍是（4）滿足條件的t的值為或【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理先求出，再次利用勾股定理得到；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)P線段上時(shí)，，利用三角函數(shù)關(guān)系可得，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得；當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，利用三角函數(shù)關(guān)系得到，通過關(guān)系得到，再利用平行四邊形性質(zhì)得到；（3）分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，、當(dāng)，，然后分別列方程計(jì)算即可得解；（4）分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，畫出圖形，可證得、當(dāng)時(shí)，畫出圖形，可證得，然后分別列出方程求解即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴,故答案為：；【小問2詳解】解：如圖中，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．如圖中，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述，．【小問3詳解】解：如圖中，當(dāng)點(diǎn)M落在上時(shí)，，此時(shí)，∴，∴．如圖中，當(dāng)，，∴，∴，觀察圖形可知，滿足條件的t的取值范圍是；【小問4詳解】解：如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H．，，，由，可得，解得．如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)J．由，可得，∴，綜上所述，滿足條件的t的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、平行四邊形的性