考點(diǎn)12圓錐曲線(xiàn)（12種題型9個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

考點(diǎn)12圓錐曲線(xiàn)（12種題型9個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）【課程安排細(xì)目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點(diǎn)清單三、題型方法四、易錯(cuò)分析五.刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共2小題）1．（2020?上海）已知橢圓+y2＝1，作垂直于x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的垂線(xiàn)交橢圓于C、D兩點(diǎn)，且AB＝CD，兩垂線(xiàn)相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．圓 D．拋物線(xiàn)【分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線(xiàn)，或利用求解軌跡方程，推出結(jié)果即可．【解答】解：∵AB≤2，∴CD≤2，判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線(xiàn)，設(shè)A（m，t），D（t，n），所以P（m，n），因?yàn)?，，消去t可得：2n2﹣，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．2．（2023?上海）已知P，Q是曲線(xiàn)Γ上兩點(diǎn)，若存在M點(diǎn)，使得曲線(xiàn)Γ上任意一點(diǎn)P都存在Q使得|MP|?|MQ|＝1，則稱(chēng)曲線(xiàn)Γ是“自相關(guān)曲線(xiàn)”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線(xiàn)”；②存在雙曲線(xiàn)是“自相關(guān)曲線(xiàn)”，則（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【分析】根據(jù)定義結(jié)合圖象，驗(yàn)證|MP|?|MQ|＝1是否恒成立即可．【解答】解：∵橢圓是封閉的，總可以找到滿(mǎn)足題意的M點(diǎn)，使得|MP|?|MQ|＝1成立，故①正確，在雙曲線(xiàn)中，|PM|max→+∞，而|QM|min是個(gè)固定值，則無(wú)法對(duì)任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與曲線(xiàn)方程有關(guān)的新定義，根據(jù)條件結(jié)合圖象驗(yàn)證|MP|?|MQ|＝1是否成立是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．二．填空題（共5小題）3．（2022?上海）雙曲線(xiàn)﹣y2＝1的實(shí)軸長(zhǎng)為6．【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得a＝3，實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝6．【解答】解：由雙曲線(xiàn)﹣y2＝1，可知：a＝3，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)2a＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4．（2021?上海）已知拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在拋物線(xiàn)上，焦點(diǎn)為F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直線(xiàn)AB的斜率為．【分析】將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，根據(jù)已知條件結(jié)合斜率的定義，求出直線(xiàn)AB的斜率即可．【解答】解：如圖所示，設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為l，作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，AE⊥BD于點(diǎn)E，由拋物線(xiàn)的定義，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，∴，∴直線(xiàn)AB的斜率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)斜率的定義與計(jì)算，拋物線(xiàn)的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2020?上海）已知橢圓C：+＝1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第二象限），若點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′，且滿(mǎn)足PQ⊥FQ′，求直線(xiàn)l的方程是x+y﹣1＝0．【分析】求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出直線(xiàn)的斜率，然后求解直線(xiàn)方程．【解答】解：橢圓C：+＝1的右焦點(diǎn)為F（1，0），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第二象限），若點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′，且滿(mǎn)足PQ⊥FQ′，可知直線(xiàn)l的斜率為﹣1，所以直線(xiàn)l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案為：x+y﹣1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線(xiàn)與直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系的應(yīng)用，直線(xiàn)方程的求法，是基本知識(shí)的考查．6．（2021?上海）已知橢圓x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，以O(shè)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)作拋物線(xiàn)交橢圓于P，且∠PF1F2＝45°，則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝1﹣．【分析】先設(shè)出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)的方程，設(shè)出直線(xiàn)PF1的方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此可得PF2⊥F1F2，進(jìn)而可以求出PF1，PF2的長(zhǎng)度，再由橢圓的定義即可求解．【解答】解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則拋物線(xiàn)y2＝4cx，直線(xiàn)PF1：y＝x+c，聯(lián)立方程組，解得x＝c，y＝2c，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF所以PF，則c＝﹣1，所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x＝﹣c＝1﹣，故答案為：x＝1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．7．（2022?上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．【分析】取P2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3（x2，﹣y2），結(jié)合x(chóng)1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得漸近線(xiàn)夾角∠MON≤90°，代入漸近線(xiàn)斜率計(jì)算即可求得．【解答】解：設(shè)P2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線(xiàn)右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線(xiàn)y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，是中檔題．三．解答題（共8小題）8．（2021?上海）（1）團(tuán)隊(duì)在O點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有A、B兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為x軸正半軸，北側(cè)為y軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，P在北偏東60°處，求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．（2）團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有C、D兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精確到1米）和Q點(diǎn)位置（精確到1米，1°）【分析】（1）求出a，c，b的值即可求得雙曲線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)OP的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別求出以A、B為焦點(diǎn)，以C，D為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而求得|OQ|，及Q點(diǎn)位置．【解答】解：（1）由題意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為﹣＝1，直線(xiàn)OP：y＝x，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，可得x＝，y＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．（2）①|(zhì)QA|﹣|QB|＝30，則a＝15，c＝20，所以b2＝175，雙曲線(xiàn)方程為﹣＝1；②|QC|﹣|QD|＝10，則a＝5，c＝15，所以b2＝200，所以雙曲線(xiàn)方程為﹣＝1，兩雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q點(diǎn)位置北偏東66°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線(xiàn)方程在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2023?上海）已知橢圓Γ：+＝1（m＞0且m≠）．（1）若m＝2，求橢圓Γ的離心率；（2）設(shè)A1、A2為橢圓Γ的左右頂點(diǎn)，橢圓Γ上一點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，且?＝﹣2，求實(shí)數(shù)m的值；（3）過(guò)橢圓Γ上一點(diǎn)P作斜率為的直線(xiàn)l，若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)﹣＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由題意可得a，b，c，可求離心率；（2）由已知得A1（﹣m，0），A2（m，0），設(shè)E（p，1），由已知可得p2＝m2，p2﹣m2+1＝﹣2，求解即可；（3）設(shè)直線(xiàn)y＝x+t，與橢圓方程聯(lián)立可得t2≤3m2+3，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立可得t2＝5m2﹣15，可求m的取值范圍．【解答】解：（1）若m＝2，則a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c＝＝1，∴e＝＝；（2）由已知得A1（﹣m，0），A2（m，0），設(shè)E（p，1），∴+＝1，即p2＝m2，∴＝（﹣m﹣p，﹣1），＝（m﹣p，﹣1），∴?＝（﹣m﹣p，﹣1）?（m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣2，∵p2＝m2，代入求得m＝3；（3）設(shè)直線(xiàn)y＝x+t，聯(lián)立橢圓可得+＝1，整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t2﹣3）m2＝0，由△≥0，∴t2≤3m2+3，聯(lián)立雙曲線(xiàn)可得﹣＝1，整理得（3﹣m2）x2+2tx+（t2﹣5m2）＝0，由Δ＝0，t2＝5m2﹣15，∴5m2﹣15≤3m2+3，∴﹣3≤m≤3，又5m2﹣15≥0，∴m≥，∵m≠，綜上所述：m∈（，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離心率的求法，考查橢圓與雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的綜合，屬中檔題．10．（2023?上海）已知拋物線(xiàn)Γ：y2＝4x，在Γ上有一點(diǎn)A位于第一象限，設(shè)A的縱坐標(biāo)為a（a＞0）．（1）若A到拋物線(xiàn)Γ準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，求a的值；（2）當(dāng)a＝4時(shí)，若x軸上存在一點(diǎn)B，使AB的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)Γ上，求O到直線(xiàn)AB的距離；（3）直線(xiàn)l：x＝﹣3，P是第一象限內(nèi)Γ上異于A的動(dòng)點(diǎn)，P在直線(xiàn)l上的投影為點(diǎn)H，直線(xiàn)AP與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為Q．若在P的位置變化過(guò)程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將其代入拋物線(xiàn)的方程，即可求得a的值；（2）易知A（4，4），設(shè)B（b，0），由AB的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，可得b的值，進(jìn)而得到直線(xiàn)AB的方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得解；（3）設(shè)，表示出直線(xiàn)AP的方程，進(jìn)一步表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)|HQ|＞4恒成立，結(jié)合基本不等式即可得到a的范圍．【解答】解：（1）拋物線(xiàn)Γ：y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x＝﹣1，由于A到拋物線(xiàn)Γ準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）當(dāng)a＝4時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則A（4，4），設(shè)B（b，0），則AB的中點(diǎn)為，由題意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），則，由點(diǎn)斜式可得，直線(xiàn)AB的方程為，即2x﹣3y+4＝0，所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為；（3）如圖，設(shè)，則，故直線(xiàn)AP的方程為，令x＝﹣3，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又當(dāng)a＝2時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立，而a≠t，即當(dāng)a＝2時(shí)，也符合題意．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的定義及其性質(zhì)，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．11．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直線(xiàn)l：x+y﹣4＝0，Γ下端點(diǎn)為A，M在l上，左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0）、F2（，0）．（1）a＝2，AM中點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)l與y軸交于B，直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，在△ABM中有一內(nèi)角余弦值為，求b；（3）在橢圓Γ上存在一點(diǎn)P到l距離為d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，隨a的變化，求d的最小值．【分析】（1）由題意可得橢圓方程為，從而確定M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)一步可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）由直線(xiàn)方程可知，分類(lèi)討論和兩種情況確定b的值即可；（3）設(shè)P（acosθ，bsinθ），利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式和橢圓的定義可得，進(jìn)一步整理計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得即可確定d的最小值．【解答】解：（1）由題意可得，，∵AM的中點(diǎn)在x軸上，∴M的縱坐標(biāo)為，代入得．（2）由直線(xiàn)方程可知，①若，則，即，∴，∴．②若，則，∵，∴，∴，∴tan∠BAM＝7．即tan∠OAF2＝7，∴，∴，綜上或．（3）設(shè)P（acosθ，bsinθ），由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得，很明顯橢圓在直線(xiàn)的左下方，則，即，∵a2＝b2+2，∴，據(jù)此可得，，整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即，從而．即d的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓方程的求解，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及其應(yīng)用，橢圓中的最值與范圍問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題．12．（2022?上海）已知橢圓Γ：+y2＝1（a＞1），A、B兩點(diǎn)分別為Γ的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)均在直線(xiàn)l：x＝a上，且C在第一象限．（1）設(shè)F是橢圓Γ的右焦點(diǎn)，且∠AFB＝，求Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)是否在橢圓Γ上，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)直線(xiàn)AD、BC分別交橢圓Γ于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求|CD|的最小值．【分析】（1）根據(jù)條件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a2＝b2+c2，求得a，即可求得答案；（2）分別表示出此時(shí)直線(xiàn)BC、直線(xiàn)AD的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；（3）設(shè)P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直線(xiàn)BP、直線(xiàn)AQ方程，解出C、D坐標(biāo)，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由題可得B（0，﹣1），F(xiàn)（c，0），因?yàn)椤螦FB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan＝，解得c＝，所以a2＝1+（）2＝4，故Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1；（2）直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)在橢圓上，由題可得此時(shí)A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），則直線(xiàn)BC：y＝x﹣1，直線(xiàn)AD：y＝x+，交點(diǎn)為（，），滿(mǎn)足，故直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC的交點(diǎn)在橢圓上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），則直線(xiàn)BP：y＝x﹣1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），則直線(xiàn)AQ：y＝（x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，設(shè)tan＝t，則|CD|＝2（）﹣2，因?yàn)椤荩浴荩?，則|CD|≥6，即|CD|的最小值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線(xiàn)交點(diǎn)求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2021?上海）已知Γ：+y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（m，0）（m≤﹣），交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B在x軸上方，點(diǎn)A在線(xiàn)段BP上．（1）若B是上頂點(diǎn)，||＝||，求m的值；（2）若?＝，且原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為，求直線(xiàn)l的方程；（3）證明：對(duì)于任意m＜﹣，使得∥的直線(xiàn)有且僅有一條．【分析】（1）利用橢圓的方程，求出a，b，c的值，求出|BF1|和|PF1|，由||＝||，即可求出m的值；（2）設(shè)點(diǎn)A（cosθ，sinθ），利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)?＝，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可得到答案．（3）聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，利用向量平行的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)可得，然后再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)|x1﹣x2|，由此得到關(guān)于k和m的等式，整理可得，利用m的取值范圍以及題中的條件，即可證明．【解答】解：（1）因?yàn)棣５姆匠蹋?y2＝1，所以a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2﹣b2＝1，所以F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），若B為Γ的上頂點(diǎn)，則B（0，1），所以|BF1|＝＝，|PF1|＝﹣1﹣m，又|BF1|＝|PF1|，所以m＝；（2）設(shè)點(diǎn)A（cosθ，sinθ），則＝＝，因?yàn)锳在線(xiàn)段BP上，橫坐標(biāo)小于0，解得，故，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為，則＝，化簡(jiǎn)可得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或k＝，故直線(xiàn)l的方程為或（舍去，無(wú)法滿(mǎn)足m＜），所以直線(xiàn)l的方程為；（3）聯(lián)立方程組，可得（1+2k2）x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，因?yàn)椤?，所以（x2﹣1）y1＝（x1+1）y2，又y＝kx﹣km，故化簡(jiǎn)為，又＝，兩邊同時(shí)平方可得，4k2﹣2k2m2+1＝0，整理可得，當(dāng)m＜時(shí)，＞0，因?yàn)辄c(diǎn)A，B在x軸上方，所以k有且僅有一個(gè)解，故對(duì)于任意m＜﹣，使得∥的直線(xiàn)有且僅有一條．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬于難題．14．（2020?上海）已知拋物線(xiàn)y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)M（x0，y0），過(guò)M分別作兩條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x＝t于A、B兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，求M與焦點(diǎn)的距離；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求證：yA?yB為常數(shù)；（3）是否存在t，使得yA?yB＝1且yP?yQ為常數(shù)？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝（）2＝2，由y2＝x，得p＝，由此能求出M與焦點(diǎn)的距離．（2）設(shè)M（），直線(xiàn)PM：y﹣1＝（x﹣1），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，，同理求出yB＝，由此能證明yA?yB為常數(shù)．（3）解設(shè)M（），A（t，yA），直線(xiàn)MA：y﹣y0＝（x﹣y02），聯(lián)立y2＝x，得+＝0，求出yP＝，同理得yQ＝，由此能求出存在t＝1，使得yA?yB＝1且yP?yQ為常數(shù)1．【解答】解：（1）解：∵拋物線(xiàn)y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)M（x0，y0），過(guò)M分別作兩條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x＝t于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝（）2＝2，∵y2＝x，∴p＝，∴M與焦點(diǎn)的距離為MF＝＝2+＝．（2）證明：設(shè)M（），直線(xiàn)PM：y﹣1＝（x﹣1），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，，直線(xiàn)QM：y+1＝（x﹣1），x＝﹣1時(shí)，yB＝，∴yAyB＝﹣1，∴yA?yB為常數(shù)﹣1．（3）解：設(shè)M（），A（t，yA），直線(xiàn)MA：y﹣y0＝（x﹣y02），聯(lián)立y2＝x，得+＝0，∴y0+yp＝，即yP＝，同理得yQ＝，∵yA?yB＝1，∴yPyQ＝，要使yPyQ為常數(shù)，即t＝1，此時(shí)yPyQ為常數(shù)1，∴存在t＝1，使得yA?yB＝1且yP?yQ為常數(shù)1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的求法，考查兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的證明，考查滿(mǎn)足兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查拋物線(xiàn)、直線(xiàn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．（2020?上海）已知雙曲線(xiàn)Γ1：﹣＝1與圓Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于點(diǎn)A（xA，yA）（第一象限），曲線(xiàn)Γ為Γ1、Γ2上取滿(mǎn)足|x|＞xA的部分．（1）若xA＝，求b的值；（2）當(dāng)b＝，Γ2與x軸交點(diǎn)記作點(diǎn)F1、F2，P是曲線(xiàn)Γ上一點(diǎn)，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）過(guò)點(diǎn)D（0，+2）斜率為﹣的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Γ只有兩個(gè)交點(diǎn)，記為M、N，用b表示?，并求?的取值范圍．【分析】（1）聯(lián)立曲線(xiàn)Γ1與曲線(xiàn)Γ2的方程，以及xA＝，解方程可得b；（2）由雙曲線(xiàn)的定義和三角形的余弦定理，計(jì)算可得所求角；（3）設(shè)直線(xiàn)l：y＝﹣x+，求得O到直線(xiàn)l的距離，判斷直線(xiàn)l與圓的關(guān)系：相切，可設(shè)切點(diǎn)為M，考慮雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，只有當(dāng)yA＞2時(shí)，直線(xiàn)l才能與曲線(xiàn)Γ有兩個(gè)交點(diǎn)，解不等式可得b的范圍，由向量投影的定義求得?，進(jìn)而得到所求范圍．【解答】解：（1）由xA＝，點(diǎn)A為曲線(xiàn)Γ1與曲線(xiàn)Γ2的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得yA＝，b＝2；（2）由題意可得F1，F(xiàn)2為曲線(xiàn)Γ1的兩個(gè)焦點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因?yàn)閎＝，則c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）設(shè)直線(xiàn)l：y＝﹣x+，可得原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d＝＝，所以直線(xiàn)l是圓的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為M，所以kOM＝，并設(shè)OM：y＝x與圓x2+y2＝4+b2聯(lián)立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的斜率為負(fù)的漸近線(xiàn)平行，所以只有當(dāng)yA＞2時(shí)，直線(xiàn)l才能與曲線(xiàn)Γ有兩個(gè)交點(diǎn)，由，可得＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因?yàn)闉樵谏系耐队翱傻茫?＝4+b2，所以?＝4+b2＞6+2，則?∈（6+2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)與圓的定義和方程、性質(zhì)，考查直線(xiàn)和圓的方程、雙曲線(xiàn)的方程的聯(lián)立，以及向量的數(shù)量積的幾何意義，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二二、考點(diǎn)清單1．圓錐曲線(xiàn)的定義（1）橢圓定義：．（2）雙曲線(xiàn)定義：．（3）拋物線(xiàn)定義：|PF|=d2．圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xy圖形幾何性質(zhì)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸.對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn).焦點(diǎn)F1(-c,0),F1(0,-c),頂點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)，A1(0,-a),A2(0,a)，軸線(xiàn)段A1A2長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b.焦距|F離心率e=ca,b,c的關(guān)系c2（2）雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2y2a2-x2b2圖性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c,0），F(xiàn)2（c,0）F1（0,﹣c），F(xiàn)2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線(xiàn)x＝±ay＝±a漸近線(xiàn)xa±yxb±y（3）拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)圖形幾何性質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)焦點(diǎn)F(F(-F(0,F(0,-準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-x=y=-y=范圍x≥0,y∈x≤0,y∈y≥0,x∈y≤0,x∈離心率e=1焦半徑（P(xpppp3.圓錐曲線(xiàn)中最值與范圍的求解方法幾何法若題目的條件和結(jié)論明顯能體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.代數(shù)法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.4.求解直線(xiàn)或曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路（1）把直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn).（2）由直線(xiàn)方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(x（3）從特殊情況入手，先探究定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).5.求解定值問(wèn)題的常用方法（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.6.求解定線(xiàn)問(wèn)題的常用方法定線(xiàn)問(wèn)題是指因圖形的變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定線(xiàn)上的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)是求點(diǎn)的軌跡方程，一般先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，看橫、縱坐標(biāo)是否為定值，或者找出橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.7.有關(guān)證明問(wèn)題的解題策略圓錐曲線(xiàn)中的證明問(wèn)題多涉及幾何量的證明，比如涉及線(xiàn)段或角相等以及位置關(guān)系的證明，證明時(shí)，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立某個(gè)變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.8.探索性問(wèn)題的解題策略此類(lèi)問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立,再驗(yàn)證結(jié)論是否成立,成立則存在，否則不存在;若探究結(jié)論,則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論,往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.三三、題型方法一．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）1．（2023?浦東新區(qū)三模）已知t∈R，曲線(xiàn)C：（4﹣t）x2+ty2＝12．（1）若曲線(xiàn)C為圓，且與直線(xiàn)y＝x﹣2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值；（2）若曲線(xiàn)C為橢圓，且離心率，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)t＝3，若曲線(xiàn)C與y軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線(xiàn)y＝kx+m與C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)y＝s與直線(xiàn)BQ交于點(diǎn)G，求證：當(dāng)sm＝4時(shí)，A，G，P三點(diǎn)共線(xiàn)．【分析】（1）求得圓心到直線(xiàn)的距離，可求弦長(zhǎng)；（2）由已知可得，分焦點(diǎn)在x軸與y軸上兩種情況求解即可；（3）設(shè)Q（x1，y1），P（x2，y2）．由離心率可求t，可得橢圓C的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，進(jìn)而可得kAG＝kAP，因而A，G，P三點(diǎn)共線(xiàn)．【解答】解：（1）若曲線(xiàn)C為圓，則4﹣t＝t＞0?t＝2，圓方程為：x2+y2＝6，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離，此時(shí)；（2）曲線(xiàn)C的方程曲線(xiàn)C：（4﹣t）x2+ty2＝12，可得，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，由離心率，可得，此時(shí)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，由離心率，可得，此時(shí)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）當(dāng)t＝3時(shí)，方程為x2+3y2＝12，A（0，2），B（0，﹣2），設(shè)Q（x1，y1），P（x2，y2）．直線(xiàn)BQ的方程為：，令y＝s，G（，2），聯(lián)立，消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣12，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，因?yàn)閗AG＝，kAP＝，kAG﹣kAP＝﹣＝＝，分子＝﹣4k?+2（s﹣m）?（﹣）+（sm﹣4）（x2﹣x1）＝+（sm﹣4）（x2﹣x1）＝（sm﹣4）（x2﹣x1﹣）＝0，即kAG＝kAP，因而A，G，P三點(diǎn)共線(xiàn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．二．橢圓的性質(zhì)（共8小題）2．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）“表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是（）A．0＜a＜b B．1＜a＜b C．2＜a＜b D．1＜b＜a【分析】求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，先求出橢圓的等價(jià)條件，結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1，即+＝1，若焦點(diǎn)在y軸，則log2b＞log2a＞0，即b＞a＞1．等價(jià)條件為b＞a＞1，則對(duì)應(yīng)的充分不必要條件可以為b＞a＞2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2，則e1e2的最小值為．【分析】設(shè)出橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定義可得：m+n＝2a，m﹣n＝2a1，解出m，n．利用余弦定理可得關(guān)于e1，e2的等式，再由基本不等式求得當(dāng)e1e2取最小值．【解答】解：不妨設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n．m＞n．則m+n＝2a，m﹣n＝2a1，∴m＝a+a1，n＝a﹣a1．cos＝＝，化為：（a+a1）2+（a﹣a1）2﹣4c2＝（a+a1）（a﹣a1）．∴a2+3a12﹣4c2＝0，∴+＝4，∴4≥2，則≤，即e1e2≥，當(dāng)且僅當(dāng)e1＝，e2＝時(shí)取等號(hào)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓與雙曲線(xiàn)的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．4．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的范圍是（2，9）．【分析】由已知可得，求解即可．【解答】解：∵方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴，∴實(shí)數(shù)k的范圍是（2，9）．故答案為：（2，9）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．5．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）如圖，圓柱OO1的軸截面ABB1A1是正方形，D、E分別是邊AA1和BB1的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、E的平面與圓柱OO1側(cè)面相交所得到曲線(xiàn)的離心率是．【分析】根據(jù)平面與圓柱的截線(xiàn)為橢圓，求出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，即可求出半焦距，由橢圓的離心率公式求解即可．【解答】解：設(shè)軸截面的正方形邊長(zhǎng)為2，設(shè)C1是弧B1A1的中點(diǎn)，且與C關(guān)于圓柱的中心對(duì)稱(chēng)，如圖：由題意可知，截面曲線(xiàn)為橢圓，橢圓短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)b＝1，故半焦距，所以橢圓的離心率為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的截面問(wèn)題，橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?虹口區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡P（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線(xiàn)照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為A，橢圓的右頂點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率e＝．【分析】建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，|NQ|＝a+c，|QR|＝a﹣c，求得直線(xiàn)PR的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得M、Q的坐標(biāo)，再利用M到PN的距離求得N點(diǎn)坐標(biāo)，則可得出2a，a﹣c，求解c，即可得到橢圓的離心率．【解答】【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，|NQ|＝a+c，|QR|＝a﹣c由題意可得P（0，4），R（﹣3，0），則PR：4x﹣3y+12＝0，kPR＝，設(shè)M（n，1），Q（n，0），則M到PR的距離d＝＝1，解得n＝﹣1（舍去）．n＝﹣，則|QR|＝﹣3＝＝a﹣c，又設(shè)PN：kx﹣y+4＝0，由d＝＝1，得45k2﹣84k+32＝0．∴kPR?kPN＝，則kPN＝，得xN＝﹣，∴2a＝，a＝，解得c＝．∴橢圓的離心率e＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求法，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求解a與c，屬難題．7．（2023?徐匯區(qū)三模）如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上第一象限的一個(gè)點(diǎn)A滿(mǎn)足：直線(xiàn)F1A與直線(xiàn)的交點(diǎn)為B，直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為C，且射線(xiàn)BF2為∠ABC的角平分線(xiàn)，則△F1AF2的面積為．【分析】利用三角形中的角平分線(xiàn)的性質(zhì)、聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程以及三角形的面積公式進(jìn)行求解．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為，則，，解得，，故橢圓的方程為；在△F1BC和△F2BC中由正弦定理得：，，又射線(xiàn)BF2為∠ABC的角平分線(xiàn)，可得，則在直角△F1BC中，故，所以直線(xiàn)：，點(diǎn)A為直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得（舍負(fù)），故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．8．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）以P為圓心的動(dòng)圓與圓和圓均相切，若點(diǎn)P的軌跡為橢圓，則r的取值范圍是（5，+∞）．【分析】根據(jù)條件，進(jìn)行以P為圓心的動(dòng)圓與兩圓相外切和與圓C1外切，與圓C2內(nèi)切，兩種情況討論，利用點(diǎn)P的軌跡為橢圓，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題知，若以P為圓心的動(dòng)圓與兩圓均外切，如圖，令以P為圓心的動(dòng)圓半徑為R，則PC1＝R+1，PC2＝R+r，因|PC2﹣PC1|＝|r﹣1|，所以此時(shí)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓，不符合題意；若以P為圓心的動(dòng)圓與圓C1外切，與圓C2內(nèi)切，如圖，令以P為圓心的動(dòng)圓半徑為R，則PC1＝R+1，PC2＝r﹣R，因|PC2+PC1|＝r+1，若點(diǎn)P的軌跡為橢圓，則r+1＞2×2＝4，即r＞3，且圓C1與圓C2不相交，即r＞5，綜上，若點(diǎn)P的軌跡為橢圓，則r＞5．故答案為：（5，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義及其性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．9．（2023?奉賢區(qū)二模）已知橢圓C：，A（0，b），B（0，﹣b）．橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)（t＞0），過(guò)點(diǎn)T作直線(xiàn)AT交橢圓于M，作直線(xiàn)BT交橢圓于N．M、N是不同的兩點(diǎn)．（1）若橢圓C的離心率是，求b的值；（2）設(shè)△BTM的面積是S1，△ATN的面積是S2，若，b＝1時(shí)，求t的值；（3）若點(diǎn)U（xu，yu），V（xv，yv）滿(mǎn)足xu＜xv且yu＞yv，則稱(chēng)點(diǎn)U在點(diǎn)V的左上方．求證：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方．【分析】（1）分0＜b＜2，b＞2兩種情況結(jié)合離心率計(jì)算式可得答案；（2）聯(lián)立直線(xiàn)AM的方程與橢圓方程可得xM，聯(lián)立直線(xiàn)BN的方程與橢圓方程可得xN.結(jié)合圖形可得，后結(jié)合∠BTM+∠ATN＝π，及弦長(zhǎng)公式可得，即可得答案；（3）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得xM，xN，后結(jié)合在橢圓內(nèi)部可得xM，xN大小，又由題意可得yN，yM大小，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率是，當(dāng)0＜b＜2時(shí)，，得b＝1；當(dāng)b＞2時(shí)，，得b＝4；所以b的值為1或4；（2）由題意，直線(xiàn)AM的斜率kAM存在，直線(xiàn)BN的斜率kBN存在，，直線(xiàn)AM的方程，設(shè)M（xM，yM）．則.，直線(xiàn)BN的方程，設(shè)N（xN，yN），則，由圖，，注意到∠BTM+∠ATN＝π，則sin∠BTM＝sin∠ATN．又，同理可得，則．（3）證明：由題意，直線(xiàn)AM的斜率kAM存在，直線(xiàn)BN的斜率kBN存在，，直線(xiàn)AM的方程，設(shè)M（xM，yM）．則，，直線(xiàn)BN的方程，設(shè)N（xN，yN），則，則＝，又在橢圓內(nèi)部，則，故xM＞xN，又根據(jù)題意知，所以，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．三．直線(xiàn)與橢圓的綜合（共4小題）10．（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）已知橢圓Γ的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)為P．（1）若△PFB為直角三角形，求Γ的離心率；（2）若a＝2，b＝1，點(diǎn)Q、Q'是橢圓Γ上不同兩點(diǎn)，試判斷“|PQ|＝|PQ'|”是“Q、Q'關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”的什么條件？并說(shuō)明理由；（3）若，點(diǎn)T為直線(xiàn)x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)TA，TB分別交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，試問(wèn)△FCD的周長(zhǎng)是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由△PFB為直角三角形，則kBF?kPB＝﹣＝﹣1，又b2＝a2﹣c2，可得a2﹣c2＝ac，進(jìn)而可得答案．（2）根據(jù)題意可得橢圓的方程為+y2＝1，設(shè)Q（x1，y1），Q′（x2，y2），則|PQ|2＝﹣3﹣2y1+5，同理可得|PQ′|2＝﹣3﹣2y2+5，若|PQ|＝|PQ′|，則有﹣3﹣2y1+5＝﹣3﹣2y2+5，則y1＝y(tǒng)2或3y1+3y2+2＝0，再由充要條件的定義，即可得出答案．（3）根據(jù)題意可得橢圓的方程為+＝1，設(shè)T（4，t），寫(xiě)出直線(xiàn)TA、TB的方程，分類(lèi)聯(lián)立橢圓的方程，解得C，D點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)CD方程，即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得P（0，b），F(xiàn)（﹣c，0），B（a，0），因?yàn)椤鱌FB為直角三角形，所以∠FPB＝，又kBF＝，kPB＝﹣，所以kBF?kPB＝﹣＝﹣1，所以b2＝ac，又b2＝a2﹣c2，所以a2﹣c2＝ac，所以1﹣e2＝e，即e2+e﹣1＝0，所以e＝或（舍），所以橢圓的離心率為．（2）因?yàn)閍＝2，b＝1，所以橢圓的方程為+y2＝1，設(shè)Q（x1，y1），Q′（x2，y2），|PQ|2＝（y1﹣1）2+＝（y1﹣1）2+4﹣4＝﹣3﹣2y1+5，同理可得|PQ′|2＝﹣3﹣2y2+5，若|PQ|＝|PQ′|，則有﹣3﹣2y1+5＝﹣3﹣2y2+5，所以（y1﹣y2）（3y1+3y2+2）＝0，所以y1＝y(tǒng)2或3y1+3y2+2＝0，所以|PQ|＝|PQ′|不能推出Q與Q′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，而Q與Q′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)能推出|PQ|＝|PQ′|，所以“|PQ|＝|PQ'|”是“Q、Q'關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”的必要不充分條件．（3）若a＝2，b＝，則橢圓的方程為+＝1，設(shè)T（4，t），直線(xiàn)TA的方程為y＝x+，直線(xiàn)TB的方程y＝x﹣t，聯(lián)立，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，所以xAxC＝，所以2xC＝，所以xC＝，所以C（，），聯(lián)立，得（3+t2）x2+4t2x+4t2﹣12＝0，所以xBxD＝，所以2xD＝，所以xD＝，所以D（，﹣），所以直線(xiàn)CD的方程為y＝﹣（x﹣1），所以直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），即橢圓的右焦點(diǎn)，所以△FCD的周長(zhǎng)為4a＝8，定值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．11．（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)記橢圓的左頂點(diǎn)為M，右焦點(diǎn)為F．（1）若橢圓C的離心率，求b的范圍；（2）已知，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與橢圓分別交于E，G兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)）連接ME，MG，試判定EM與EG是否可能垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x﹣2），它與C相交于A，B．若直線(xiàn)AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為D．證明：|BF|＝|DF|．【分析】（1）先根據(jù)在橢圓上，得到b，a的關(guān)系，再結(jié)合離心率的范圍可以求得b的范圍；（2）假設(shè)EM⊥EG，向量數(shù)量積為0，可以求得E點(diǎn)坐標(biāo)，可以確定EM與EG垂直；（3）設(shè)點(diǎn)后聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，再消參數(shù)得出橫坐標(biāo)關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵在橢圓上，∴，可得，∵，∴，∴；（2）垂直，理由如下：∵且橢圓過(guò)，∴，因此橢圓方程為，由題意得，假設(shè)EM⊥EG，設(shè)E（x，y），則，由，得，即，①又點(diǎn)E在橢圓上，則，②①②聯(lián)立消去y2，得，則（為左頂點(diǎn)不符合題意舍），，所以EM與EG垂直．（3）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），由（2）知橢圓方程為，與直線(xiàn)l的方程y＝k（x﹣2）聯(lián)立消去y，并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，可得，又點(diǎn)A在直線(xiàn)y＝k（x﹣2）上，∴y1＝k（x1﹣2），∴，∴，又直線(xiàn)AD的方程為與橢圓方程為聯(lián)立消去y，，整理得，所以，于是可得x1+x2＝x1+x3，即x2＝x3，從而B(niǎo)，D兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此|BF|＝|DF|．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知橢圓C：的焦距為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．①若點(diǎn)P在直線(xiàn)上，求證：線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)S，并求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；②求證：當(dāng)△OMN的面積最大時(shí)，直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為定值．【分析】（1）根據(jù)焦距和所過(guò)點(diǎn)聯(lián)立方程組求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程并與橢圓方程聯(lián)立，①根據(jù)中點(diǎn)公式及垂直平分線(xiàn)方程化簡(jiǎn)即可證明并得到定點(diǎn)；②利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，表示出三角形面積，并借助重要不等式得到三角形面積最大時(shí)，直線(xiàn)方程中的參數(shù)滿(mǎn)足的條件，由此化簡(jiǎn)直線(xiàn)OM與ON的斜率之積即可得出定值．【解答】解：（1）由已知可得2c＝2，，又a2＝b2+c2，∴b2＝1，a2＝4，∴橢圓C的方程為．（2）證明：由題意知，直線(xiàn)l斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l方程為y＝kx+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）．由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，Δ＝64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）＝16（1+4k2﹣m2）＞0，．①∵點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)上，∴，即，∴y0＝kx0+m＝．∴線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)方程為，即，即，故線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．②由弦長(zhǎng)公式得＝，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離為，∴△OMN的面積為＝．當(dāng)且僅當(dāng)m2＝1+4k2﹣m2，即2m2＝1+4k2時(shí)等號(hào)成立．∴＝＝＝．∴直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為定值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．13．（2023?虹口區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，△PAB面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)AP、BQ的斜率分別為k1、k2，且3k1＝5k2．①求證：直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)△PQB和△PQA的面積分別為S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值．【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于a、b、c的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓C的方程；（2）①分析可知直線(xiàn)PQ不與y軸垂直，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為x＝ty+n，可知n≠±2，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）．將直線(xiàn)PQ的方程的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出n的值，即可得出直線(xiàn)PQ所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出|S1﹣S2|關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得|S1﹣S2|的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①證明：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），若直線(xiàn)PQ的斜率為零，則點(diǎn)P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則k1＝﹣k2，不合乎題意；設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為x＝ty+n，由于直線(xiàn)PQ不過(guò)橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則n≠±2，聯(lián)立，消去x可得（t2+4）y2+2tny+n2﹣4＝0，Δ＝4t2n2﹣4（t2+4）（n2﹣4）＝16（t2+4﹣n2）＞0，可得n2＜t2+4，由韋達(dá)定理可得，則，所以＝，解得，即直線(xiàn)PQ的方程為，故直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)．②由韋達(dá)定理可得，所以，＝，因?yàn)閠2≥0，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時(shí)，等號(hào)成立，因此，|S1﹣S2|的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中三角形面積的最值問(wèn)題，屬于較難題目．四．拋物線(xiàn)的性質(zhì)（共5小題）14．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線(xiàn)C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A，B兩不同點(diǎn)，拋物線(xiàn)C在A，B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)M，且M的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)|AB|＝（）A．16 B．26 C．14 D．24【分析】由橢圓方程求得F的坐標(biāo)，并求得p，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出拋物線(xiàn)在A，B處的切線(xiàn)方程，結(jié)合已知求得A，B的橫坐標(biāo)的和，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得k，進(jìn)一步求出A，B的縱坐標(biāo)的和，再由拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式求|AB|．【解答】解：由題意可得，F(xiàn)（0，﹣2），則p＝4，拋物線(xiàn)C的方程為x2＝﹣8y．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化簡(jiǎn)得y＝﹣x+，①同理可得在點(diǎn)B處的切線(xiàn)為y＝﹣x+，②聯(lián)立①②得xM＝，由M的橫坐標(biāo)為4，得x1+x2＝8．將AB的方程代入拋物線(xiàn)方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)與橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行，則實(shí)數(shù)a等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，方程思想，即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)M到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，∴，∴p＝8，∴拋物線(xiàn)為y2＝16x，∵點(diǎn)M（1，m）在拋物線(xiàn)上，∴m2＝16，又m＞0，∴m＝4，∴M（1，4），∵的，∴雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為A（﹣a，0），∴直線(xiàn)AM的斜率為：，∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±，又雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行，∴，∴a＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．16．（2023?閔行區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)C1：y2＝8x，圓C2：（x﹣2）2+y2＝1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），P、Q分別為C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足|PM|＝|PQ|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[，]．【分析】由已知可得x+2﹣1≤|PQ|≤x+2+1，進(jìn)而可得x+2﹣1≤≤x+2+1，求解即可．【解答】解：由拋物線(xiàn)C1：y2＝8x，可得焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝﹣2，由圓C2：（x﹣2）2+y2＝1，可得圓心C2即為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，∴|PF|﹣1≤|PQ|≤|PF|+1，∴x+2﹣1≤|PQ|≤x+2+1，∵|PM|＝|PQ|，∴x+2﹣1≤|PM|≤x+2+1，∴x+2﹣1≤≤x+2+1，∴x2+2x+1≤x2﹣8x+16+8x≤x2+6x+9，解得≤x≤，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[，]．故答案為：[，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．17．（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓（x﹣2）2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．【分析】由圓方程可得E（2，0），易得E（2，0）為C的焦點(diǎn)．設(shè)P（x0，y0）（x0≥0），根據(jù)拋物線(xiàn)定義和圓的性質(zhì)可得|PQ|≥|PE|﹣1＝x0+2﹣1＝x0+1，又|PO|＝＝，將的最大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)求解即可．【解答】解：因?yàn)閳AE：（x﹣2）2+y2＝1，所以E（2，0），易得E（2，0）為C的焦點(diǎn)，設(shè)P（x0，y0）（x0≥0），因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線(xiàn)C：y2＝8x上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓E：（x﹣2）2+y2＝1上的一點(diǎn)，則|PQ|≥|PE|﹣1＝x0+2﹣1＝x0+1，又|PO|＝＝，所以≤＝，令t＝x0+1，則＝＝，所以當(dāng)＝，即x0＝時(shí)，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．（2023?上海模擬）已知拋物線(xiàn)y2＝2px（x＞0），P（2，1）為拋物線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)l：y＝2x+m與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，連接AP，BP分別交拋物線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，若對(duì)任意直線(xiàn)l，總存在λ，使得成立，則該拋物線(xiàn)方程為y2＝4x．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），根據(jù)，推出y1+y2+λ（y3+y4）＝2（1+λ），結(jié)合點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，可得y1+y2＝p，y3+y4＝p，即可求得p，即得答案．【解答】解：根據(jù)題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），C（x3，y3），D（x4，y4），（x3≠x4），∵，∴（2﹣x1，1﹣y1）＝λ（x3﹣2，y3﹣1），∴，∴，同理可得，∴（*）將A，B兩點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程得，作差可得，而，即y1+y2＝p，同理可得y3+y4＝p，將其代入（*），可得p＝2，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為y2＝4x，故答案為：y2＝4x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，方程思想，設(shè)而不求法，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．五．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合（共3小題）19．（2023?徐匯區(qū)三模）在直角坐標(biāo)平面中，拋物線(xiàn)Γ1是由拋物線(xiàn)y＝x2按平移得到的，Γ1過(guò)點(diǎn)A（1，0）且與x軸相交于另一點(diǎn)B．曲線(xiàn)Γ2是以AB為直徑的圓．稱(chēng)Γ1在x軸上方的部分、Γ2在x軸下方的部分以及點(diǎn)A、B構(gòu)成的曲線(xiàn)為曲線(xiàn)Ω，并記Γ1在x軸上方的部分為曲線(xiàn)Ω1，Γ2在x軸下方的部分為曲線(xiàn)Ω2．（1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)Γ1和圓Γ2的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)y＝k（x﹣1）與曲線(xiàn)Ω有不同于點(diǎn)A的公共點(diǎn)P、Q，且∠QBA＝∠PBA，求k的值；（3）若過(guò)曲線(xiàn)Ω2上的動(dòng)點(diǎn)M（x1，y1）（x1＞0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω恰有兩個(gè)公共點(diǎn)M、N，且直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，求的最大值．【分析】（1）由平移可知拋物線(xiàn)Γ1：y＝x2向下平移1個(gè)單位得到Γ1的方程y＝x2﹣1，進(jìn)而可得A，B坐標(biāo)，即可得出答案．（2）聯(lián)立y＝k（x﹣1）與圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)y＝k（x﹣1）與拋物線(xiàn)的方程為，得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由∠QBA＝∠PBA，得tan∠QBA＝tan∠PBA，即＝，則＝k﹣2，解得k，即可得出答案．（3）設(shè)N（x2，y2），根據(jù)題意可得直線(xiàn)l斜率k1存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k1（x﹣t），t＞1，分兩種情況：若N在Γ2上，若N在曲線(xiàn)Ω1上，討論?的最大值，即可得出答案．【解答】解：（1）拋物線(xiàn)y＝x2上的點(diǎn)（1，1）按＝（0，﹣1）得到點(diǎn)（1，0），所以?huà)佄锞€(xiàn)Γ1：y＝x2向下平移1個(gè)單位得到，則Γ1的方程y＝x2﹣1，拋物線(xiàn)Γ1與x軸相交于點(diǎn)A（1，0），B（﹣1，0），所以以AB為直徑的圓Γ2的方程為x2+y2＝1．（2）將y＝k（x﹣1）與圓方程聯(lián)立，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，因?yàn)閤A＝1，所以1?xP＝，即xp＝，代入直線(xiàn)方程P（，），聯(lián)立直線(xiàn)y＝k（x﹣1）與拋物線(xiàn)的方程為，得Q（k﹣1，k2﹣2k），所以tan∠PBA＝＝，tan∠QBA＝＝k﹣2，因?yàn)椤螿BA＝∠PBA，所以tan∠QBA＝tan∠PBA，解得k＝1±，由yP＝﹣＜0，可得k＞0，所以k＝1+．（3）設(shè)N（x2，y2），根據(jù)題意可得直線(xiàn)l斜率k1存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k1（x﹣t），由直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)，得t＞1，若N在Γ2上，則?＝x1x2+y1y2≤+＝1，若N在曲線(xiàn)Ω1上，因?yàn)橹本€(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，所以斜率大于0，則N點(diǎn)在第一象限，由直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω恰有兩個(gè)公共點(diǎn)M、N可知l與曲線(xiàn)Ω1、曲線(xiàn)Ω2各有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)以及斜率大于0知直線(xiàn)l與圓Γ2在x軸及其上方無(wú)公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω2相切于點(diǎn)M，于是有﹣﹣k1（x﹣t）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝x1∈（0，1）時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)閤∈（﹣1，1）時(shí)，x2﹣1﹣（﹣）＝（1﹣）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x∈{﹣1，0，1}時(shí)等號(hào)成立，所以x2﹣1﹣k1（x﹣t）＞0，即直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)Γ1在x軸下方部分無(wú)公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Ω1相切于點(diǎn)N，于是可得直線(xiàn)l2的方程為y＝2x2?x﹣，且滿(mǎn)足＝1，由＞1，得＝2+，此時(shí)x2＝＞1，可求得x1＝∈（0，1），直線(xiàn)l2與曲線(xiàn)Ω1相切于點(diǎn)N，曲線(xiàn)Ω2相切點(diǎn)M，符合題意，所以?＝||2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，直線(xiàn)與圓，拋物線(xiàn)的相交問(wèn)題，解題中需要理清思路，屬于中檔題．20．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是拋物線(xiàn)Γ1：x2＝y(tǒng)上的三個(gè)點(diǎn)，且直線(xiàn)CB、CA分別與拋物線(xiàn)Γ2：y2＝4x相切，F(xiàn)為拋物線(xiàn)Γ1的焦點(diǎn)．（1）若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x3，用x3表示線(xiàn)段CF的長(zhǎng)；（2）若CA⊥CB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）證明：直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)Γ2相切．【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，焦半徑公式，即可求解；（2）設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，方程思想，即可求解；（3）設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，化歸轉(zhuǎn)化思想，即可證明．【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x3，所以，又Γ1的準(zhǔn)線(xiàn)，∴；（2）顯然直線(xiàn)CB，CA的斜率都存在，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)C的拋物線(xiàn)Γ2的切線(xiàn)方程為，由，得，令，則k的兩個(gè)解k1，k2分別為直線(xiàn)CB，CA的斜率，∵CA⊥CB，∴，∴x3＝﹣1，∴C（﹣1，1）；（3）證明：設(shè)，直線(xiàn)，即（x3+x1）x﹣y﹣x1x3＝0，由，得，又直線(xiàn)CA與拋物線(xiàn)相切，∴Δ＝1+4x1x3（x1+x3）＝0，又直線(xiàn)CB與拋物線(xiàn)相切，同理可得1+4x2x3（x2+x3）＝0，又x1，x2是方程1+4x3x（x+x3）＝0，即的兩根，∴x1+x2＝﹣x3，，∴1+4x2x1（x2+x1）＝0，∴直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)Γ2相切．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，設(shè)而不求法，韋達(dá)定理，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．21．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于不同的A、B兩點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)l的方程為y＝x﹣1，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；（2）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，求證：A′、F、B三點(diǎn)共線(xiàn)；（3）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（8，﹣4），拋物線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)N，使得以線(xiàn)段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得x1+x2，由拋物線(xiàn)的定義可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+P，即可得出答案．（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x+1），A′（x1，﹣y1），B（x2，y2），寫(xiě)出直線(xiàn)A′F的斜率為kA′F，直線(xiàn)BF的斜率為kBF，即可得出答案．（3）假設(shè)存在點(diǎn)N（，y0）使以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則?＝0，解出N點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），又直線(xiàn)l：y＝x﹣1過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），所以由拋物線(xiàn)的定義可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+P＝6+2＝8．（2）證明：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x+1），A′（x1，﹣y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，所以x1x2＝1，即x2＝，直線(xiàn)A′F的斜率為kA′F＝＝，直線(xiàn)BF的斜率為kBF＝＝＝＝﹣，所以kA′F＝kBF，所以A′、F、B三點(diǎn)共線(xiàn)．（3）假設(shè)存在點(diǎn)N（，y0）使以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，設(shè)過(guò)點(diǎn)M（8，﹣4）直線(xiàn)l的方程為x＝m（y+4）+8，聯(lián)立，得y2﹣4my﹣16m﹣32＝0，設(shè)A（，y1），B（，y2），則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16m﹣32，因?yàn)辄c(diǎn)N總在以弦AB為直徑的圓上，所以∠ANB＝90°，所以?＝0，又＝（﹣，y1﹣y0），＝（﹣，y2﹣y0），所以（﹣）（﹣）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝0，所以（y1﹣y0）（y2﹣y0）[+1]＝0，當(dāng)y1＝y(tǒng)0或y2＝y(tǒng)0，等式成立，當(dāng)y1＝≠0或y2≠y0，有（y1+y0）（y2+y0）＝﹣16，所以y1y2+y0（y1+y2）+y02+16＝0，則y02﹣4my0﹣16m﹣16＝0，即4m（y0﹣4）+（y0﹣4）（y0+4）＝0，所以當(dāng)y0＝4時(shí)，無(wú)論m取何值等式都成立，將y0＝4代入y2＝4x，得x0＝4，所以存在點(diǎn)N（4，4）使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的定義，以及直線(xiàn)與圓和拋物線(xiàn)的位置問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．六．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）22．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程是，則這條雙曲線(xiàn)的方程是．【分析】根據(jù)題意中所給的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方，則可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（λ≠0）；將點(diǎn)代入方程，可得λ＝﹣1；即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，則可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（λ≠0）；又因?yàn)殡p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入方程可得，λ＝﹣1；故這條雙曲線(xiàn)的方程是；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，要求學(xué)生掌握由漸近線(xiàn)方程引入λ，進(jìn)而設(shè)雙曲線(xiàn)方程的方法，注意標(biāo)明λ≠0．七．雙曲線(xiàn)的性質(zhì)（共8小題）23．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）如圖，直角坐標(biāo)系中有4條圓錐曲線(xiàn)?i（i＝1，2，3，4），其離心率分別為ei．則4條圓錐曲線(xiàn)的離心率的大小關(guān)系是（）?A．e2＜e1＜e4＜e3 B．e1＜e2＜e3＜e4 C．e2＜e1＜e3＜e4 D．e1＜e2＜e4＜e3【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：設(shè)橢圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，由圖可知a1＝a2，b1＜b2，則，即，即，即0＜e2＜e1＜1，設(shè)雙曲線(xiàn)C3的方程為，雙曲線(xiàn)C4的方程為，由圖可知，即，即，即1＜e3＜e4，即e2＜e1＜e3＜e4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．24．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）已知雙曲線(xiàn)C：3mx2﹣my2＝3的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A． B． C．2 D．4【分析】把雙曲線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出m即可求出離心率作答．【解答】解：雙曲線(xiàn)C：3mx2﹣my2＝3化為：，依題意，，解得m＝1，因此雙曲線(xiàn)C的實(shí)半軸長(zhǎng)為1，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023?浦東新區(qū)三模）已知曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣2，﹣1）．【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)求解．【解答】解：∵是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，∴m+2＞0，m+1＜0，即﹣2＜m＜﹣1；故答案為：（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023?浦東新區(qū)二模）雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線(xiàn)的距離為2．【分析】由雙曲線(xiàn)方程，算出右焦點(diǎn)F為（，0），漸近線(xiàn)為y＝±x．由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式加以計(jì)算，結(jié)合雙曲線(xiàn)基本量的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可求出焦點(diǎn)F到其漸近線(xiàn)的距離．【解答】解：∵雙曲線(xiàn)方程為，∴雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0），漸近線(xiàn)為y＝±x，即x±y＝0，可得焦點(diǎn)F到其漸近線(xiàn)的距離為d＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題給出雙曲線(xiàn)方程，求它的焦點(diǎn)F到漸近線(xiàn)的距離．著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．27．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(xiàn)Γ：＝1的右焦點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，則p＝2．【分析】利用已知條件求解雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解p即可．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線(xiàn)Γ：＝1的右焦點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，可得＝，所以p＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．28．（2023?徐匯區(qū)二模）已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為，則F到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)距離為．【分析】取x＝﹣c，解得，根據(jù)面積得到，解得漸近線(xiàn)方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算得到答案．【解答】解：取x＝﹣c，則，解得，故，即，解得或a＝﹣2（舍），∴，不妨取漸近線(xiàn)方程為，即，∴F到漸近線(xiàn)的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．29．（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）不與x軸重合的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（xN，0）（xN≠0），雙曲線(xiàn)C：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM，若xN＝4xM，則b的值為．【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合klkAB＝﹣1得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用xN＝4xM，即可得出答案．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），則，兩式相減得，即，∴，即，∵l是AB垂直平分線(xiàn)，klkAB＝﹣1，∴，即，整理得，故b2＝3，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．30．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）已知直線(xiàn)l：y＝2x﹣10與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【分析】由題意可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解a與b的值，則答案可求．【解答】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝，由y＝2x﹣10，取y＝0，得x＝5，∵直線(xiàn)l：y＝2x﹣10與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，解得，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．八．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合（共3小題）31．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知坐標(biāo)平面xOy上左、右焦點(diǎn)為（﹣4，0）、（4，0）的雙曲線(xiàn)C1：和圓C2：x2+（y﹣a）2＝9（a∈R）．（1）若C1的實(shí)軸恰為C2的一條直徑，求C1的方程；（2）若C1的一條漸近線(xiàn)為y＝x，且C1與C2恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；（3）設(shè)a＝5．若存在C2上的點(diǎn)P（x0，y0），使得直線(xiàn)lP：＝1與C1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求C1的離心率的取值范圍．【分析】（1）直接利用條件求出m的值，進(jìn)而求出n，從而求出雙曲線(xiàn)的方程；（2）利用漸近線(xiàn)方程，求出m與n的關(guān)系，從而求出雙曲線(xiàn)的方程，再利用雙曲線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程只有一個(gè)解，從而求出a的值；（3）利用雙曲一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成雙曲線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，從而求出結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)镃1的實(shí)軸恰C2的一條直徑，所以2m＝2r＝6，即m＝3，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為（﹣4，0），（4，0），所以n2＝16﹣m2＝7，故雙曲線(xiàn)C1的方程為：；（2）雙曲線(xiàn)C1：的漸近線(xiàn)為，所以由題知，又m2+n2＝16，聯(lián)立解得，所以雙曲線(xiàn)C1的方程為，聯(lián)立，消x得到，因?yàn)镃1與C2恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以由雙曲線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性知，，即a2＝20，所以a＝；（3）設(shè)P（x0，y0）是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)過(guò)P（x0，y0）的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y﹣y0＝k（x﹣x0），由，消y整理得（n2﹣m2k2）x2+＝0，由于P（x0，y0）是切點(diǎn)，所以x0是這個(gè)方程的二重實(shí)根，由韋達(dá)定理有，＝，又因?yàn)?，得到，所以，又，所以＝，得到＝，化?jiǎn)得到，即，又易知k≠0，y0≠0，所以，所以切線(xiàn)方程為，即，也即，又因?yàn)镻（x0，y0）在雙曲線(xiàn)上，所以，所以切線(xiàn)方程為，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，P（±m(xù)，0），當(dāng)x0＝m時(shí)，過(guò)P（m，0）的曲線(xiàn)C1的切線(xiàn)方程為x＝m，當(dāng)x0＝﹣m時(shí)，過(guò)P（﹣m，0）的曲線(xiàn)C1的切線(xiàn)方程為x＝﹣m，均滿(mǎn)足，綜上，過(guò)雙曲線(xiàn)C1上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線(xiàn)方程為，又由題知，存在C2上的點(diǎn)P（x0，y0），使得直線(xiàn)lP：，與C1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，即lP：為曲線(xiàn)C1的切線(xiàn)，所以點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線(xiàn)C1：與圓的公共點(diǎn)，由，消x得（m2+n2）y2﹣10n2y+16n2+m2n2＝0，又因?yàn)閙2+n2＝16，所以16y2﹣10（16﹣m2）y+（16﹣m2）（16+m2）＝0，所以Δ＝100（16﹣m2）2﹣64（16﹣m2）（16+m2）≥0，即25（16﹣m2）﹣16（16+m2）≥0，解得，所以，得到．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，屬于難題．32．（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）橢圓Γ：＝1（m＞0，m）．（1）若m＝2，求橢圓Γ的離心率；（2）設(shè)A1、A2為橢圓Γ的左右頂點(diǎn)，橢圓Γ上一點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，且＝﹣2，求m的值；（3）過(guò)橢圓Γ上一點(diǎn)P作斜率為的直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．【分析】（1）由題意可得a，b，c，可求離心率；（2）由已知得A1（m，0），A2（m，0），設(shè)E（p，1），由已知可得p2＝m2，p2﹣m2+1＝﹣2，求解即可；（3）設(shè)直線(xiàn)y＝x+t，與橢圓方程聯(lián)立可得t2≤3m2+3，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立可得t2＝5m2﹣15，可求m的取值范圍．【解答】解：（1）若m＝2，則a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c＝＝1，∴e＝＝（2）由已知得A1（﹣m，0），A2（m，0），設(shè)E（p，1），∴+＝1，即p2＝m2，∴＝（﹣m﹣p，﹣1），＝（m﹣p，﹣1），∴?＝（﹣m﹣p，﹣1）?（m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣2，∵p2＝m2，代入求得m＝3；（3）設(shè)直線(xiàn)y＝x+t，聯(lián)立橢圓可得+＝1，整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t2﹣3）m2＝0，由Δ≥0，∴t2≤3m2+3，聯(lián)立雙曲線(xiàn)可得﹣＝1，整理得（3﹣m2）x2+2tx+（t2﹣5m2）＝0，由Δ＝0，t2＝5m2﹣15，∴5m2﹣15≤3m2+3，∴﹣3≤m≤3，又5m2﹣15≥0，∴m≥，又∵m≠，∴m∈（，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離心率的求法，考查橢圓與雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬中檔題．33．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知P（x0，y0）是焦距為的雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)P的一條直線(xiàn)l1與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P1（x1，y1），P2（x2，y2），且，過(guò)P作垂直的兩條直線(xiàn)l2和l3，與y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，其中l(wèi)2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．（1）求x1x2﹣y1y2的值；（2）求的最大值，并求此時(shí)雙曲線(xiàn)C的方程；（3）判斷以AB為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出所有定點(diǎn)；如果不是，說(shuō)明理由．【分析】（1）由3＝+2，得，由雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y＝±x，P1、P2位于兩條漸近線(xiàn)上，得y0＝±（x1﹣2x2）①，由點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)﹣＝1，得﹣＝1，可得x1x2，y1y2，即可得出答案．（2）當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線(xiàn)l1的方程為y﹣y1＝（x﹣x1），進(jìn)而可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得＝+＝||||y1﹣y2|＝|x1x2|＝ab，由基本不等式可得的最大值，可得雙曲線(xiàn)的方程；當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線(xiàn)l1的方程為x＝x1，＝|x1||2y1|＝|，由①式可得y0＝±x1，且點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，得S＝ab，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)的方程．（3）寫(xiě)出直線(xiàn)l2，l3的方程，進(jìn)而可得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，可得﹣a2＝，設(shè)以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)為Q（x，y），由⊥，可得該圓的方程為x2+y2﹣8+y（﹣）＝0（*），必須有y＝0且x2+y2﹣8＝0，即可得出答案．【解答】解：（1）因?yàn)?＝+2，所以，即，因?yàn)殡p曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y＝±x，P1、P2位于兩條漸近線(xiàn)上，所以y0＝±（x1﹣2x2），①又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)﹣＝1，所以﹣＝1，所以x1x2＝，y1y2＝﹣x1x2＝﹣b2，所以x1x2﹣y1y2＝（a2+b2）＝c2＝（2）2＝9．（2）當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線(xiàn)l1的方程為y﹣y1＝（x﹣x1），所以直線(xiàn)l1與x軸的交點(diǎn)為M（，0），所以＝+＝||||y1﹣y2|＝|x1x2|，由（1）可得x1x2＝a2＞0，x1，x2同號(hào)，所以S＝＝ab，因?yàn)閍2+b2＝c2＝8，a2+b2≥2ab，所以S≤（a2+b2）＝，此時(shí)雙曲線(xiàn)的方程為﹣＝1，當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線(xiàn)l1的方程為x＝x1，＝|x1||2y1|＝|，所以x0＝x1，由①式可得y0＝±x1，且點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，所以﹣＝1，所以＝，所以S＝ab，所以當(dāng)x1＝x2時(shí)，同樣當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，Smax＝，所以雙曲線(xiàn)的方程為﹣＝1．（3）根據(jù)題意可得直線(xiàn)l2的方程為y﹣y0＝（x﹣x0），則A（0，﹣），直線(xiàn)l3的方程為y﹣y0＝﹣（x﹣x0），B（0，y0+），因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，所以﹣＝1，所以﹣a2＝，所以A（0，﹣），B（0，y0+）＝（0，），設(shè)以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)為Q（x，y），由⊥，可得該圓的方程為x2+y2﹣8+y（﹣）＝0，（*）因?yàn)椹伈缓銥?，所以（*）式要恒成立