【數(shù)學(xué)】湖北省武漢市部分重點中學(xué)5G聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考試題（解析版）

湖北省武漢市部分重點中學(xué)5G聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.與平行，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由與平行，得，所以.故選：B2.現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為1，將它重新制作成一個體積與高均不變的圓錐，則該圓錐的底面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面積為，則，解得.故選：B.3.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】從5條線段中任取3條的所有基本事件有10個，即，其中能構(gòu)成三角形的基本事件有3個，即，故所求概率.故選：A4.已知圓：，直線：與相交于，兩點，則的最小值為（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】由圓的方程可得圓心，半徑，直線的方程可整理為：，令，解得，所以直線恒過定點，由題意知，當與垂直時，弦長最小，，，所以，直線：，點到直線的距離，所以.故選：A.5.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：D.6.某校高二年級（1）（2）班準備聯(lián)合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一人先進行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節(jié)目.（1）班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7的兩個轉(zhuǎn)盤（如圖所示），設(shè)計了一種游戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝．兩班獲勝的概率分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】設(shè)（1）班獲勝為事件，（2）班獲勝為事件，，.故選：C.7.2022年10月7日21時10分，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間北斗低軌導(dǎo)航增強系統(tǒng)S5/S6試驗衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功，其中的“地球同步轉(zhuǎn)移軌道”是一個以地心（地球的中心）為焦點的橢圓，如圖，已知它的近地點（離地面最近的點）A距地面天文單位，遠地點（離地面最遠的點）距地面天文單位，并且在同一直線上，地球半徑約為天文單位，則衛(wèi)星軌道的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓方程為，由題意得，則橢圓長軸長為，即，設(shè)橢圓的左焦點為，由對稱性可知，，由橢圓定義可知，，即離心率為.故選：B8.四棱柱中，側(cè)棱底面，，底面中滿足，，，為上的動點，為四棱錐外接球的球心，則直線與所成角的正弦值的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為在四棱柱中，側(cè)棱底面，所以四棱柱為直四棱柱，所以，因，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，，，所以,球心在平面的投影坐標為，則設(shè)球心，因為，所以，解得，所以，設(shè)，則，所以，設(shè)（），則所以當，即時，有最大值，此時直線與所成的角最小，則其對應(yīng)的正弦值也最小，正弦值為故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知橢圓，，是橢圓的左右焦點，P為橢圓上任意一點.下列說法中正確的是（）A.橢圓離心率為 B.的最大值為3C. D.【答案】ABC【解析】由橢圓，可得，則，對于A中，由橢圓的離心率為，所以A正確；對于B中，由橢圓的幾何性質(zhì)，當點為橢圓的右頂點時，可得，所以B正確；對于C中，當點為橢圓的短軸的端點時，可得，，所以，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得，所以C正確；對于D中，由橢圓的定義，可得，所以D錯誤.故選：ABC.10.已知點在直線上移動，圓，直線，是圓切線，切點為，.設(shè)，則下列說法正確的是（）A.B.存在點，使得C.四邊形的面積取值范圍是D.當?shù)淖鴺藶闀r，的方程為【答案】AC【解析】對于A選項，連接，，因為，為圓的切線，所以，，，，所以，所以，故A正確；對于B選項，，有當最小時，最大，即最大，當時，此時最小，，所以，可得，即，故B錯誤；對于C，四邊形的面積，又，又，所以,所以，即四邊形的面積得取值范圍是，故C正確；對于D，設(shè)，，利用圓的切線方程，得到切線，，將代入可得，，，所以過，兩點的直線為，故D錯誤.故選：AC.11.在六月一號兒童節(jié)，某商家為了吸引顧客舉辦了抽獎送禮物的活動，商家準備了兩個方案.方案一：盒中有6個大小和質(zhì)地相同的球，其中2個紅球和4個黃球，顧客從盒中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取一個球，顧客抽到的紅球個數(shù)等于可獲得禮物的數(shù)量；方案二：顧客投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次投擲中向上點數(shù)為3的倍數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)等于可獲得禮物的數(shù)量．每位顧客可以隨機選擇一種方案參加活動，則下列判斷正確的是（）A.方案一中顧客獲得一個禮物的概率是B.方案二中顧客獲得一個禮物的概率是C.方案一中顧客獲得禮物的機會小于方案二中顧客獲得禮物的機會D.方案二中“第一次向上點數(shù)是1”和“兩次向上點數(shù)之和為7”相互獨立【答案】ABD【解析】A:方案一中顧客獲得一個禮物的概率是,故A正確;B:方案二中顧客獲得一個禮物的概率是,故B正確;C:記方案一中顧客獲得禮物的概率為，記方案二中顧客獲得禮物的概率為，,故C錯誤;D:記方案二中“第一次向上點數(shù)是1”為事件,兩次向上點數(shù)之和為7為事件,,,所以方案二中“第一次向上點數(shù)是1”和“兩次向上點數(shù)之和為7”相互獨立,故D正確.故選：ABD.12.如圖，在平行六面體中，，，點，分別是棱，的中點，則下列說法中正確的是（）A.B.向量，，共面C.平面D.若，則該平行六面體高為【答案】ACD【解析】設(shè)，由題意得，，，所以，故A正確；，若向量，，共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，即，而，，不共面，則有，顯然不成立，所以向量，，不共面，故B錯；，，，所以，，因為，平面，所以平面，故C正確；連接，，，過點作平面于點，由題意得，則三棱錐為正四面體，所以點到平面的距離即為正四面體的高，即平行六面體的高，，，所以平行六面體的高為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知事件與事件互斥，若，，那么________.【答案】0.8【解析】.故答案為：0.8.14.在一次生活常識競答活動中，共有20道常識題，兩位同學(xué)獨立競答，其中一位同學(xué)答對了12道題，另一位同學(xué)答對了8道題，假設(shè)答對每道題都是等可能的.任選一道常識題，至少有一人答對的概率________.【答案】【解析】設(shè)任選一道常識題，至少有一人答對為事件，則.故答案為：.15.已知點，，在圓上運動，且，的中點為，若點的坐標為，則的最大值為________.【答案】15【解析】設(shè)，因為，的中點為，則，則，則，其幾何意義為，圓上的點到點的距離，則其最大值為.故答案為：1516.在三棱錐中，，，，且，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為________.【答案】【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：，，且，，所以，、均為等腰直角三角形，且，所以，，所以，為三棱錐的外接球直徑，設(shè)，可得，設(shè)，，為的中點，則，同理可得，平面，平面，所以，，，在中，由余弦定理可得，即，可得，由，可得，化簡可得，即，，解得，因此，三棱錐外接球的體積為.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓，圓.（1）若直線經(jīng)過圓與圓的公共點，求直線的方程；（2）若圓過兩圓的交點且圓心在直線上，求圓的方程.解：（1）聯(lián)立方程組，作差可得：即兩圓的交點所在直線方程為：，故直線的方程為.（2）聯(lián)立方程組，解得或，即兩圓的交點坐標為和.弦AB的垂直平分線方程為圓過兩圓的交點且圓心在直線上圓的圓心既在弦AB的垂直平分線又在直線上.聯(lián)立方程組，解得，即得圓的圓心坐標為.圓的半徑圓的方程為18.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租用時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算)．有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，，超過兩小時但不超過三小時還車的概率分別為，，兩人租車時間都不會超過四小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．解：（1）因為甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，，超過兩小時但不超過三小時還車的概率分別為，，所以甲、乙兩人超過三小時但不超過四小時還車的概率分別為，，記甲、乙兩人所付租車費用相同為事件A，則P（A）＝，所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為.（2）若ξ＝4，則甲不超過2小時乙超過3小時不超過4小時，或乙不超過2小時甲超過3小時不超過4小時，或甲乙都超過2小時不超過3小時，所以P(ξ＝4)＝，若ξ＝6，則甲超過2小時乙超過3小時不超過4小時，或乙超過2小時甲超過3小時不超過4小時，所以P(ξ＝6)＝19.已知的頂點，高CD所在直線方程為，角的平分線BE所在直線方程為．求：（1）點的坐標；（2）BC邊所在直線方程．解：（1）∵的頂點，高CD所在直線方程為，角的平分線BE所在直線方程為，∴直線AB的斜率，∴直線AB的方程為：，即，聯(lián)立，得，∴B點坐標為；（2）∵，，角的平分線BE所在直線方程為，∴，∴，解得或（舍），∴直線BC的方程為：，即．20.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框、的邊長都是，且平面平面，活動彈子、、分別在正方形對角線和、上移動，記，平面，記.（1）證明：平面；（2）當?shù)拈L最小時，求二面角的余弦值.解：（1）因為平面，且平面，平面平面，則，因為，所以，，則，，即，所以，，因為，所以，，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面.（2）由（1）知，平面，因為平面，所以，，所以，，當且僅當時，等號成立，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.21.如圖所示，幾何體中，，均為正三角形，四邊形為正方形，，，，分別為線段與線段的中點，、相交于點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點點，連接，，因為，，為線段的中點，所以，，又因為中點為，為中點，所以，，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以∥平面.（2）在正三角形中有，易知，由（1）知，在正方形中有，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（3）以過點作的垂線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直