2023-2024學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省開封市五縣聯(lián)考高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，則實數(shù)等于（

）A．2 B．3 C．4 D．52．過點且平行于直線的直線方程為（）A． B． C． D．3．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在上，且，點N為BC中點，則（

）A． B．C． D．4．如圖，在直二面角中，是直線上兩點，點，點，且，，，那么直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要6．如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．7．若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（

）A．若非零向量，，滿足，，則有B．任意向量，，滿足C．若，，是空間的一組基底，且，則A，B，C，D四點共面D．已知向量，，若，則為銳角10．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角范圍是B．若直線與直線互相垂直，則C．過兩點，的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為11．已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，E為中點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．異面直線與所成的角的余弦值為C．與平面所成的角的正弦值為 D．三棱錐外接球的表面積為12．已知圓，點是直線上一動點，過點作圓的切線、，切點分別是和，則下列說法錯誤的有（

）A．圓上恰有一個點到直線的距離B．切線長的最小值C．四邊形面積的最小值為D．直線恒過定點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線，直線，若，則實數(shù)的值為．14．已知是所在平面外一點，，且，則實數(shù)的值為.15．已知三點點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)．16．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)，，.(1)試用表示向量；(2)求BM的長.18．已知的三個頂點的坐標(biāo)為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．19．如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?20．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點．(1)證明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．21．已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，0），且該圓經(jīng)過點A（0，4）．(1)求圓C的標(biāo)準方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標(biāo)．22．如圖，在三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若，點在棱上，且二面角的大小為，求．1．C【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算和向量坐標(biāo)的相等即可求解.【詳解】因為，所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),所以，故選：C.2．A【分析】首先根據(jù)平行關(guān)系設(shè)直線方程，再代入點的坐標(biāo)，求直線方程.【詳解】設(shè)與直線平行的直線是，代入點得，得，所以直線方程是.故選：A3．B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又點N為BC中點，所以，所以.故選：B.4．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求得答案.【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點，以過點B作BC的垂線為x軸，以BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,故,則,故直線與直線所成角的余弦值為，故選：B.5．A【分析】由可得直線與直線平行，即充分條件成立；由直線與直線平行，求得的值為，即必要條件成立；【詳解】因為，所以直線，直線，則與平行，故充分條件成立；當(dāng)直線與直線平行時，，解得或，當(dāng)時，直線與直線重合，當(dāng)時，直線，直線平行，故必要條件成立.綜上知，“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A.6．A【分析】由，可得，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：，，，，，．，，，即的長為.故選：A．7．A【分析】根據(jù)直線所過的定點，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點，）．當(dāng)直線經(jīng)過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；當(dāng)與半圓相切時，由，得，切線記為．分析可知當(dāng)時，與曲線有兩個不同的交點，

故選：A．8．C【分析】根據(jù)點的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為．故選：C．9．ACD【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)、共面向量定義、空間夾角的計算公式逐一判斷即可.【詳解】A：因為，，是非零向量，所以由，，可得，因此本選項說法正確；B：因為向量，不一定是共線向量，因此不一定成立，所以本選項說法不正確；C：因為，，是空間的一組基底，所以三點不共線，又因為，所以A，B，C，D四點共面，因此本選項說法正確；D：，當(dāng)時，，若向量，同向，則有，所以有，而，所以向量，不能同向，因此為銳角，故本選說法正確，故選：ACD10．AC【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角的關(guān)系，直線位置關(guān)系以及直線方程的應(yīng)用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：直線，其斜率，設(shè)直線傾斜角為，故可得，則，故A正確；對B：直線與直線互相垂直，則，解得或，故錯誤；對：過兩點，的直線方程為，故C正確；對D：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為和，故D錯誤；故選：AC.11．ACD【分析】對于A：取AC的中點F，連接PF,BF，證明出面，即可得到.對于B、C：先證明出，，.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解；對于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.即可求解.【詳解】對于A：在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，取AC的中點F，連接PF,BF，則.又，所以面，所以.故A正確.對于B：因為，，,所以面，所以，.在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.所以.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.所以,.設(shè)異面直線與所成的角為，則.即異面直線與所成的角的余弦值為.故B錯誤；對于C：，.設(shè)平面ABC的一個法向量為，則,不妨設(shè)x=1，則.設(shè)與平面所成的角為，則.即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.對于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.設(shè)其半徑為R，由正方體的外接球滿足,所以.所以球的表面積為.故D正確.故選：ACD.12．ABD【分析】計算出圓心到直線的距離，比較與的大小，可判斷A選項的正誤；利用勾股定理可判斷B選項；利用三角形的面積公式可判斷C選項；求出直線的方程，可求得該直線所過定點的坐標(biāo)，可判斷D選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.對于A選項，，所以，圓上有兩個點到直線的距離為，A錯；對于B選項，由切線的性質(zhì)可知，所以，，故當(dāng)時，取最小值，且，故，B錯；對于C選項，由切線長定理可得，又因為，，所以，，所以，四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為，C對；對于D選項，設(shè)點，則，線段的中點為，，所以，以線段為直徑的圓的方程為，將圓和圓的方程作差可得，即，即，由，解得，故直線恒過定點，D錯.故選：ABD.13．或【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件求解即可.【詳解】因為，所以，解得或，故或14．【分析】由可得出關(guān)于的表達式，再利用空間向量的減法可求得、、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，所以，，，，因此，.故答案為.15．【分析】設(shè)，由點在直線上求出，表示出和，，利用二次函數(shù)求出最小值，得到點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，∵，則由點在直線OP上可得存在實數(shù)λ使得，所以，則，所以，，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，取得最小值，此時點的坐標(biāo)為.故16．##【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點，點到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則的中點為，,故解得，由知軍營所在區(qū)域中心為，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故17．(1)(2)【分析】利用空間向量基本定理用基底表示；（2）在第一問的基礎(chǔ)上運用空間向量數(shù)量積運算法則進行運算.【詳解】（1）（2），所以，則BM的長為.18．(1)(2)24【分析】（1）先求出直線的斜率，進而得邊上的高的斜率，由點斜式寫出方程即可；（2）先求出及直線方程，再由點到直線距離公式求得到的距離，即可求得面積.【詳解】（1）因為，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點，故方程為，化簡得．（2），直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.19．(1)；(2)該船有觸礁的危險．【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.【詳解】（1）依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點，又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為，由（1）知，圓C的圓心為，半徑，則圓心C到直線l的距離，則，所以該船有觸礁的危險.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取PD的中點G，連接CG，EG，則由三角形中位線定理可得，再結(jié)合底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，然后利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：取PD的中點G，連接CG，EG，因為E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．（2）解：連接，因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因為四邊形ABCD為菱形，，所以為等邊三角形，因為F為BC的中點，所以，因為∥，所以，所以兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz．因為，所以D（0，0，0），F(xiàn)(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），則．設(shè)平面DEF的法向量，則，令，得．設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為θ，則，所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為21．(1)；(2)證明見解析；定點.【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準為，求出即得解；（2）直線n斜率不存在時，不存在；直線n斜率存在時，設(shè)直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.【詳解】（1）解：設(shè)圓的標(biāo)準為，把代入得，故圓的標(biāo)準方程為．（2）證明：當(dāng)直線n斜率不存在時，設(shè)，，直線，的斜率之積為2，，，即，點在圓上，，聯(lián)立，，舍去，當(dāng)直線n斜率存在時，設(shè)直線n：，，，，，①聯(lián)立方程，，，代入①，得，化簡得或，若，則直線過，與題設(shè)矛盾，舍.直線n的方程為：，所以且所以.所以過定點．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接、，證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）妨設(shè)，