2023-2024學(xué)年湖北省襄陽市宜城市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖北省襄陽市宜城市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知直線過，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，等腰梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（

）

A． B．12C． D．64．已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．5．在跳水比賽中，有8名評(píng)委分別給出某選手原始分，在評(píng)定該選手的成績時(shí)，從8個(gè)原始分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分（最高分和最低分不相等），得到6個(gè)有效分，這6個(gè)有效分與8個(gè)原始分相比較，下列說法正確的是（

）A．中位數(shù)，平均分，方差均不變 B．中位數(shù)，平均分，方差均變小C．中位數(shù)不變，平均分可能不變，方差變小 D．中位數(shù)，平均分，方差都發(fā)生改變6．在中，已知，，若有兩解，則（

）A． B． C． D．7．七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形．若該同學(xué)從這七塊小木板中隨機(jī)抽取2塊，這兩塊的面積相等的概率是（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題5分，共20分）9．若向量，滿足，，則（

）A．B．與的夾角為C．D．在上的投影向量為10．小明參加文學(xué)社、話劇社、辯論社的社團(tuán)招新面試，已知三個(gè)社團(tuán)面試成功與否互不影響，文學(xué)社面試成功的概率為，話劇社面試成功的概率為，辯論社面試成功的概率為，則（

）A．文學(xué)社和話劇社均面試成功的概率為B．話劇社與辯論社均面試成功的概率為C．有且只有辯論社面試成功的概率為D．三個(gè)社團(tuán)至少一個(gè)面試成功的概率為11．已知不同直線，，不同平面，，，下列說法正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則12．已知在棱長為4的正方體中，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)P在棱上，下列說法正確的有（

）A．B．當(dāng)直線AP與平面所成角的正切值為時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是D．當(dāng)時(shí)，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長為三、填空題（每小題5分，共20分）13．假設(shè)，，且與相互獨(dú)立，則．14．已知直線過點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為．15．已知，，則的取值范圍為.16．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為．四、解答題（17題10分，18-22題每小題12分，共70分）17．如圖所示，在平行六面體中，，，，P是的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，用基底表示以下向量：

(1)；(2)；(3).18．如圖：正方體，為棱的中點(diǎn).（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，滿足？若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.19．為激活國內(nèi)消費(fèi)市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺(tái)一系列的促進(jìn)國內(nèi)消費(fèi)的優(yōu)惠政策.某機(jī)構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費(fèi)者的購買力，現(xiàn)從電商平臺(tái)消費(fèi)人群中隨機(jī)選出人，并將這人按年齡分組，記第組，第組，第組，第組，第組，得到如下頻率分布直方圖：

(1)求出頻率分布直方圖中的值和這人的年齡的中位數(shù)及平均數(shù)；(2)從第組中用分層抽樣的方法抽取人，并再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行電話回訪，求這兩人恰好屬于同一組別的概率.20．如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大??；②在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．21．在中，有，其中、、分別為角、、的對(duì)邊.(1)求角的大小；(2)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，求的取值范圍.22．如圖，直三棱柱的體積為4，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，的面積為．(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)，平面平面，求平面與平面所成角的余弦值．1．C【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，即可求出共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可知其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限.【詳解】復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C.2．B【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因?yàn)橹本€過，，所以斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.3．A【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，由此計(jì)算出的面積.【詳解】在直觀圖中，，在原圖中，，，所以平面圖形的面積為.故選：A

4．D【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離是.故選：D.5．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析判斷.【詳解】不妨設(shè)原始分為，且，則其中位數(shù)為，則有效分為，則其中位數(shù)為，兩者相等，所以中位數(shù)不變，例如：原始分為，則其平均數(shù)為2，則有效分為，則其平均數(shù)為2，兩者相等，所以平均數(shù)可能不變，因?yàn)閺?個(gè)原始分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分（最高分和最低分不相等），得到6個(gè)有效分，即把波動(dòng)最大的兩個(gè)值去掉，則有效分比原始分更集中，波動(dòng)性減小，根據(jù)方差的定義可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差變小.故選：C.6．C【分析】根據(jù)正弦定理及圖形關(guān)系得到即可得到答案.【詳解】

如上圖所示，要使有兩解，則以為圓心，為半徑的圓與射線有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩解的充要條件為，代入題設(shè)得.故選：C.7．A【分析】先算出各個(gè)小木板的面積，進(jìn)而根據(jù)古典概型加法公式求得答案.【詳解】如圖，設(shè)正方形EGHI的邊長為x（dm），根據(jù)題意可知，AE=CE，即.容易求得,記為S=4，，記為，，記為.所以所求概率.故選：A.8．B【分析】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由直角三角形外接圓為斜邊中點(diǎn)，且由題意可知，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，可解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由，，所以的外接圓直徑，且圓心為，由于底面，，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的直徑，所以外接球的體積．故選：B

9．BCD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式、投影向量的定義逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本選項(xiàng)不正確；B：由上可知，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；D：在上的投影向量為，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD10．BCD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)題意，文學(xué)社和話劇社均面試成功的概率為，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)題意，話劇社與辯論社均面試成功的概率為，所以B正確；對(duì)于C中年，根據(jù)題意，有且只有辯論社面試成功的概率為，所以C正確；

對(duì)于D中，三個(gè)社團(tuán)都不成功的概率為，所以三個(gè)社團(tuán)至少一個(gè)面試成功的概率為，所以D正確.故選：BCD.11．BC【分析】根據(jù)面面平行的判定以及性質(zhì)可知A錯(cuò)誤；由線面平行的判定定理可得B正確；利用面面垂直的性質(zhì)可得C正確；由面面垂直性質(zhì)可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，若，，，，此時(shí)可能相交，如下圖所示：

當(dāng)，都與平行時(shí)，相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，利用線面平行的性質(zhì)可知存在直線滿足，且，又，所以，又，所以可得，即B正確；對(duì)于C，若，，，不妨設(shè)，如下圖所示：

假設(shè)不成立，過直線上一點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)；由，，可知，，，這與“過平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該平面垂直”矛盾，所以應(yīng)重合為交線，所以，可得C正確；對(duì)于D，如圖所示：

若，，，此時(shí)可能斜交，不一定垂直，所以D錯(cuò)誤；故選：BC12．ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，證明平面即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，連接,則就是直線AP與平面所成角，求出即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點(diǎn)E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長，即可判斷得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由正方體得平面，所以,又.又,所以,因?yàn)槠矫?,所以平面,所以.所以該選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，連接,則就是直線AP與平面所成角，所以，所以該選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，所以，又.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，由題得,則截面圓的半徑為.由題得截面圓的圓心為點(diǎn),在平面內(nèi)作，且.以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓與棱分別交于.所以.所以，以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線為以點(diǎn)E為圓心，以為半徑，圓心角為的扇形的弧長，所以以O(shè)為球心，OP為半徑的球面與側(cè)面的交線長.所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD

13．0.92##【分析】由并事件的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】事件與相互獨(dú)立，則，由并事件的概率公式.故0.92.14．【分析】在坐標(biāo)系中標(biāo)出這三個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)直線和線段有公共點(diǎn)的臨界情況分析.【詳解】在同一坐標(biāo)系下標(biāo)出這三個(gè)點(diǎn)，連接，如圖當(dāng)直線恰好經(jīng)過時(shí)為臨界情況，又，當(dāng)直線從位置順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到位置時(shí)，由傾斜角和斜率的關(guān)系可知，.故

15．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，即可求解.【詳解】∵，∴，即的取值范圍為.故答案為.16．【分析】根據(jù)給定的幾何體，證明平面，求出四棱錐的體積即可；證明點(diǎn)所在平面平行于平面，作出過點(diǎn)與平面平行的幾何體的截面，求出其周長作答.【詳解】連接，有，而，為中點(diǎn)，則有，，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點(diǎn)，于是點(diǎn)共面，而，即有，，因?yàn)?，，平面，則平面，又平面，即有，則，同理，即，從而，即四邊形為平行四邊形，，，等腰梯形中，高，其面積，顯然平面，所以多面體的體積；因?yàn)槠矫?，同理可得平面，又，則平面，依題意，動(dòng)點(diǎn)所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過點(diǎn)，令這個(gè)平面與幾何體棱的交點(diǎn)依次為，則,又為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為五邊形，長度為：.故；思路點(diǎn)睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質(zhì)，確定動(dòng)點(diǎn)與所在平面內(nèi)的定點(diǎn)或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.17．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）連接AC，，，根據(jù)在平行六面體中各向量對(duì)應(yīng)線段與，，對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，用，，表示出各向量即可.【詳解】（1）連接AC，，，

；（2）；（3）.18．（1）；（2）存在，點(diǎn)P在棱上靠近的四等分點(diǎn)處.【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，利用直線的方向向量的角的余弦值求解；（2）利用向量的數(shù)量積等于0，運(yùn)算求解.【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則,,，所以直線與直線所成角的余弦值為；（2）棱上是否存在一點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為,則,,故在棱上存在點(diǎn)，滿足，這點(diǎn)P在棱上靠近四等分點(diǎn)處.利用空間坐標(biāo)系求解線線角的問題是十分簡潔的.注意在求異面直線所成的角時(shí)，其余弦值等于直線上的方向向量所成的角的余弦的絕對(duì)值.19．(1)，中位數(shù)為，平均數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率和為的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得；根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù)的方法，直接估算即可；（2）根據(jù)分層抽樣可確定人中分別來自第的人數(shù)，利用列舉法可得所有基本事件和滿足題意基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)知：，解得：；，，中位數(shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，即中位數(shù)為；平均數(shù)為.（2）第組的頻率之比為，抽取的人中，第組應(yīng)抽取人，記為；第組應(yīng)抽取人，記為，則從人中隨機(jī)抽取人，有，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；其中滿足兩人恰好屬于同一組別的有，，，，共個(gè)基本事件；兩人恰好屬于同一組別的概率.20．Ⅰ詳見解析；Ⅱ①，②或．【分析】Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大小；求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時(shí)，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.21．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）延長到滿足，連接、，則為平行四邊形，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，在中利用三角形的三邊關(guān)系，綜合可得出的取值范圍.【詳解】（1）解：在中，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?、，則，，所以，，則，所以，，故.（2）解：如圖，延長到滿足，連接、，則為平行四邊形，則，，，，

在中，由余弦定理得：，則，可變形為