新教材2023高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第2課時(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用分層演練新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第2課時(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若斜率為2的直線與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(1,3) D.(3,+∞)解析:因?yàn)樾甭蕿?的直線與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)恒有兩個(gè)公共點(diǎn),所以ba>2,所以e=ca=1+b2答案:D2.過雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F作圓C2:x2+y2=a2的切線,設(shè)切點(diǎn)為M,延長FM交雙曲線C1于點(diǎn)N,若點(diǎn)M為線段FN的中點(diǎn),則雙曲線C1A.5+1 B.5C.5 D.5解析:設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1,由題意,得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,所以b=2a,則e=ca=1+ba答案:C3.經(jīng)過雙曲線x24-y2=1的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線的條數(shù)為(A.4 B.3 C.2 D.1解析:由雙曲線方程x24-y2=1,可得a=2,b=1.若直線AB只與雙曲線右支相交,則AB的最小值是2b2a=1.因?yàn)閨AB|=4>1,所以此時(shí)有兩條直線符合條件.若直線AB與雙曲線兩支都有交點(diǎn),則AB的最小距離是2a=4,距離無最大值.因?yàn)閨AB|=4,所以此時(shí)有1條直線符合條件.綜上可得答案:B4.若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4的左、右支各有一個(gè)公共點(diǎn),則k的取值范圍是-1<k<1.解析:由y=kx-1,x2-y2=4,消去y,得(1-k21-k2≠0,5.若直線y=x-4與雙曲線x29-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),則解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).將直線方程y=x-4代入x29-y23=1,整理,得2x2-24x+57=0,則有x1+x2=12,x1x2=572.由弦長公式,得|AB|=1+k2·(x6.求兩條漸近線為x±2y=0且截直線x-y-3=0所得弦長為833解:由題意,設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).聯(lián)立方程組,得x消去y,得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),則x所以|AB|=(1+(1+1)82-解得λ=4,經(jīng)檢驗(yàn),λ=4符合題意,所以所求雙曲線方程是x24-y2=B級(jí)能力提升7.在雙曲線x29-y24=1中,被點(diǎn)P(2,1)平分的弦所在的直線的方程是A.8x-9y=7 B.8x+9y=25C.4x+9y=6 D.不存在解析:因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)為弦的中點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性,知當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不符合題意.假設(shè)直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y-1=k(x-2),將y=k(x-2)+1代入雙曲線方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k2≠0,則Δ=(36k2-18k)2-4×(4-9k2)×(-36k2+36k-45)>0.設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=18k-36k24-9k2=4,解得k=答案:D8.如圖,已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過點(diǎn)F1且與雙曲線C的一條漸近線垂直,直線l與兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N,若|NF1|=2|MF1|,則雙曲線CA.y=±33x B.y=±3C.y=±22x D.y=±2解析:因?yàn)閨NF1|=2|MF1|,所以M為NF1的中點(diǎn).又因?yàn)镺M⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因?yàn)椤螰1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以雙曲線C的一條漸近線的斜率為k=tan60°=3,即雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.答案:B9.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過原點(diǎn)作一條傾斜角為π3的直線分別交雙曲線的左、右兩支于P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)解析:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).由題意,知直線PQ的方程為y=3x,代入雙曲線方程并化簡,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2.由對(duì)稱性,可知x1+x2=0,x1·x2=-a2b2b2-3a2,y1·y2=3x1·x2=-3a2b2b2-3a2.設(shè)F(c,0),由于以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F,故FP·FQ=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,兩邊同除以10.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過點(diǎn)F2且與該雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),△ABF1的周長為解析:設(shè)|AF2|=m,|BF2|=n.由雙曲線的定義可得|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,則△ABF1的周長為m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=4a+2|AB|=7a,所以|AB|=32a.令x=c,可得y=±bc2a2-1=±b2a,則|AB|的最小值為2b2a,即有32a≥2b2a,可得b2a2≤34,11.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與雙曲線y26-(1)求雙曲線C的方程;(2)已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l經(jīng)過點(diǎn)F2,傾斜角為34π,且與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),求△F1AB的面積解:(1)設(shè)所求雙曲線C的方程為y26-x22將點(diǎn)(2,3)代入方程,得96-42=λ,解得λ=-所以雙曲線C的方程為y26-x22=-12,即x2(2)由(1),知F1(-2,0),F2(2,0).由題意,知直線AB的方程為y=2-x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y消去y,得2x2+4x-7=0,且Δ=16+56>0,所以x1+x2=-2,x1x2=-72由弦長公式,得|AB|=1+1×4-4點(diǎn)F1(-2,0)到直線AB:x+y-2=0的距離d=|-2+0-2|所以S△F1AB=12|AB|·d=12×6×12.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)直線y=-x+m與y軸交于點(diǎn)P,與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q,R,且|PQ||PR|=解:(1)因?yàn)閑=ca=2,a=1,所以c=2,b=3所以雙曲線C的方程為x2-y23=(2)設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為xQ,點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為xR.根據(jù)平行線分線段成比例定理,得|PQ||PR聯(lián)立y=-x+m,x2-y23=1,消去y,得2x2由題意,得xQ<0<xR,所以xQ=-mxR=-m則|xQ|m+3解得m=1或m=-1(舍去).故m=1.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新13.多選題若雙曲線C過點(diǎn)(3,2),且它的漸近線方程為y=±33x,則下列結(jié)論正確的是()A.雙曲線C的方程為x23-y2B.雙曲線C的離心率為6C.曲線y=ex+2-1經(jīng)過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)D.直線x-2y-1=0與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)解析:A項(xiàng),設(shè)雙曲線C的方程為3x2-9y2=λ(λ≠0),將點(diǎn)(3,2)代入方程,得λ=9,所以雙曲線方程為x23-y2=1,B項(xiàng),因?yàn)殡p曲線C的方程為x23-y2=1,所以雙曲線的離心率為e=23=2C項(xiàng),由雙曲線C的方程為x23-y2=1,得它的一個(gè)焦點(diǎn)為(-2,0),把點(diǎn)(-2,0)代入y=ex+2-1,得0=e0-1,等式成立,D項(xiàng),聯(lián)立x-2y-1=0,x23-y2=1,消去y,得x2+6x-15=0,Δ=96>答案:ACD14.多選題已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),A為左頂點(diǎn),P為雙曲線右支上一點(diǎn),若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小內(nèi)角為A.雙曲線的離心率為3B.雙曲線的漸近線方程為y=±2xC.∠PAF2=45°D.直線x+2y-2=0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)解析:A項(xiàng),因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因?yàn)?c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2=30°,所以cos∠PF1F2=16a2+4所以c=3a,所以離心率e=3,故此選項(xiàng)正確.B項(xiàng),因?yàn)閑2=1+b2a2=a2+b2a2=3,所以b2a2=2,C項(xiàng),因?yàn)?c=23a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以∠PF2F1=90°,又因?yàn)閨AF2