5.1任意角和弧度制8題型分類

一、角的相關概念(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．(2)角的表示如圖，①始邊：射線的起始位置OA；②終邊：射線的終止位置OB；③頂點：射線的端點O；④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡記成“α”．(3)角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉形成的角二、角的相等與加減(1)角的相等設角α由射線OA繞端點O旋轉而成，角β由射線O′A′繞端點O′旋轉而成．如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α＝β.(2)角的加法設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是α＋β.(3)相反角把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)角的減法角的減法可以轉化為角的加法，有α－β＝α＋(－β)．三、平面直角坐標系中的任意角條件在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角軸線角角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，可稱為軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和注：1．對角的概念的認識關鍵是抓住“旋轉”二字(1)要明確旋轉方向；(2)要明確旋轉的大?。?3)要明確射線未作旋轉時的位置．2．對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一；(4)終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．四、度量角的兩種制度(1)角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°.(2)弧度制①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度記作1_rad.五、弧度數的計算與互化(1)弧度數的計算(2)弧度與角度的互化(3)一些特殊角的度數與弧度數的對應表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π六、扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的值．(2)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時，度就不能省去．(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正確．（一）任意角的概念1.引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉”二字，用運動的觀點來看待角的概念：一是要明確旋轉的方向，二是要明確旋轉的大小，三是要明確射線作任何旋轉時的位置．（3）角的范圍不再限于．（4）當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．（5）要正確理解正角、負角、零角的概念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時針、順時針，還是沒有轉動．在圖中表示角時，應注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負．（6）角的記法：用一個希臘字母表示，如，，，…；也可用三個大寫的英文字母表示，字母前要寫符號“”，中間的字母表示角的頂點，如，，…．為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為“”．（7）引入正角、負角、零角后，角的減法可以轉化為角的加法運算，即可以轉化為．2.判斷角的概念問題的關鍵與技巧(1)關鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．題型1：任意角的概念11．（2324下·上海·課時練習）分針一小時所轉過的角是．【答案】【分析】根據任意角的定義求解即可.【詳解】因為一小時等于六十分，即分針順時針走了一圈，所以分針一小時所轉過的角是故答案為：12．（2324·全國·課堂例題）每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算分針走過的角度大小的同時考慮他的方向即可求解.【詳解】分針是順時針走的，形成的角度是負角，又分針走過了10分鐘，走過的角度大小為，綜上，分針走過的角度是．故選：D．13．（2324上·全國·課時練習）給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于.【答案】②③④【分析】根據題意，由任意角的定義對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】①終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數個，它們相差的整數倍，故正確；②角是第一象限角，角是第二象限角，，故錯誤；③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故錯誤；④小于的角還包括零角和負角，故錯誤；故答案為：②③④14．【多選】（23·24上·全國·課時練習）下列選項不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角【答案】ACD【分析】根據象限角、銳角、鈍角的定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如的角終邊位于第一象限，但不是銳角，A錯誤；對于B，銳角是之間的角，終邊位于第一象限，是第一象限角，B正確；對于C，終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，C錯誤；對于D，小于的角不一定是銳角，如的角小于，但不是銳角，D錯誤.故選：ACD.15．（2324·全國·課時練習）設集合為銳角，為第一象限角，為小于90°的角，為小于90的正角，則下列等式中成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角的表示方法，分別表示出集合，根據集合的大小關系，即可求解.【詳解】由題意，集合為銳角，集合為第一象限角，集合為小于90°的角，集合為小于90的正角，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了角的表示方法及其應用，其中解答中熟記角的表示方法是解答的關鍵，著重考查推理與論證能力.16．（2324上·濟南·期末）“是銳角”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】根據銳角與象限角的概念及充分條件、必要條件求解.【詳解】因為是銳角能推出是第一象限角，但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是銳角，所以“是銳角”是“是第一象限角”的充分不必要條件，故選：A（二）終邊相同的角1．一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和．2．象限角的分類及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．設，顯然，所有與角終邊相同的角都是集合的元素；反過來，集合中的任何一個元素也都與角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和．4．利用與角終邊相同的角的集合，可把任意角轉化成，，的形式；也可利用與角終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利用與角終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范圍內，第一象限角表示為，然后在兩端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若為象限界角，如終邊落在軸的負半軸上，代表角為180，所以終邊落在軸的負半軸上的角的集合為，．同理可得其他非象限角的集合．5.尋求終邊相同的角的方法與技巧在[0°，360°)范圍內找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結果達到要求為止．6．求終邊落在直線上的角的集合的三個步驟(1)寫出在[0°，360°)范圍內相應的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；題型2：終邊相同的角21．【多選】（2324下·營口·階段練習）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據終邊相同的角的定義直接求解即可.【詳解】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.22．（2324·全國·課堂例題）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在范圍內與其終邊相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，第一象限角(2)，第四象限角(3)，第二象限角(4)，第三象限角【分析】先作圖，再根據角的定義求解.【詳解】（1）

角是第一象限角，，所以在范圍內，與角終邊相同的角是角；（2）

角是第四象限角，，所以在范圍內，與角終邊相同的角是角；（3）

角是第二象限角，，所以在范圍內，與角終邊相同的角是角；（4）

角是第三象限角，，所以在范圍內，與角終邊相同的角是角；綜上，（1）第一象限，與角終邊相同，（2）第四象限，與角終邊相同，（3）第二象限，與角終邊相同，（4）第三象限，與角終邊相同.23．（2324·全國·課時練習）在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．（1）最小的正角；（2）最大的負角；（3）內的角．【答案】（1）；（2）；（3）、、、.【分析】先找到與角終邊相同的角的表示，在對（1）、（2）、（3）分別取適當的k值，求出待求角.【詳解】和終邊相同其余的終邊相同的角度可以寫成（1）當時是最小的正角，；（2）當時是最大的負角，；（3）當，，0，1時，、、、符合條件．【點睛】終邊相同（對稱）的角的表示方法：1、與β終邊相同的角可表示為：；2、與β終邊關于x軸對稱的角可表示為：；3、與β終邊關于y軸對稱的角可表示為：；4、與β終邊關于原點對稱的角可表示為：；5、與β終邊關于y=x軸對稱的角可表示為：；6、與β終邊關于角θ對稱的角可表示為：.24．（2324·全國·專題練習）若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【分析】根據斜率得出傾斜角，進而由終邊相同角的性質求解.【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：25．（2324·全國·課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求得在范圍內，終邊在直線上的角有兩個，即和，從而即可得答案；（2）求出終邊在直線上的角的集合，然后和終邊在直線上的角的集合取并集即可得答案.【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內，終邊在直線上的角有兩個，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.（三）區(qū)域角的表示1、區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角α，β，寫出所有與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內的角，組成集合．注：區(qū)域角的寫法:(1)若角的終邊落在一個扇形區(qū)域內，寫區(qū)域角時，先依逆時針方向由小到大寫出一個區(qū)間角，然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的終邊落在兩個對稱的扇形區(qū)域內，寫角的范圍時，可以先寫出終邊落在一個扇形區(qū)域內的一個區(qū)間角，然后在此區(qū)間角的兩端分別加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.題型3：區(qū)域角的表示31．（2324下·駐馬店·階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【分析】根據給定的圖形，直接寫出角的集合表示作答.【詳解】（1）；（2）.32．（2324下·眉山·期中）（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．【答案】（1）答案見解析；（2）；是第一象限角．【分析】（1）根據終邊相同的角及角的概念求解即可得；（2）根據弧度制與角度概念轉化書寫即可.【詳解】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以與終邊相同，是第一象限角．33．（23·24上·江蘇·課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】寫出終邊在邊界上的角，結合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內的角，注意邊界的虛實.【詳解】（1）在范圍內，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.（四）象限角軸線角的判定1．象限角：若把角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．例如：由于圖（1）中的角，，都是始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第一象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特別地，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．例如，，，，等，因為它們的終邊落在坐標軸上，所以這些角都不屬于任何一個象限，有的參考書上稱之為象限界角．3.象限角的判定方法(1)根據圖象判定．依據是終邊相同的角的概念，因為在[0°，360°)范圍內的角的終邊與坐標系中過原點的射線可建立一一對應的關系．(2)將角轉化到[0°，360°)范圍內．在直角坐標平面內，在[0°，360°)范圍內沒有兩個角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結論．②作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域．從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀地看出．題型4：象限角軸線角的判定41．【多選】（2324下·承德·開學考試）已知是銳角，則（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是銳角【答案】ABD【分析】根據銳角的范圍，直接利用不等式的運算法則即可求解.【詳解】由題知，因為是銳角，所以，對于A：所以，故A選項正確；對于BC：，故B選項正確，C選項錯誤；對于D：，故D選項正確；故選：ABD.42．（2324下·呼和浩特·階段練習）若是第四象限，則是第．【答案】三象限角【分析】根據對稱性可知是第一象限角，然后再根據任意角的定義,即可得到所在象限.【詳解】因為是第四象限的角，所以是第一象限角，則由任意角的定義知，是第三象限角．故答案為：三象限角．43．（2324上·全國·課時練習）若α的終邊在第一、第三象限的角平分線上，則2α的終邊在．【答案】y軸的非負半軸上【分析】根據α的終邊在第一、第三象限的角平分線上，利用終邊相同的角求解.【詳解】因為α的終邊在第一、第三象限的角平分線上，所以α＝45°＋k·180°，k∈Z，所以2α＝2×45°＋2k·180°，k∈Z，＝90°＋k·360°，k∈Z.所以2α的終邊在y軸的非負半軸上故答案為：y軸的非負半軸上44．【多選】（2324上·長春·期末）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根據象限角的定義逐項判斷可得答案.【詳解】因為角是第二象限角，所以，，對于A，，，故是第三象限角，故A正確；對于B，，，故是第一象限角，故B不正確；對于C，，，故是第三象限角，故C正確；對于D，,,故是第三象限角或軸負半軸上的角或第四象限角，故D不正確.故選：AC45．（2324·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【分析】根據象限角的表示方法，得到和的表示，進而判定其象限，得到答案.【詳解】因為是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當時，，此時是第一象限角；當時，，此時是第二象限角；當時，，此時是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．46．（2324下·河南·期中）若是第一象限角，則終邊在A．第一象限 B．第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限【答案】C【解析】利用是第一象限角，得出角的范圍，從而可得的范圍.【詳解】因為是第一象限角，所以，所以，;當為偶數時，終邊在第一象限；當為奇數時，終邊在第三象限；故選C.【點睛】本題主要考查角的終邊所在象限，一般是利用角的范圍求解.題目較為簡單.47．（2324上·普陀·期末）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.（五）角度與弧度的互化1．將角度化為弧度rad；rad；rad．2．將弧度化為角度；；．3．需記住的特殊角的度數與弧度數的對應值度弧度0【說明】（1）以弧度為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度為單位表示角時，度就不能省去．（2）以弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少的形式，如無特殊要求，不必把化成小數，如弧度，不必寫成弧度．（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，其一體現(xiàn)在進位上，角度制在度、分、秒上是六十進制，不便于計算，而弧度制是十進制，給運算帶來了方便；其二體現(xiàn)在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運用起來更方便．（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數量相同，對于其他非零角，由于單位不同，數量也就不同了．（5）在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式rad是關鍵，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．題型5：角度與弧度的互化51．（2324下·全國·專題練習）將–1485°化為2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是．【答案】–10π+【詳解】–1485°=–1485×=–=–10π+．故答案為–10π+．52．（23·24·全國·專題練習）把下列角度與弧度進行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉化公式解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.5．（2324·湖南·課時練習）將下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度【答案】答案見解析【分析】由，得，，可對角度和弧度互化.【詳解】，故：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度054．【多選】（2324上·商洛·階段練習）下列轉化結果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【分析】根據角度制與弧度制之間的互化即可逐一求解.【詳解】對于A,化成弧度是,故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：ABD（六）利用弧度制表示角1、弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍．2、根據已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細觀察圖形；(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示；(3)用不等式表示區(qū)域角．用不等式表示區(qū)域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．題型6：利用弧度制表示角61．（2324下·浦東新·期中）用弧度制表示所有與終邊相同的角的集合是.【答案】【解析】根據角度和弧度關系，以及終邊相同角的關系，即可求解.【詳解】與終邊相同的角的集合是。故答案為：【點睛】本題考查角單位互化、終邊相同角的集合表示，屬于基礎題.62．（2324下·長寧·期末）終邊落在軸上的角的集合是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用象限角、周線角的定義依次判斷選項即可.【詳解】A表示的角的終邊在x軸非負半軸上；B表示的角的終邊x軸上；C表示的角的終邊在y軸上；D表示的角的終邊在y軸非負半軸上.故選：C63．（2324下·上海·課時練習）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）先寫出邊界對應射線所在終邊的角，再根據圖象寫范圍，注意虛實線；（2）先寫出邊界對應射線所在終邊的角，再根據圖象寫范圍，最后求并集得結果.【詳解】（1）邊界對應射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為（2）邊界對應射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為=【點睛】本題考查終邊相同的角，考查基本分析求解能力，屬基礎題.64．（23·24·全國·專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對分奇偶，結合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．（七）弧長公式1、弧長公式在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則，變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的是弧度角．2、弧度制下有關扇形弧長問題的解題策略①明確弧度制下扇形弧長公式l＝|α|r，(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式求解．題型7：弧長公式及應用71．（23·24上·南寧·開學考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【分析】利用扇形的弧長公式求解.【詳解】因為，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：72．（2324下·沈陽·期中）一個半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】設扇形的弧長為，根據半徑是，周長為的扇形，求出，再由公式計算出弧度數.【詳解】設扇形的弧長為，則，得，則扇形圓心角的弧度數為.故選：A.【點睛】本題考查了扇形的弧長相關的計算，弧度的計算，屬于基礎題.73．（2324下·咸陽·階段練習）在直徑為的圓中，圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將角度轉化為弧度，再由弧長公式即可求解【詳解】因為圓的直徑為，所以圓的半徑因為，所以圓心角所對的弧長為,故選：B.74．（2324下·眉山·期中）已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個扇形的弧長為（

）A． B． C． D．60【答案】B【分析】根據扇形的弧長公式計算即可.【詳解】易知，由扇形弧長公式可得.故選：B（八）扇形的面積公式的應用1、扇形面積公式因為圓心角為1rad的扇形面積為，而弧長為l的扇形的圓心角大小為rad，所以其面積為，將代入上式可得，此公式稱為扇形面積公式．2、扇形的面積公式的應用注意點①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負．②看清角的度量制，選用相應的公式．③扇形的周長等于弧長加兩個半徑長．題型8：扇形的面積公式的應用81．（2324下·綏化·階段練習）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】構造扇形，根據已知條件求出半徑，由扇形面積不出扇面面積.【詳解】如圖，設，，

由弧長公式可得：，解得：，扇形的面積，扇形的面積所以扇面的面積．故選：D．82．（2324下·沈陽·期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，則下列結論錯誤的是（

）（參考數據：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】D【分析】求得判斷選項A；求得滿足條件的的值判斷選項B；求得滿足條件的的值判斷選項C；求得滿足條件的扇形面積的值判斷選項D.【詳解】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項A：.故A正確；選項B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時的扇形面積為.故D錯誤.故選：D83．（2324下·宜昌·期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關于的函數解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)當時，y的值最大，最大值為．【分析】(1)根據弧長公式和周長列方程得出關于的函數解析式；(2)根據面積公式求出關于的函數表達式，根據二次函數性質可得的最大值．【詳解】（1）根據題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．（2）依據題意，可知，化簡得：，，當，．∴當時，y的值最大，且最大值為．84．（2324上·長治·期末）已知扇形的周長為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時扇形的半徑.【答案】(1)，，；(2)，.【分析】（1）利用弧長公式，扇形面積公式即得；（2）由題可得，然后利用基本不等式即求.【詳解】（1）由題知扇形的半徑，扇形的周長為30，∴，∴，，.（2）設扇形的圓心角，弧長，半徑為，則，∴，∴當且僅當，即取等號，所以該扇形面積的最大值為，此時扇形的半徑為.85．（2324下·贛州·階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【答案】(1)(2)取得最大值25，此時【分析】（1）根據弧長公式及扇形的面積公式，再結合扇形的周長公式即可求解；（2）根據扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結合二次函數的性質即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得(舍去)，．所以扇形圓心角．（2）由已知得，．所以，所以當時，取得最大值25，,解得.當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.一、單選題1．（2324上·沙坪壩·階段練習）與角終邊相同的角是（

）A．221° B． C． D．【答案】A【分析】根據終邊相同的角相差的整數倍，逐個判斷即可.【詳解】余，故A正確，B、C、D中的角均不與角終邊相同.故選：A.【點睛】本題考查了終邊相同角的概念，考查了簡單的計算，屬于概念題，本題屬于基礎題.2．（2324·全國·課時練習）終邊在直線上的角的取值集合是A． B．C． D．【答案】D【分析】在到內終邊在直線上的角是，由終邊相同的角的表示方法可得出終邊在直線上的角的集合，可得解.【詳解】角的取值集合為，故選D.【點睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，屬于基礎題.3．（2324·全國·專題練習）若＝2kπ＋(k∈Z)，則的終邊在()A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上【答案】D【分析】由題意，求得，得出，分類討論，即可求得的終邊，得到答案．【詳解】由題意，可得，∴，∴，當為奇數時，的終邊在軸的非正半軸上，當為偶數時，的終邊在軸的非負半軸上，綜上可知，終邊在軸上，故選D．【點睛】本題主要考查了角的終邊的判定，其中解答中正確求解，分類討論判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4．（2324上·涼山·期末）的終邊在第三象限，則的終邊可能在（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或軸非負半軸 D．第三、四象限或軸非正半軸【答案】C【解析】根據題意得出，求出的范圍，據此可判斷出角的終邊的位置.【詳解】由于的終邊在第三象限，則，所以，，因此，的終邊可能在第一、二象限或軸非負半軸.故選：C.【點睛】本題考查角的終邊位置的判斷，一般利用不等式來判斷，考查推理能力，屬于基礎題.5．（2324·全國·課時練習）若與的終邊互為反向延長線，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據兩角終邊之間的關系可得出結論.【詳解】與的終邊互為反向延長線，則兩角的終邊相差的奇數倍，可得．故選：D.【點睛】本題考查利用兩角終邊的關系推出兩角的關系，考查理解能力，表達能力，屬于基礎題．6．（2324下·銀川·階段練習）將分針撥快30分鐘，則分針轉過的弧度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用負角的定義及角度與弧度的互化，直接計算.【詳解】將分針撥快30分鐘，則分針順時針旋轉180°，所以分針轉過的弧度數是.故選：A7．（2324下·蘇州·期末）已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形圓心角的弧度數為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用扇形面積，結合題中數據，建立關于圓心角的弧度數的方程，即可解得.【詳解】解：設扇形圓心角的弧度數為，因為扇形所在圓的半徑為，且該扇形的面積為，則扇形的面積為，解得：.故選：D.【點睛】本題在已知扇形面積和半徑的情況下，求扇形圓心角的弧度數，著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識，屬于基礎題.8．（23·24·全國·課時練習）下列敘述中，正確的是（

）A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位【答案】D【解析】根據弧度的定義即可判斷.【詳解】根據弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.故選：D．9．（2324·全國·專題練習）下列命題中正確的是()A．若兩扇形面積的比是1∶4，則它們弧長的比是1∶2B．若扇形的弧長一定，則面積存在最大值C．若扇形的面積一定，則弧長存在最小值D．任意角的集合可與實數集R之間建立一一對應關系【答案】D【分析】由扇形面積公式S=lr（l是扇形的弧長，r是扇形半徑）可知面積由弧長和半徑乘積確定，從而判斷A、B、C，再根據角的概念的推廣判斷D.【詳解】由扇形面積公式S=l·r，得到面積由弧長和半徑乘積確定，而不是只由弧長確定，故A，B，C錯誤，把角的概念推廣到任意角之后任意角的集合可與實數集R之間建立一一對應關系，所以D正確.【點睛】此題考查了扇形的面積公式以及角的概念的推廣，屬于基礎題．10．（2324下·上?！ふn時練習）下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．5弧度的角是第三象限的角C．若是第一象限角，則是第四象限的角D．若是第一象限角，則也是第一象限的角【答案】D【分析】根據弧度制的定義和象限角即可判斷每個選項的對錯，從而得出答案.【詳解】對于選項A，由弧度制的定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，故A錯誤；對于選項B，第三象限角的取值范圍為，，因為5不在此區(qū)間中，故B錯誤；對于選項C，因為是第一象限角，所以，，所以，，當時，，為第二象限角，故C錯誤；對于選項D，因為是第一象限角，所以，，所以，，是第一象限的角，故D正確.故選：D.11．（2324下·鄂爾多斯·階段練習）我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一等份是一個密位，那么60密位等于（

）弧度．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出一個密位所對的弧長，再求出60密位所對的弧長為，從而可求出60密位的弧度數【詳解】解：因為將一個圓周分成6000等份，每一份是一個密位，所以一個密位所對的弧長，所以60密位所對的弧長為，所以60密位的弧度數為，故選：B12．（2324下·新鄉(xiāng)·期末）如圖，一把折扇完全打開后，扇面的兩條弧，的弧長分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據扇形的弧長公式和扇形面積公式進行求解即可.【詳解】設，圓心角是.則，解得，所以陰影部的面積為，故選：A13．（2324上·期末）若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為（

）A． B．C．3 D．【答案】D【分析】如圖先求∠AOM＝，再求AB＝r，最后求圓心角的弧度數【詳解】如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l(xiāng)＝r，則圓心角的弧度數.【點睛】本題考查由弧長與半徑求弧度數，是基礎題.14．（23·24上·全國·課時練習）與405°角終邊相同的角是（

）A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【分析】首先在[0°,360°]內找到與405°角終邊相同的角，即可得答案.【詳解】解：∵405°＝360°＋45°，∴與405°終邊相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.故選：C15．（23·24上·全國·課時練習）與角終邊相同的角可表示為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據角與角的終邊相同可確定正確的表示方法.【詳解】，角與角的終邊相同，與角終邊相同的角可表示為.故選：B.16．（2324下·朔州·期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶討論，結合圖象可得答案.【詳解】當時，，當時，,所以選項C滿足題意.故選：C.17．（2324下·金山·階段練習）下列說法正確的是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【分析】根據終終邊相同角的表示，可以判斷A錯誤，C正確；根據象限角的表示可以判斷B錯誤；舉特例可以判斷D錯誤.【詳解】，與終邊不相，故A錯誤；第三象限角的集合為，故B錯誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯誤；故選：C.18．（23·24上·浙江·開學考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】作圖利用單位圓解幾何圖形即可.【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達C處，此時，即為正三角形，故.故選：A19．（23·24上·江西·開學考試）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得扇形的圓心角，然后求得，再利用扇形弧長的近似計算公式求得正確答案.【詳解】設該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點，連接，交于點，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D20．（2324下·濰坊·階段練習）數學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】萊洛三角形的周長為，可得弧長，則等邊三角形的邊長，分別以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故選：C.21．（2324上·通州·期末）設，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據集合中角的特征分析集合間的關系即可得解.【詳解】因為表示終邊落在軸上角的集合，表示終邊落在軸正半軸上角的集合，表示終邊落在軸負半軸上角的集合，所以，，正確；，故錯誤.故選：D22．（2324下·張家口·期中）如圖，已知扇形的周長為，當該扇形的面積取最大值時，弦長（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，可得出，利用基本不等式可求得扇形面積的最大值及其對應的的值，進而可求出、，然后線段的中點，可得出，進而可求得線段的長.【詳解】設扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當且僅當，即時，扇形的面積最大，此時．因為，則扇形的圓心角，取線段的中點，由垂徑定理可知，因為，則，所以，.故選：A.二、多選題23．（2324·全國·課時練習）（多選）下列說法正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關【答案】ABC【分析】根據角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位,所以是正確的；對于B中，周角為，所以的角是周角的，周角為弧度，所以的角是周角的是正確的；對于C中，根據弧度制與角度制的互化，可得，所以是正確；對于D中，用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑無關的，所以D項是錯誤的.故選ABC.【點睛】本題主要考查了角度制與弧度制的概念，以及角度制與弧度制的互化，其中解中熟記角度制和弧度制的概念是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.24．（2324·浙江·期末）下列說法錯誤的是（

）A．若角，則角為第二象限角B．如果以零時為起始位置，那么鐘表的分針在旋轉時所形成的角為負角C．若角為第一象限角，則角也是第一象限角D．若一扇形的圓心角為30°，半徑為，則扇形面積為【答案】CD【解析】利用負角的定義、象限角的定義和扇形面積公式對選項逐一判斷正誤即可.【詳解】選項A中，，故角為第二象限角，正確；選項B中，以零時為起始位置，則鐘表的分針是順時針旋轉，故所形成的角為負角，正確；選項C中，角為第一象限角，例如，則不是第一象限角，故錯誤；選項D中，扇形的圓心角為30°，即，半徑為，故扇形面積為，故錯誤.故選：CD.25．（2324上·全國·課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊與始邊都相同的兩個角一定相等C．小于90°的角是銳角D．若，則是第三象限角【答案】ABC【分析】根據象限角的相關定義即可結合選項即可逐一求解.【詳解】對于A.終邊與始邊重合的角的集合為,故A錯誤，對于B，終邊與始邊都相同的兩個角不一定相等，比如的終邊和始邊相同，但兩個角不相等，故B錯誤，對于C，銳角為的角，所以小于90°的角不一定是銳角，故C錯誤，對于D，，則是第三象限角，故D正確，故選：ABC26．（23·24上·全國·課時練習）下列說法，不正確的是（

）A．三角形的內角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角【答案】ACD【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的選項，即可得出答案.【詳解】由題意，A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A錯誤；B中，始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C中，鈍角大于的角，而的角是第三象限角，故C錯誤；D中，零角或負角小于，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯誤．故選：ACD.27．（2324下·新余·開學考試）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負半軸上【答案】BD【分析】由已知可得，然后逐個分析判斷即可【詳解】因為是第二象限角，所以可得．對于A，，則是第三象限角，所以A錯誤;對于B，可得，當k為偶數時，是第一象限角；當k為奇數時，是第三象限角．所以B正確;對于C，，即，所以是第一象限角，所以C錯誤;對于D，，所以的終邊位于第三象限或第四象限或y軸負半軸上，所以D正確．故選：BD．28．（2324下·海東·階段練習）已知某扇形的周長為44，圓心角為2，則（

）A．該扇形的半徑為11 B．該扇形的半徑為22C．該扇形的面積為100 D．該扇形的面積為121【答案】AD【分析】設該扇形的半徑為r，弧長為l，利用扇形的周長列出方程進而求解即可.【詳解】設該扇形的半徑為r，弧長為l，則，即，解得．故該扇形的面積．故選：AD.29．（2324下·長壽·期中）下列結論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】AC【分析】根據終邊相同角的表示，可以判斷A錯誤，C正確；根據象限角的表示可以判斷B錯誤；舉特例可以判斷D錯誤.【詳解】對于選項A：因為，且為第二象限角，所以是第二象限角，故A正確；對于選項B：第三象限角的集合為，故B錯誤；對于選項C：終邊在軸上的角的集合為，故C正確；對于選項D：若角為銳角，即，則，所以角不一定為鈍角，例如，則為直角，故D錯誤；故選：AC.30．（23·24·全國·專題練習）（多選）下列說法正確的有（）A．B．若角是銳角，則是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，則是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要條件是【答案】AC【分析】根據三角函數相關知識逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，若角是銳角，所以，所以，則是第一或第二象限角，或在軸正半軸上，故B錯誤；對于C，若角是第二象限角，則，所以，則是第一或第三象限角，故C正確；對于D，角是第三或第四象限角，則，若，則角是第三或第四象限角或在軸負半軸上，所以不是角是第三或第四象限角的充要條件，故D錯誤.故選：AC三、填空題31．（2324下·上?！卧獪y試）將化為的形式，則當最小時，的值是．【答案】【分析】根據角的表示方法，求得，即可求解.【詳解】由角的表示方法，可得，此時，所以.故答案為：32．（2324下·青浦·階段練習）角的終邊與的終邊關于對稱,則【答案】【分析】根據角的終邊與的終邊關于對稱,和終邊相同的角的表示方法可得答案.【詳解】是第一象限的角平分線，所以，故答案為：.【點睛】本題考查終邊相同的角的表示方法以及終邊有一定的關系的兩個角的表示方法，屬于基礎題.33．（2324下·浦東新·期中）終邊在軸正半軸上所有角的集合為．（用弧度制表示）【答案】【分析】根據終邊相同的角的特征即可得到答案.【詳解】終邊在x軸正半軸上所有角的集合為.故答案為：34．（2324下·上?！ふn時練習）設與終邊相同的角的集合為M，則①；②M中最小正角是；③M中最大負角是，其中正確的有.（選填序號）【答案】①②③【分析】先將角化為的結構即可判斷①是否正確，再適當地取k的值可以判斷②和③是否正確.【詳解】因為，所以①正確，令k=0，可得②正確；令k=1，可得③正確.故答案為：①②③.35．（2324下·上饒·階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．【答案】．【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.【詳解】由圖，陰影部分下側終邊相同的角為，上側終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：36．（2324下·上饒·期末）已知是邊長為2的等邊三角形.如圖，將的頂點與原點重合，在軸上，然后將三角形沿著軸正方向滾動，每當頂點再次回落到軸上時，將相鄰兩個點之間的距離稱為“一個周期”，則完成“一個周期”時，頂點的路徑長度為.【答案】/【分析】根據題意，畫出軌跡圖，利用弧長公式計算即可得解.【詳解】如圖，頂點先以2為半徑繞點順時針旋轉弧度，再以2為半徑繞點順時針旋轉弧度，其路徑長度為.故答案為：四、解答題37．（2324下·榆林·階段練習）寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域內的角的集合．（包括邊界）【答案】（1）

（2）【分析】由題意直接利用終邊相同的角的集合的表示方法表示即可．【詳解】解：（1）圖中陰影區(qū)域內的角的集合為（2）圖中陰影區(qū)域內的角的集合為38．（2324·全國·課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內的角的集合．（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在范圍內找出終邊為區(qū)域兩條邊界線對應的角，由此可得出陰影部分區(qū)域所對應的角的集合；（2）寫出兩個區(qū)域角的集合，取并集即可得出結果.【詳解】（1）在范圍內，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【點睛】本題考查角的集合的表示，一般要求出區(qū)域邊界線對應的角，考查計算能力，屬于基礎題.39．（2324·全國·課時練習）如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由圖①可知，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，由此可求出陰影部分內的角的集合；由圖②可知，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，由陰影部分內的角的集合為.【詳解】如題圖①，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內的角的集合為；如題圖②，以OA為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為+2kπ(k∈Z).不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1=，M2=.所以陰影部分內的角的集合為或.40．（2324·全國·課時練習）已知角α＝2100°.（1）將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【答案】（1），為第四象限角；（2）與終邊相同的角．【分析】（1）求出2100°里含有360°的整數倍，然后改寫即可；（2）由終邊相同角的表示方法求解．【詳解】（1），是第四象限角，因此是第四象限角；（2）與終邊相同的角可表示為，在區(qū)間上，則，依次可求得＝．41．（2324·全國·專題練習）已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范圍內找出所有與角α終邊相同的角β；(2)設集合，判斷兩集合的關系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).【分析】（1）所有與角有相同終邊的角可表示為列出不等式解出整數，即得所求的角．（2）先化簡兩個集合，分整數k是奇數和偶數兩種情況進行討論，從而確定兩個集合的關系．【詳解】(1)所有與角α有相同終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因為M＝{x|x＝(2