2023-2024學年寧夏靈武市高二上冊第一次月考數學試題（含解析）

2023-2024學年寧夏靈武市高二上冊第一次月考數學試題注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一?單選題1．直線經過點，且傾斜角，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．已知，，且，則（

）A． B．2 C．4 D．63．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在上，且，點N為BC中點，則（

）A． B．C． D．4．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則5．如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A． B． C． D．6．在正方體中，M是線段（不含端點）上的動點，N為BC的中點，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面7．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E為CD的中點，F是AD上一點，當BF⊥PE時，等于（

）A． B．1 C．2 D．38．如圖所示，正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，若面，則線段長度的最小值是（

）A． B．3 C． D．二?多選題9．已知直線，則該直線（

）A．過點 B．斜率為C．傾斜角為 D．在x軸上的截距為10．空間直角坐標系中，已知，下列結論正確的有（

）A． B．若，則C．點A關于平面對稱的點的坐標為 D．11．下列命題是真命題的有（

）A．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經過三點是平面α的法向量，則12．如圖，在正方體中，、、分別為、、的中點，則（

）

A．平面B．平面C．D．直線與直線所成角的余弦值為三?填空題13．若直線與直線平行，則實數a的值是.14．已知空間向量的夾角為，，則15．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為.16．如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數為．四?解答題17．已知三角形的頂點為.(1)求邊上的中線所在直線方程.(2)求邊上的高線所在直線方程.18．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，．(1)求；(2)求．19．如圖在邊長是的正方體中，，分別為，的中點．應用空間向量方法求解下列問題．(1)證明：平面；(2)證明：平面．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，P為的中點，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設M為的中點，求二面角的余弦值．21．四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，對角線AC與BD相交于點O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點．

(1)求異面直線DE與PA所成角的余弦值；(2)證明：平面PAD，并求點E到平面PAD的距離．22．如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角，連接PA、PB，設PB中點為E．(1)證明：平面PBD平面PBC；(2)在線段BD上是否存在一點F，使得EF平面PBC？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．1．C【分析】利用直線的點斜式方程求解.【詳解】因為直線的傾斜角，所以直線的斜率為1，又直線經過點，所以直線的方程為，即，故選：C2．A【分析】根據空間向量共線定理列式可求出結果.【詳解】因為，所以存在實數使得，即，所以,所以，得，所以.故選：A3．B【分析】根據空間向量的加減和數乘運算直接求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又點N為BC中點，所以，所以.故選：B.4．C【分析】對于A，由不重合兩直線方向向量平行可判斷；對于B，要考慮直線可能在面內；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對于A，兩條不重合直線的方向向量分別是，則，所以不平行，即不平行，故A錯誤；對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：C．5．C【分析】先求平面的法向量，根據線面平行可得，運算求解即可.【詳解】如圖所示，以A為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，可得，設是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因為，則，由∥平面，可得，解得.故選：C.6．B【分析】由面面垂直的判定定理判斷B，建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法證明面面、線面的位置關系判斷ACD．【詳解】因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正確；以點D為原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設，則，，，，.設，則，.設平面的法向量為，則有可取，得.又，則，故A不正確；因為，所以，故D不正確；因為，所以，故C不正確．故選：B．

7．B【分析】建系，根據題意結合空間向量垂直的坐標運算求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，PA＝a，則，設，則，因為BF⊥PE，則，解得，即，可知F是AD的中點，故.故選：B.8．C【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，其中、，利用空間向量法可得出，利用二次函數的基本性質結合空間向量的模長公式可求得線段長度的最小值.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，，設點，其中、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，因為平面，則，所以，，所以，，當且僅當時，的長度取最小值.故選：C.9．AB【分析】驗證法判斷選項A；求得直線的斜率判斷選項B；求得直線的傾斜角判斷選項C；求得直線在x軸上的截距判斷選項D.【詳解】對于A，當時，，∴，∴直線過點，故A正確；對于B，由題意得，，∴該直線的斜率為，故B正確；對于C，∵直線的斜率為，∴直線的傾斜角為，故C錯誤；對于D，當時，，∴該直線在x軸上的截距為2，故D錯誤．故選：AB．10．AB【分析】利用向量的坐標公式，模的計算公式，對稱點的坐標，及數量積公式依次計算即可得出結果.【詳解】，,，A正確,D錯誤.若，則,則,B正確，點A關于平面對稱的點的坐標為，故C錯誤，故選：AB.11．ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關系的向量證明依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，若不能構成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對于C，，故，可得l在α內或，C錯誤；對于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.12．BD【分析】以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則、、、、、，所以，，，，，設平面的法向量為，則，令，得．對于A選項，因為與不平行，所以與平面不垂直，A錯；對于B選項，因為，所以，且平面，所以平面，B對；對于CD選項，，所以，異面直線與直線所成角的余弦值為，C錯D對.故選：BD.13．.【分析】由已知結合直線平行的條件即可直接求解.【詳解】解：∵直線與直線平行，故，所以.故答案為.本題主要考查了直線平行的條件的應用，屬于基礎題.14．【分析】根據給定條件，利用空間向量數量積的運算律計算作答.【詳解】由空間向量的夾角為，，得，所以.故15．【分析】由已知，根據題意建立空間直角坐標系，分別表示出各點坐標，然后通過異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，即可列式計算.【詳解】以D為原點，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案為.16．1【分析】根據空間平面向量的運算性質，結合空間向量垂直的性質、空間向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】由圖像可知，，則．因為棱長為1，，所以，所以，故集合中的元素個數為1．故117．(1)；(2)【分析】（1）求得BC的中點坐標，結合A點坐標，求得中線方程；（2）求得BC的斜率，從而求得其上的高的斜率，且過，求得高的方程【詳解】（1）BC的中點坐標為，故中線的斜率，則邊BC上的中線所在直線的方程為即；（2）邊BC的斜率為，則其上的高的斜率為，且過，則邊BC上的高所在直線的方程為即18．(1)3(2)【分析】根據空間向量基本定理將所求問題轉化為基向量進行計算即可.【詳解】（1）設，，，由題意得：，，，，，，；（2）19．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由題意，求得直線的方向向量，以及平面的法向量，由空間向量數量積，可得答案；（2）由題意，求得平面的法向量，由（1）的直線的方向向量，根據空間向量的共線定理，可得答案.【詳解】（1）由題意，可知，，，，的中點，的中點，則，易知平面的一個法向量，，，平面，平面.（2）由題意，可知，，，在平面內，取，，設其法向量，則，即，令，則，故平面的一個法向量，，平面，即平面，20．(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）證明平面，原題即得證；（2）以P為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值；（3）證明平面，再利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，∵，P為的中點，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.（2）解：在直角梯形中，∵，，P為中點，∴，且，則四邊形為平行四邊形，∵，∴，

由（1）可知，平面，故以P為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，，

設平面的一個法向量，由，取，得；設直線與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：∵，，，平面，∴平面，即為平面的一個法向量，∵M為的中點，∴點M的坐標為，而，，設平面的一個法向量為，由，取，．

∴．∴二面角的余弦值為．

21．(1)(2)證明見解析，【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）根據中位線定理證明線線平行，進而得線面平行，利用空間向量點到面距離公式進行求解即可.【詳解】（1）由題意，兩兩互相垂直，以O為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，

菱形中，，所以,在中，因為底面ABCD，所以PB與底面ABCD所成的角為，所以，則點A、B、D、P的坐標分別是，E是PB的中點，則，于是，.設的夾角為θ，則有.∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為；（2）連接，分別是的中點，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因為，,設平面PAD的法向量，則，令，則，所以，又，則點E到平面PAD的距離.22．(1)證明見解析；(2)這樣的點F存在，為線段BD上靠近點D的一個四等分點【分析】（1）利用面面垂直的性質可得PD平面ABCD，可得PDBC，通過題意得數據可得到BDBC，再利用線面垂直的判定定理可得到BC平面PBD，再用面面垂直的判定定理即可得證；（2）假設F存在，建立空間直角坐標系，利用點F在線段BD上求得，再求平面PBC的法向量，利用EF平面PBC可得即可求得答案【詳解】（1）易得，所以直二面角的平面角為∠PDA＝90°，因為平面平面，平面平面，平面，所以PD平面ABCD，因為平面ABCD，所以PDBC，又在平面四邊形ABCP中，由已知數據可得，，且，所以BDBC，而PDBD＝D，PD