專題八 四邊形常見模型-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之【2022年】中考二輪專題復(fù)習(xí)【有答案】（全國(guó)適用）

專題八四邊形常見模型一、中點(diǎn)四邊形例題1如圖，已知△ABC，點(diǎn)O是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，B，C重合的任意一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，并順次連接AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G得四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若使四邊形DEFG為矩形，則OA與BC的位置關(guān)系是；若使四邊形DEFG為菱形，則OA與BC的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DGBC，DG＝BC，EFBC，EF＝BC，進(jìn)而可得DGEF，DG＝EF，再由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；（2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案．【詳解】（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DGBC，DG＝BC，∵E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴EFBC，EF＝BC，∴DG＝EF，DGEF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形DEFG是矩形，OA⊥BC．由三角形中位線性質(zhì)得∠EDG＝90°，所以平行四邊形DEFG是矩形．當(dāng)OA＝BC時(shí)，四邊形DEFG是菱形．由三角形中位線性質(zhì)得DE＝EF，所以平行四邊形DEFG是菱形．故答案為：OA⊥BC，OA＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，矩形的判定，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形．練習(xí)題1．我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么？【答案】（1）平行四邊形，理由見解析；（2）平行四邊形；理由見解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由見解析．【解析】【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH=FG，即可求證；（2）連接AC，DB，根據(jù)三角形的中位線定理，可得EH∥GF，EH=FG，即可求證；（3）利用（1）的判定方法，再根據(jù)三角形的中位線定理和矩形、菱形、正方形的判定方法來判定，即可求證．【詳解】（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，如圖1：∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴，，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴FG是△BCD的中位線，∴，，∴EH∥GF，EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：已知平行四邊形ABCD，E，N，M，F(xiàn)分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖2：∵E，F(xiàn)分別是DA，DC的中點(diǎn)，∴EF是△ACD的中位線，∴EF∥AC，EF=，∵M(jìn)，N分別是BC，AB的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥AC，MN=AC，∴EF∥MN，EF=MN，∴四邊形MNEF是平行四邊形；（3）如果原四邊形為矩形，則形成的中點(diǎn)四邊形為菱形，理由如下：已知矩形ABCD，H，E，F(xiàn)，G分別是DA，AB，BC，DC的中點(diǎn)，連接AC，DB，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=BD，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=AC，∵G是CD的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴GH是△ACD的中位線，∴GH=AC，又∵AC=BD，∴EF=GF=EH=GH，四邊形EFGH是菱形；如果原四邊形為菱形，則形成的中點(diǎn)四邊形為矩形，理由如下；已知菱形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF∥BD，，∴EH∥BD∥GF，EH=GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴AC⊥EH，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EH⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形；如果原四邊形為正方形，則形成的中點(diǎn)四邊形為正方形，理由如下：已知正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，連接BD，AC，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH=BD，∵G是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴GF是△BCD的中位線，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH∥BD∥GF，EH=GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴AC⊥EH，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF=AC，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，∵AC=BD，∴EF=EH，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．【答案】（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形【解析】【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∴EF=FG，由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．3．如圖，、是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段、、、上的中點(diǎn)（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時(shí)，？證明你得到的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，理由見解析【解析】【分析】（1）連接EF、GF、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，EF=AB，GH∥AB，GH=AB，證明四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)定理證明即可．【詳解】解：（1）證明：連接EF、GF、GH、HE，∵點(diǎn)E、F分別是線段AD、DB的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF=AB，∵點(diǎn)G、H分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AB，GH=AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴線段EG、FH互相平分；（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EG⊥FH，理由如下：∵點(diǎn)G、F分別是線段BC、BD的中點(diǎn)，∴GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，在四邊形中，如果對(duì)角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線、還要滿足______時(shí)，四邊形是正方形．（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設(shè)點(diǎn)是所在平面上的任意一點(diǎn)且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．【答案】（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由見解析【解析】【分析】（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，只有矩形的對(duì)角線相等，所以矩形是等角線四邊形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，首先證明四邊形是菱形，再證明有一個(gè)角是直角即可；（2）①如圖2中，作于．根據(jù)計(jì)算，求出相關(guān)線段即可；②如圖3中，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，只要證明當(dāng)且、、共線時(shí)，四邊形的面積最大即可．【詳解】解：（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，矩形的對(duì)角線相等，矩形一定是等角線四邊形，故答案為：矩形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由：如圖1，、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是正方形．故答案為：；（2）①如圖2，作于．在中，，，，，，，，四邊形是等角線四邊形，，在中，，．四邊形的面積為；②如圖3中，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，作于，于．則，，四邊形是等角線四邊形，，，即，當(dāng)、重合時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，，，即線段最大時(shí)，四邊形的面積最大，，，，的最大值為6，當(dāng)、、共線時(shí)，取等號(hào)，四邊形的面積的最大值為．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理、正方形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解等角線四邊形的定義，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．5．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形是_______________．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．【答案】（1）平行四邊形；（2）四邊形是菱形，證明見解析；（3）四邊形是正方形．【解析】【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理可得：EH∥FG，，然后利用平行四邊形的判定定理即可證明；（2）四邊形EFGH是菱形．先證明，得到，再利用三角形中位線定理可得，根據(jù)菱形的判定定理即可證明；（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明，利用，得，即可證明，然后根據(jù)正方形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD，∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，，∴EH∥FG，，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）解：如圖2中，連接，，∵，∴即，在和中，，∴，∴∵點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，∴，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；（3）四邊形EFGH是正方形，證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．∵，∴，∵，∴，∵EH∥BD，AC∥HG，∴，∵四邊形是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．6．四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析【解析】【分析】（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H．（1）求證：四邊形EGFH是菱形．（2）當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由．（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，EGAB，HFAB，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義得到∠GFH＝90°，于是得到結(jié)論；（3）由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，EGAB，HFAB，∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG＝EH，∴四邊形EGFH是菱形；（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形，理由：∵GFCD，HFAB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠ABC＋∠DCB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴菱形EGFH是正方形；（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°，理由：∵GFCD，HFAB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°，∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．已知：在矩形ABCD中，，．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD，AB，CD上，．①連接BG，若，求AF的長(zhǎng)；②設(shè)，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH面積最大？若存在，請(qǐng)直接寫出菱形EFGH面積最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面積最大為【解析】【分析】（1）連接，，由、、、分別是，，，的中點(diǎn)可得，，，又，得，即結(jié)論得證；（2）①過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，根據(jù)證，得出，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，則，再利用勾股定理求出即可；②延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，由①知，同理可證，則菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積，得出關(guān)于的關(guān)系式即可得出最大時(shí)菱形面積最大，當(dāng)與重合時(shí)有最大值，求出此時(shí)的值即可．【詳解】解：（1）連接，，、、、分別是，，，的中點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；（2）①如圖2，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，，，，又，，，，，設(shè)，則，，，即，解得，故；②如圖2，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，由已知可得，四邊形是矩形，由①知，同理可證，菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積，，即，，，，，，，，當(dāng)取最大值時(shí)菱形面積最大，當(dāng)與重合時(shí)有最大值，即取到最大值，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，菱形面積最大為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、十字模型例題2如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片的頂點(diǎn)A折疊至邊上的點(diǎn)E，使，若折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，由折疊得到PQ⊥AE，從而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，從而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，在中，，AD=12，由勾股定理得：，∴PQ=13．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解題的關(guān)鍵．練習(xí)題1．如圖，將正方形紙片折疊，使邊、均落在對(duì)角線上，折痕為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的大小為（

）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，從而在∠BAC+∠DAC＝90°，從而可求解．【詳解】解：由題意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF，∴∠EAF∠BAC∠DAC（∠BAC+∠DAC）＝45°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，解答的關(guān)鍵是熟記折疊的性質(zhì)，明確角與角之間的關(guān)系．2．如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為的正方形紙片，點(diǎn)為正方形邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，點(diǎn)落在處，交于，折痕為，連接，.則的周長(zhǎng)是______．【答案】16.【解析】【分析】解過點(diǎn)A作AM⊥GH于M，由正方形紙片折疊的性質(zhì)得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，則EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一條直線的兩直線平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，則∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，則DG=GM，由AAS證得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL證得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，則△PGC的周長(zhǎng)=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥GH于M，如圖所示：∵將正方形紙片折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上的G處，∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，∴AM∥EG，∴∠EGA=∠GAM，∴∠EAG=∠GAM，∴AG平分∠DAM，∴DG=GM，在△ADG和△AMG中，∴△ADG≌△AMG（AAS），∴AD=AM=AB，在Rt△ABP和Rt△AMP中，∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL），∴BP=MP，∴△PGC的周長(zhǎng)=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，故答案為16．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，，用SAS證明，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換即可得；（2）過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，用SAS證明，得，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，用SAS證明，得AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理即可得；【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由（1）得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴（SAS），∴AH=CN，在中，根據(jù)勾股定理，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．4．如圖1，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接、，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，正方形的邊長(zhǎng)為3，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）四邊形為正方形，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）由四邊形為正方形，可得，推得，由，可得，可證即可；（2）、為、中點(diǎn)，可得為的中位線，可證，，由點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，可得PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，可證，，，，，，可證四邊形為平行四邊形．再證四邊形為菱形，最后證即可；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，，，由勾股定理可求，可得，設(shè)，在中，，解得，在中，可求．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，∴∠AHB=90°，∴，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：四邊形為正方形，理由如下：∵、為、中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，，∵點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，∴PQ是的中位線，MQ為的中位線，NP為的中位線，，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，∴四邊形為菱形，∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為正方形．（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)與判定，等角的余角性質(zhì)三角形全等判定與性質(zhì)，三角形中位線判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理建構(gòu)方程，解拓展一元一次方程等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G在邊AD上（不與點(diǎn)A、D重合），BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EG．（1）當(dāng)AG=1時(shí)，求EG的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AG的值等于時(shí)，BE=8－2DF；（3）過G點(diǎn)作GM⊥EG交CD于M

①求證：GB平分∠AGM；

②設(shè)AG=x，CM=y，試說明的值為定值．【答案】（1）；（2）（3）①見解析；②，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)EF是線段BG的垂直平分線，BE=EG，設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，再由勾股定理求解即可；（2）過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G，由BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，得到BE=2CF，先證明四邊形BCFH是矩形，得到CF=HB，則BH=EH=FC，設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF=，由，，，可以得到①，②，聯(lián)立①②求解即可得到答案；（3）①先證明∠EBG=∠EGB，然后根據(jù)ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，即可得到∠AGB=∠BGM；②連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，由角平分線的性質(zhì)得到BH=AB=4，由，可以得到，由勾股定理可以得到即，最后解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）∵EF是線段BG的垂直平分線，∴BE=EG，∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴AB=4，∠A=90°，設(shè)EG=EB=x，則AE=AB-BE=4-x，∵，∴，解得，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥AB于H，連接FB，F(xiàn)G∵EF是線段BG的垂直平分線，∴BF=FG，∵BE=8-2DF，CF=CD-DF=4-DF，∴BE=2CF，∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)H⊥AB，∴∠HBC=∠C=∠BHF=90°，∴四邊形BCFH是矩形，∴CF=HB，∴BH=EH=FC，設(shè)AG=x，BE=y，則AE=4-y，GD=4-x，CF=，∵，，，∴①，②，聯(lián)立①②解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，BE=8-2DF，故答案為：；（3）①∵EF是線段BG的垂直平分線，∴EG=BE，∴∠EBG=∠EGB，∵四邊形ABCD是正方形，EG⊥GM，∴∠A=∠EGM=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BGM=90°，∴∠AGB=∠BGM，∴BG平分∠AGM；②如圖，連接BM，過點(diǎn)B作BH⊥GM，由（3）①得BG平分∠AGM，∴BH=AB=4，∵AG=x，CM=y，∴DG=4-x，DM=4-y，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴（不符合題意），∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．6．如圖1，正方形中，是對(duì)角線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接（與不垂直），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【解析】【分析】（1）過作的垂線，分別交于，連接，利用正方形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，證明出，通過等量代換得出為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；（2）由（1）中，得，從而得，通過等量代換計(jì)算可得，根據(jù)為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作垂線，分別交于，連接，證明出，通過等量代換計(jì)算得，再根據(jù)為等腰直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下；過作的垂線，分別交于，連接，為正方形，,,，垂直平分，，，，，又，，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，．（2），理由如下：由（1）中，，由下圖：，四邊形為矩形，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，又，四邊形為正方形，，同理四邊形為矩形，，，，在中，由正方形的性質(zhì)知，，，為等腰直角三角形，，．（3），理由如下：過點(diǎn)作垂線，分別交于，連接，，，，由（2）得，，，由（2）可得：，為等腰直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形、解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，通過等量代換的思想進(jìn)行求解．7．已知四邊形和四邊形都是正方形，且．（1）如圖1，連接、，求證：；（2）如圖2，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置，恰好使得，.①求的度數(shù)；②若正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出正方形的邊長(zhǎng)的值．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDE=60°；（3）?1【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，再證明△BCG≌△DCE就可以得出結(jié)論；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG=BE得出△BDE為正三角形就可以得出結(jié)論；②延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H，通過證明△BCE≌△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH=BD，由勾股定理就可以求出EH的值，從而求出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°.∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，∴∠BCG=∠DCE.在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE(SAS).∴BG=DE；（2）①連接BE.由（1）可知：BG=DE.∵CG//BD，∴∠DCG=∠BDC=45°.∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°.∵∠GCE=90°，∴∠BCE=360°?∠BCG?∠GCE=360°?135°?90°=135°.∴∠BCG=∠BCE.∵BC=BC，CG=CE，在△BCG和△BCE中，,∴△BCG≌△BCE(SAS).∴BG=BE.∵BG=BD=DE，∴BD=BE=DE.∴△BDE為等邊三角形．∴∠BDE=60°.②延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG(SSS)，∴∠BEC=∠DEC，∴EH⊥BD，BH=BD.∵BC=CD=，在Rt△BCD中由勾股定理，得∴BD=2.∴BE=2∴BH=1.∴CH=1.在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH，∴CE=?1.∴正方形CEFG的邊長(zhǎng)為?1.【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理.8．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：(1)【觀察與猜想】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，，則的值為______；(2)【類比探究】如圖2，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，日．求的值；(3)【拓展延伸】如圖3，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且，，求AB的長(zhǎng)；【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：設(shè)DE與CF的交點(diǎn)為G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，在△AED與△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE=CF，∴=1，故答案為：1；(2)解：如圖2，設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，(3)解：如圖3，過點(diǎn)C作交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵，∴，∴四邊形ABCH為矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．采用類比的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵．三、與正方形有關(guān)的三垂直模型例題3如圖，四邊形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三點(diǎn)共線，，則圖中陰影部分的面積是（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】易證△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．【詳解】∵四邊形AFDC是正方形∴AC=AF，∠FAC=90°∴∠CAE+∠FAB=90°又∵∠CAE+∠ACE=90°∴∠ACE=∠FAB又∵∠CEA=∠FBA=90°∴△AEC≌△FBA∴AB=EC=4∴圖中陰影部分的面積=故選C【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．練習(xí)題1．如圖在直線上一次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋2S2＋2S3＋S4=__．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABD=90°，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，則可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過計(jì)算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．【詳解】解：如圖，∵圖中的四邊形為正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．2．綜合與實(shí)踐：如圖1，在正方形中，連接對(duì)角線，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，O重合），連接，．過點(diǎn)E作交直線于點(diǎn)F．（1）試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）試猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，當(dāng)E在線段上時(shí)（不與點(diǎn)C，O重合），交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，保持其余條件不變，直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得，由此可得，，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證得，等量代換可得，由此可得，再等量代換即可得證；（2）過點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明，利用勾股定理可得，再證明，由此可得，最后再等量代換即可得證；（3）仿照（1）和（2）的證明即可證得．【詳解】解：（1），理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，在與中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：如圖，過點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴，由（1）知：，∴，∴，∴在中，，在與中，∴，∴，又∵，∴；（3），理由如下：如圖，過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)G，設(shè)CD與EF的交點(diǎn)為點(diǎn)P，∴，由（1）可知：，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，由（1）可知：，∴，在與中，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出正確的輔助線并能靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，接EF．（1）求證：△AEF是等腰直角三角形；（2）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）AE的長(zhǎng)為．【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AF，∠EAF=90°，可得結(jié)論；（2）由題意可得四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，可求正方形的邊長(zhǎng)，由勾股定理可求解．【詳解】（1）∵把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正確利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°【解析】【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝2；（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定以及性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰直角三角形等性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時(shí)．(1)求證：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）由題意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，則有∠DAB＝∠FAC，進(jìn)而可證AB＝AC，然后問題可證；（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，則有∠ABD＝∠ACF，進(jìn)而可得∠ACF＝135°，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可求解．【詳解】(1)證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝135°，由(1)知∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∵正方形ADEF邊長(zhǎng)為，∴DF＝4，∴OC＝DF＝×4＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作交的角平分線于，過點(diǎn)作交于，連接，，．（1）求證：．（2）求證：．（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）在邊上截取線段，使連，證明即可求解；（2）由（1），證明四邊形為平行四邊形即可求解；（3）過作垂足為，由（2）知，；得到，，平分所以，可知三角形是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN．【詳解】（1）證明：在邊上截取線段，使連．∵四邊形是正方形;∵BN平分在中,,在和中∴．（2）如圖，設(shè)與CE的交點(diǎn)為H，∵四邊形是正方形∴∵在和中，∴．又，又．四邊形為平行四邊形．．（3）解：如圖所示，過作垂足為．由（2）知，，又∴即平分所以，∴三角形是等腰直角三角形，在中，設(shè)，則，即，．，，在中，，又在中，，，．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定和判定以及勾股定理的應(yīng)用，掌握它們的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．7．（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過點(diǎn)A作AM⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于M，觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請(qǐng)你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖．【答案】（1）AE=AF，理由見解析；（2）CE=MF，理由見解析；（3）如圖所示，見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角互余的關(guān)系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)△ABF≌△ADE及三角形外角的性質(zhì)可求出∠AFM=∠AEC，根據(jù)兩角互余的關(guān)系∠MAF=∠EAC，再由ASA定理求出△AMF≌△ACE，可得CE=MF；（3）畫出示意圖，只要求出C、D、F共線，即可求出四邊形AECF是正方形；【詳解】（1）AE=AF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD．∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE．在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE（ASA）∴AE=AF；（2）CE=MF．理由：∵△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM=∠AEC．∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°，∴∠MAF=∠EAC，在△AMF和△ACE中，∴△AMF≌△ACE（ASA），∴CE=MF．(3)如圖所示．過A作AE⊥BC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把△ABE切下，拼到△ADF的位置，∵∠C=∠BAD=90°，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴C、D、F共線，∵AE=AF，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，∴四邊形AECF是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形進(jìn)行割補(bǔ)．8．（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直AP于點(diǎn)E，交線段AB于點(diǎn)M，交線段CD于點(diǎn)N，證明：AP＝MN；（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N．求證：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求線段EF的最大值與最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF最大值：，EF最小值：1【解析】【分析】（1）過B點(diǎn)作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，根據(jù)平行四邊形和正方形的性質(zhì)求證△ABP≌△BCH（ASA），然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求得FP＝FC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角和等量代換求得∠AFP＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到FE＝AP，結(jié)合（1）問結(jié)論即可求證；（3）根據(jù)（2）問結(jié)論得到EF＝MN，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，EF有最小值；當(dāng)點(diǎn)P和C重合時(shí)，EF有最大值，根據(jù)正方形的對(duì)角線即可求解．【詳解】（1）如圖1，過B點(diǎn)作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四邊形MBHN為平行四邊形，∴MN＝BH，∵四邊形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如圖2，連接FA，F(xiàn)P，F(xiàn)C∵正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN；（3）由（2）有，EF＝ME+FN，∵M(jìn)N＝EF+ME+NF，∴EF＝MN，∵AC，BD是正方形的對(duì)角線，∴BD＝2，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，EF最小值＝MN＝AB＝1，當(dāng)點(diǎn)P和C重合時(shí)，EF最大值＝MN＝BD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，本題考查較為綜合，題目較難，熟練掌握各部分定理和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)在同一直線上，連接，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）如圖2，是邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．①求證：；②若，直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS證明△BCE≌△DCF，得出對(duì)應(yīng)邊相等BE=FD；（2）①由正方形的性質(zhì)得出CD//GE，得出，從而得到，再結(jié)合已知條件利用比例的性質(zhì)即可得證②由得出，結(jié)合①可得，從而即可得出的值【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE=FD；（2）①∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，∴CD//GE，GF=EC∴，∴∴∵∴∵BC=CD∴②∵∴∵∴∵AB=CD∴【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、相全等三角形的性質(zhì)和判定，得出是解題的關(guān)鍵10．如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（直接寫出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤60°），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論；（3）若BC＝DE＝4，當(dāng)α等于多少度時(shí)，AE最大？并求出此時(shí)AF的值．【答案】（1）BG＝AE，BG⊥AE，見解析；（2）結(jié)論成立，BG＝AE，BG⊥AE，見解析；（3）當(dāng)α為270°時(shí)，AE最大，AF＝【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論．（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論．（3）由（2）可知BG=AE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）結(jié)論：BG＝AE，BG⊥AE．理由：如圖1，延長(zhǎng)EA交BG于K．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四邊形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，∵∠GAK＝∠DAE，∴∠AKG＝∠ADE＝90°，∴EA⊥BG．（2）結(jié)論成立，BG＝AE，BG⊥AE．理由：如圖2，連接AD，延長(zhǎng)EA交BG于K，交DG于O．∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四邊形EFGD為正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，∵∠GOK＝∠DOE，∴∠OKG＝∠ODE＝90°，∴EA⊥BG．（3）∵BG＝AE，∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值．如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時(shí)，BG＝AE．∵BC＝DE＝4，∴BG＝2+4＝6．∴AE＝6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF＝＝，∴AF＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．四、垂美四邊形例題4如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是_____________．（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點(diǎn)M，已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng)．【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2=AB2+CD2，證明見解析；（3）GE=．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)即可判斷；（2）連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為E，由垂美四邊形的性質(zhì)可得AC⊥BD，即可得到∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理可得結(jié)果；（3）連接CG，BE，根據(jù)條件可得△GAB≌△CAE，可得∠ABG=∠AEC，根據(jù)條件證明四邊形CGEB是垂美四邊形，由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得到GE=；【詳解】（1）菱形，正方形．（2）AD2+BC2=AB2+CD2．證明：連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為E．∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，即∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．（3）連接CG，BE．∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE．∴∠ABG=∠AEC．又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°．又∵∠BMC=∠AME，∴∠ABG+∠BMC=90°．∴CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形．由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2．∵AC=4，AB=5，∴由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.∴GE=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)題1．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB2，CD2與BC2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長(zhǎng)．【答案】（1）垂美四邊形，證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：∵AB=AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，求證：AD2+BC2=AB2+CD2．證明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC==3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫序號(hào)）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長(zhǎng)．【答案】（1）①③；（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂美四邊形的定義判斷即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結(jié)論；（3）先由SAS證明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，進(jìn)而證出CE⊥BG，再根據(jù)勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵正方形，菱形的對(duì)角線互相垂直，∴正方形，菱形是垂美四邊形，故答案為：①③．（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．理由：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．（3）連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2=CB2+GE2，∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，∴AC==8，∴CG=，BE=，∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，∴GE=．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，垂美四邊形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用及全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)．3．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（如圖1）（1）概念理解：在平行四邊形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四邊形的是；（2）性質(zhì)證明：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系_________________________；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，聯(lián)結(jié)CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）【解析】【分析】（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用勾股定理即可得出結(jié)論；（3）先判斷出CE⊥BG，得出四邊形CGEB是垂美四邊形，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四邊形，故答案為：菱形、正方形；（2）如圖1，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案為：AD2+BC2＝AB2+CD2，（3）如圖2，設(shè)AB與CE相交于點(diǎn)M，連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴，∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．（1）概念理解：如圖1，在四邊形中，，，判斷四邊形是否為垂美四邊形，并說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形中探究、、、之間的數(shù)量關(guān)系；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE、CE交BG于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．若AB=3，AC=2，求線段GE的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB2+CD2=AD2+BC2，證明見解析；（3）EG=．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】解：（1）如圖，四邊形ABCD是垂美四邊形；理由如下：連接AC、BD交于點(diǎn)E，∵AB=AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：AB2+CD2=AD2+BC2，證明：在四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2；（3）如圖3，連接CG，BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNC=90°，即BG⊥CE，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2，∵AC=2，AB=3，∴BC=，CG=2，BE=3，∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21，∴EG=．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（1）【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號(hào)）（2）【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由．（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對(duì)角線交于點(diǎn)，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長(zhǎng)．【答案】（1）③④；（2）四邊形是垂美四邊形，理由見解析；（3），證明見解析；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂美四邊形的定義及特殊平行四邊形的特點(diǎn)即可判斷；（2）連接，，根據(jù)垂直平分線的判定得到AC⊥BD，故可求解；（3）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（4）連接、，證明，再得到四邊形是垂美四邊形，結(jié)合（3）的結(jié)論即可求解．根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（3）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】（1）①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，對(duì)角線垂直的有菱形與正方形故能稱為垂美四邊形是菱形與正方形故答案為：③④（2）四邊形是垂美四邊形，理由如下：連接，，，，點(diǎn)、點(diǎn)都在線段的垂直平分線上，是線段的垂直平分線，∴AC⊥BD四邊形是垂美四邊形（3）猜想：．證明：，，由勾股定理，得，，，，，，．（4）如圖3，連接、，在正方形和正方形中，，，，即，在和中，，，，又，，，即，四邊形是垂美四邊形由性質(zhì)探究知，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形兩組對(duì)邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程（先畫出圖形）（3）問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，已知，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）是，理由見解析；（2）垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）先判斷出△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，進(jìn)而根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】解：（1）四邊形是垂美四邊形．證明：連接AC、BD交于點(diǎn)E，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形中，，垂足為，求證：證明：∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）連接、，∵，∴，即，∵∴，∴，又，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，，∴，，∴，∴【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的四邊形稱為垂等四邊形．（1）寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是_________；（2）如圖1，在方格紙中，A，B，C在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形，使，是對(duì)角線，點(diǎn)D在格點(diǎn)上．（3）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在，，上，四邊形是垂等四邊形，且．①求證：；②若，求n的值；【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）見解析；（3）①見解析；②【解析】【分析】（1）矩形的鄰邊垂直且對(duì)角線相等，則矩形是垂等四邊形；（2）根據(jù)垂等四邊形的定義畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形即可；（3）①由SAS證得△ADF≌△CDG（SAS），得出DF=DG，再由垂等四邊形定義得出EG=DF，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，則四邊形CDHG為矩形，得出CG=DH，由①得EG=DG，由等腰三角形的性質(zhì)得DH=EH，推出CG=DH=EH，證明△BFG為等腰直角三角形，得出∠GFB=45°，再證明△A