有理數(shù)全章復(fù)習(xí)

第一章有理數(shù)

全章復(fù)習(xí)一、知識網(wǎng)絡(luò)有理數(shù)概念運(yùn)算有理數(shù)的分類相反數(shù)大小比較法則運(yùn)算律數(shù)軸近似數(shù)與有效數(shù)字絕對值倒數(shù)加法減法乘法除法乘方混合運(yùn)算交換律科學(xué)記數(shù)法結(jié)合律分配律（一）注意學(xué)好概念，深刻理解概念二、注意事項(xiàng)

不少同學(xué)對概念記得準(zhǔn)，背得熟，但是遇到具體問題就混淆不清，這是沒有理解概念的緣故，因此學(xué)好概必須著重理解概念。例如：(-3)2與-32的意義是什么？結(jié)果等于什么？經(jīng)?；煜＠斫狻胺恰钡母拍罘钦龜?shù)負(fù)數(shù)零非負(fù)數(shù)正數(shù)零非正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)零非負(fù)有理數(shù)正有理數(shù)零（二）注意運(yùn)算順序

運(yùn)算中很多錯(cuò)誤來自顛倒了運(yùn)算順序。例如下面的計(jì)算。（三）正確使用運(yùn)算法則和運(yùn)算律

在使用乘法分配律時(shí)，常出現(xiàn)符號錯(cuò)誤。例如：

正確算法你知道嗎？

弄清概念，對比理解，正確使用運(yùn)算法則及運(yùn)算律是避免錯(cuò)誤的重要一環(huán)，千萬不可用盲目做題來達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。贈(zèng)語（一）轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，將所要研究或解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題來處理的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想。如：在相反數(shù)及加法法則的基礎(chǔ)上，利用減法法則，將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。又如利用倒數(shù)的概念得到除法法則將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。利用絕對值概念將有理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算。三、思想方法（二）數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形而少直覺，形少數(shù)而難入微”。指明研究數(shù)學(xué)問題要注意數(shù)形結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象變直觀，化繁為簡，化難為易，啟迪思維探求解題思路。

用數(shù)軸上點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸，對于理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念以及大小比較等，更有直觀性。

當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問題的思維方法稱為分類討論思想如：下面研究數(shù)a的絕對值

若a＞0，則︱a︱=

;1）若a＜0，則︱a︱=

;

若a=0，則︱a︱=

;a-a02)對任何有理數(shù)a,總有︱a︱≥0.（三）分類討論思想分類討論一般按以下四個(gè)步驟：1）確定分類討論的對象；2）進(jìn)行合理的分類；3）逐類進(jìn)行討論；4）歸納分類結(jié)果，得出問題答案所謂合理分類，是指分類時(shí)應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，并做到不“重復(fù)”，不“遺漏”

在有理數(shù)這一章中的一些主要概念和性質(zhì)，例如：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大小比較、有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的研究都離不開觀察。（四）觀察方法

從已知條件出發(fā)，運(yùn)用定義、公式、定理進(jìn)行運(yùn)算推理，直接得出結(jié)論。

一、常見題型介紹1、填空題及其解法（1）直接法[例1]如果a的相反數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，b是絕對值最小的數(shù)，那么a+b=

。

填空題是初中數(shù)學(xué)的基本題型，這類題知識點(diǎn)覆蓋面大，對于考察基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、計(jì)算的準(zhǔn)確性和解題速度都有很大作用。解：最大的負(fù)整數(shù)是-1，a是-1的相反數(shù)，則a=1；絕對值最小的數(shù)是0，所以a+b=1+0=1（2）識記法

通過對定義、公式、定理的掌握與回憶，把問題填補(bǔ)完整。[例2]

和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。解：整數(shù)

依據(jù)題目的條件及特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)值、特殊圖形進(jìn)行運(yùn)計(jì)算或推理，求得正確結(jié)論。（3）特殊法[例3]已知0<a<1，則a

1/a。(填>、=或<)解：可取符合條件的特殊數(shù)，取a=1/2時(shí)，1/a=2，∵1/2<2，∴a<1/a，所以應(yīng)填”<”號。

把問題用圖形表示出來，使得容易看清條件與結(jié)論的關(guān)系，從而得到結(jié)論。（4）數(shù)形結(jié)合法[例4]已知a>0，b<0，c<0，且|b|>|c|，化簡|c-a|+|c-b|+|b-a|=

。解：由已知條件，a，b，c可在數(shù)軸上表示如下：根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。|c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b

0acb2、選擇題及其解法

從題干給出的條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)的基礎(chǔ)知識，通過推理、計(jì)算得到結(jié)論，從而確定選擇支是正確的。此法為常用方法。（1）直接法[例1]下列說法中，正確的是（）A.在有理數(shù)中，0的意義僅表示沒有B.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)C.0.7不是正數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因此它不是有理數(shù)D.零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化試題的主要形式，選擇題一般由“解題指令”、“題干”、“答案”三部分構(gòu)成。初中數(shù)學(xué)的選擇題一般指明在備選答案中只有一個(gè)正確，大都屬于單項(xiàng)選擇題。下面介紹幾中常用方法。解：直接判斷后，選擇D

也叫做篩選法，是間接解選擇題的方法之一。因?yàn)橹噶钪兄该髁藗溥x答案只有一個(gè)正確，所以當(dāng)用直接法受到限制時(shí)，可以根據(jù)已知條件及選擇支提供的信息，篩選排除其中三個(gè)答案，則剩下的一個(gè)就是需要選擇的答案了。（2）排除法[例2]下列判斷正確的是（）A.m表示有理數(shù)，則-m表示負(fù)數(shù)B.m表示有理數(shù)，則m的相反數(shù)是-mC.m表示有理數(shù)，則-m的絕對值是mD.m表示有理數(shù)，則m倒數(shù)是1/m解：舉反例排除A。反例：取m的值為-4，則-m=4；舉反例排除C，當(dāng)m=-6時(shí)，-m的絕對值是-m，而不是m；舉反例排除D，當(dāng)m=0時(shí)，m沒有倒數(shù)，故應(yīng)選B。

也叫做特例法，對于界定某一個(gè)范圍的選擇題，可以通過選擇符合題干條件的特殊情況（特殊值、特殊圖形、特殊關(guān)系等）進(jìn)行計(jì)算和推理，排除錯(cuò)誤答案，驗(yàn)證正確結(jié)論。這種解法的思路是把抽象問題具體化，一般問題特殊化。（3）特殊值法[例3]相反數(shù)是a+b，則原數(shù)是（）

A.a-b

B.b-aC.–a+bD.-(a+b)解：取特殊值a=3，b=5，則a+b=8，而答案中A.-2，B.2，C.2，D.-8，顯然原數(shù)-8是正確的，故本題應(yīng)選D。很多與字母相關(guān)的題都可以用此法

是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解答選擇題的方法。它是根據(jù)題目所給條件，作出相應(yīng)的圖形，然后借助圖形，應(yīng)用條件進(jìn)行分析、運(yùn)算、推理，推出錯(cuò)誤答案，選擇正確結(jié)論。（4）圖示法[例4]若a<c<0，b>0，b+c<0，化簡|a+c-b|+|a-b-c|的結(jié)果是（）

A.2a-2b

B.2cC.2b-2cD.2b-2a解：由條件可畫出圖觀察圖形可知a+c-b<0，a-b-c<0∴|a+c-b|+|a-b-c|=-a-c+b-a+b+c=2b-2a，故選D。0bca

二、解題方法與技巧方法1：數(shù)形結(jié)合法[例1]已知數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且|a|>|b|，則|a|-|a+b|-|b-a|化簡后得（）A.2b+aB.2b-aC.aD.b解：從數(shù)軸上看出，a<0，b>0，且|a|>|b|，∴|a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a，故選C0ab規(guī)律總結(jié)：充分利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸這個(gè)橋梁來理解相反數(shù)、絕對值的概念。此知識點(diǎn)常以填空、選擇形式在中考中出現(xiàn)。方法2：充分利用概念法[例2]已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，且b≠2/3，求代數(shù)式的值。解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，

∴a=-b，cd=1規(guī)律總結(jié)：一些概念本身就隱含著許多等式，如互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積為1，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)。靈活運(yùn)用這些規(guī)律，可使問題較簡單地得到解決。另外，本題也體現(xiàn)了整體代入消元的思想。方法3：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)[例2]已知(a-1)2+|b-3|=0，求a2-2ab+2b2的值。解：∵(a-1)2≥0，|b-3|≥0，且(a-1)2+|b-3|=0

∴a-1=0且b-3=0，即a=1，b=3當(dāng)a=1，b=3時(shí)，原式=12-2×1×3+2×32=13規(guī)律總結(jié)：非負(fù)數(shù)的基本性質(zhì)：幾