新教材2023高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用分層演練新人教A版選擇性必修第二冊

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固1.已知數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),若a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=()A.6B.7C.8D.9解析:因為2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.由等差數(shù)列性質(zhì),得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3+a4=3+4=7.答案:B2.多選題下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題,其中的真命題為()A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B.數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列C.數(shù)列anD.數(shù)列an解析:d>0,an+1-an=d>0,所以{an}是遞增數(shù)列,故A正確;nan=n[a1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n=dn+a1-d2d2-a1-d2d2d,當(dāng)n≤d-a1ann=d+a1-dn,當(dāng)a1-d≥0時,aan+3nd=4nd+a1-d,因為d>0,所以{an+3nd}是遞增數(shù)列,故D正確.答案:AD3.將給定的9個數(shù)排成如圖所示的數(shù)表,若每行的3個數(shù)按從左至右的順序構(gòu)成等差數(shù)列,每列的3個數(shù)按從上到下的順序也構(gòu)成等差數(shù)列,且a22=2,則表中所有數(shù)之和為()A.2 B.18 C.20 D.512解析:因為每行的3個數(shù)按從左至右的順序構(gòu)成等差數(shù)列,所以a11+a12+a13=3a12,a21+a22+a23=3a22,a31+a32+a33=3a32.因為每列的3個數(shù)按從上到下的順序也構(gòu)成等差數(shù)列,所以a12+a22+a32=3a22,所以表中所有數(shù)之和為9a22=9×2=18.答案:B4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1+a7+a13=4π,則tan(a2+a12)的值為-3.解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=4π3所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan8π3=tan2π3=-5.若a,b,c成等差數(shù)列,則二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為1或2.解析:因為a,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為1或2.6.在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a2+a3=21,a1a2a3=231.(1)求該數(shù)列中a2的值;(2)求該數(shù)列的通項公式an.解:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a2+a3=3a2=21,所以a2=7.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=7(7-d)(7+d)=7(49-d2)=231,解得d=±4.當(dāng)d=4時,an=a2+(n-2)d=4n-1,當(dāng)d=-4時,an=a2+(n-2)d=-4n+15.B級拓展提高7.我國古代有一道數(shù)學(xué)問題:今有金錘,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,中間三尺重幾何?意思是:現(xiàn)有一根金錘,長5尺,頭部1尺,質(zhì)量為4斤,尾部1尺,質(zhì)量為2斤,且從頭到尾,每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列(注:尺、斤為我國古代計量單位,1米=3尺,1千克=2斤),則中間三尺的質(zhì)量一共為()A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤解析:原問題等價于等差數(shù)列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.由等差數(shù)列的性質(zhì),可知a2+a4=a1+a5=6,a3=a1+a52=3,所以a2+a3+a4=答案:D8.多選題已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0 B.a2+a100=0C.a3+a100≤0 D.a51=0解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,易知d>0,因為等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,所以a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,所以a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正確,A錯誤.又a51=a1+50d=0,所以a1=-50d.所以a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C錯誤.答案:BD9.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,則k=18.解析:因為a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=173因為a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,所以a9=7,所以公差d=12(a9-a7)=23,所以ak-a9=(k-9)d=23(k-9)=6,解得10.已知成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26,第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40,求這四個數(shù).解:設(shè)這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則(所以4a=26,所以這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.11.設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項的積,即Tn=a1·a2·…·an.(1)若Tn=n2,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{an}滿足Tn=12(1-an)(n∈N*),證明數(shù)列1Tn為等差數(shù)列,并求{an解:(1)當(dāng)n=1時,a1=T1=1.當(dāng)n≥2時,an=TnTn-1=n所以an=1(2)當(dāng)n=1時,a1=T1=12(1-a1),所以a1=1當(dāng)n≥2時,2Tn=1-an=1-Tn所以1Tn-1Tn-1所以1Tn=3+2(n-1)=2所以Tn=12所以an=1-2Tn=2nC級挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多空題若關(guān)于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0(m>n)的四個根組成一個首項為14的等差數(shù)列,則m=1516,n=716解析:由題意,設(shè)原方程的四個根分別為14,14+d,14+2d,14+3d,則14+14+d+14+2d+14+3d=2+2,解得d=12,所以這四個根依次為14,34,54,7413.多空題已知f(x)=x2-4x+2,若數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列,a1=f(a+1),a2=0,a3=f(a-1),則數(shù)列{an}的公差為-2,數(shù)列{an}的通項公式為an=4-2n.解析:因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,所以f(a-1)+f(a+1)=0,即(a-1)2-4(a-1)+2+(a+1)2-4(a+1)+2=0,解得a=1或a=3.又因為數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列,所以當(dāng)a=1時,a1=f(2)=-2,公差為a2-a1=2,不符合題意,舍去.當(dāng)a=3時,a1=2,公差為a2-a1=-2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2-2(n-1)=4-2n.14.多空題若數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an+1,1+a