16.3 分母有理化第3課時（分層作業(yè)）（3種題型基礎(chǔ)練+提升練）（解析版）

16.3分母有理化(第3課時）（3種題型基礎(chǔ)練+提升練）考查題型一分母有理化計算1．（2022秋·上海長寧·八年級上海市第三女子初級中學(xué)?？计谥校┓帜赣欣砘海敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海?．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┓帜赣欣砘海敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海?．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獎t的倒數(shù)為．【答案】【詳解】∵，∴的倒數(shù)為，4．（2022秋·八年級單元測試）計算：．【答案】【詳解】解：．5.計算：．【答案】．【詳解】解：原式，，，，．6．把下列各式分母有理化．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（2）（3）7．把下列各式分母有理化．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；（2）．考查題型二解有關(guān)二次根式的方程與不等式8．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮俊驹斀狻拷猓?，移項，得：，合并同類項，得：，∵∴系數(shù)化1，變號，得：，分母有理化，得：，即不等式的解集是，9．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮俊驹斀狻拷猓阂祈棧傻茫?，合并同類項，可得：，系數(shù)化1，可得：，分母有理化，可得：，∴不等式的解集是．10．（2023秋·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┎坏仁降慕饧?【答案】【詳解】解：，即∵，∴∴；11．（2022秋·上海長寧·八年級上海市第三女子初級中學(xué)?？计谥校┙獠坏仁剑旱慕饧牵敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海?，，，即，12．（2022秋·上海靜安·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮浚驹斀狻拷猓?，，，∵，∴，，．13．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┙獠坏仁剑海敬鸢浮俊驹斀狻坎坏仁剑祈椀茫?，合并得：，解得：．14．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）解不等式：【答案】【詳解】，即：．15．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┙獠坏仁剑海敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海?，，∵，∴，∵，∴．16．（2022秋·八年級單元測試）解方程：．【答案】【詳解】解：去括號得：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．考查題型三分母有理化的應(yīng)用17．（2021秋·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）比較大小：（填上“＞”或“＜”）【答案】＞【詳解】解：∵，又∵，∴．18．（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）設(shè)為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，則的值是．【答案】【詳解】解：∵，為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，∴，，∴，19．設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，試求的值．【答案】10【詳解】解：，又，，，，．20．（2021·上海·八年級期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，21．（2022·上海徐匯·八年級期末）已知函數(shù)y＝，當(dāng)x＝時，y＝_____．【答案】2+【分析】把自變量x的值代入函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：當(dāng)x＝時，函數(shù)y＝＝＝＝2+，故答案為：2+．【點睛】本題考查了求函數(shù)值及分母有理化，理解求函數(shù)值的方法及分母有理化是解題關(guān)鍵．22．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫然啠?，再求當(dāng)時的值.【答案】xy；1【詳解】===，當(dāng)時，原式==1.23．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎?，請化簡并求值：【答案】【詳解】解：∵∴∴24．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┮阎?，，求的值．【答案】12【詳解】解：，，25．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式的計算過程，尋找規(guī)律．；；；…利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：(1)化簡：__________（為正整數(shù)）；(2)計算：．【答案】(1)(2)2022【詳解】（1）（2）原式．26．已知，求出的值．【答案】【詳解】解：，，即，即．化簡，得：，．27．（2022秋·八年級單元測試）已知，，求代數(shù)式的值．【答案】【詳解】，，原式28．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）【答案】(1)①；②(2)(3)【詳解】（1）解：①；②；（2）；（3）．29．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，30．（2023春·黑龍江牡丹江·八年級?？计谥校?）觀察下列各式的特點：，>，，，…根據(jù)以上規(guī)律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）觀察下列式子的化簡過程：，，＝，…根據(jù)觀察，請寫出式子（n≥2，且n是正整數(shù)）的化簡過程．（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計算下面的算式：+||+???+||．【答案】（1）＞；（2）見解析；（3）【詳解】解：（1）∵，>，，，…，∴，∴，故答案為：＞；（2）==；（3）原式．31．（2023春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）解決如下問題：(1)分母有理化：．(2)計算：．(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．【答案】(1)﹣1(2)44(3)3【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，，…，，=，=，=45-1，=44；（3）解：a＝，∴，∴，∴．32．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）材料一：有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mm＝，則將a±2將變成m2+n2±2n，即變成（m±n）2開方，從而使得化簡．例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（±）2，所以＝＝±：材料二：在進(jìn)行二次根式的化簡時，我們有時會碰到如，，．這樣的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝﹣1（四）；請根據(jù)材料解答下列問題：(1)=；=．(2)化簡：++…+．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：∵，，∴=，，故答案為：，；（2）解：∵＝＝＝﹣1，，，，∴原式==．33．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：，我們稱的一個有理化因式是的一個有理化因式是．材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．例如：，．請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：(1)的有理化因式為____，的有理化因式為____；（均寫出一個即可）(2)將下列各式分母有理化：①；②；（要求；寫出變形過程）(3)計算：的結(jié)果____．【答案】(1)，(2)①；②(3)【詳解】（1）由題意可得，的有理化因式為，的有理化因式為，故答案為：，；（2）①；②；（3），故答案為：．34．（2023春·北京·八年級?？茧A段練習(xí)）材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“橫負(fù)縱變點”．例如：點（3，2）的“橫負(fù)縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點”為（﹣2，﹣5）．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點的“橫負(fù)縱變點”為______，點的“橫負(fù)縱變點”為______；(2)化簡：；(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點M（，m）且，點是點M的“橫負(fù)縱變點”，求點'的坐標(biāo)．【答案】(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）【詳解】（1）∵∴點（，）的“橫負(fù)縱變點”為（，）∵∴點（，）的“橫負(fù)縱變點”為（，）故答案為：（，）；（，）．（2）∴化簡得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴點（，）∵∴（，）故的坐標(biāo)為：（，）．35．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考請你閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．裂項法，是數(shù)學(xué)中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用．具體方法是將求和中的每一項進(jìn)行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的．我們以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過分?jǐn)?shù)裂項求和．例如：．在