類(lèi)型十五、因式分解的幾何應(yīng)用

類(lèi)型十五、因式分解的幾何應(yīng)用【解惑】2m2+5mn+2n2可以因式分解為方法：與前面類(lèi)型幾何類(lèi)似。用割補(bǔ)的方式把圖形分成幾份，用等面積法兩種方法表示，構(gòu)造等式?！救跁?huì)貫通】1．將幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進(jìn)行拼圖，可以將二次三項(xiàng)式分解因式為（

）A． B． C． D．2．如圖2所示的是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，若用表示面積，，，則長(zhǎng)方體的表面積為（

）A． B．C． D．3．如圖，四邊形是一個(gè)長(zhǎng)方形，利用不同的方法可以計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積．通過(guò)分析圖形中所標(biāo)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，將多項(xiàng)式因式分解，其結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．甲、乙兩農(nóng)戶(hù)各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個(gè)農(nóng)戶(hù)決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)．為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，為了使所換土地的面積與原來(lái)4塊地的總面積相等，交換之后的土地的長(zhǎng)應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)+bB．b+cC．a(chǎn)+cD．a(chǎn)+b+c5．如圖：邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a2b+ab2的值為（

）A．35 B．70 C．40 D．906．如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a+b=10，ab=20，那么陰影部分的面積是（

）A．20 B．30 C．40 D．107．如圖，中，，將沿方向平移個(gè)單位得（其中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是），設(shè)交于點(diǎn)，若的面積比的大，則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．【知不足】8．如圖，六塊紙板拼成一張大矩形紙板，其中一塊是邊長(zhǎng)為a的正方形，兩塊是邊長(zhǎng)為b的正方形，三塊是長(zhǎng)為a，寬為b的矩形（）．觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式可因式分解為_(kāi)___________．9．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)圖中所標(biāo)注的線(xiàn)段長(zhǎng)度表示長(zhǎng)方形ABCD的面積，可得到的表示一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的代數(shù)恒等式為_(kāi)____．10．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線(xiàn)裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為的小正方形，五塊是長(zhǎng)為，寬為的全等小長(zhǎng)方形，且．（單位：cm）（1）觀(guān)察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為_(kāi)_____．（2）若每塊小長(zhǎng)方形的面積為，四個(gè)正方形的面積和為，則圖中所有裁剪線(xiàn)（虛線(xiàn)部分）長(zhǎng)之和______．11．如圖，用四個(gè)完全一樣的長(zhǎng)、寬分別為x，y的長(zhǎng)方形紙片圍成一個(gè)大正方形，中間是空的小正方形．若，，判斷以下關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．正確的是_____________（填序號(hào)）．12．如圖，整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積用式子表示為a2+3ab+2b2，觀(guān)察圖形，將這個(gè)式子分解因式為_(kāi)____．13．已知a=2015x+2013，b=2015x+2015，c=2015x+2017，則多項(xiàng)式a2b2c2abbcac的值是_____.14．已知?jiǎng)t___________________15．如圖①，是一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體中挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為b的小正方體(a>b)(1)如圖①所示的幾何體的體積是_______.(2)用另一種方法表示圖①的體積：把圖①分成如圖②所示的三塊長(zhǎng)方體，將這三塊長(zhǎng)方體的體積相加后得到的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.比較這兩種方法，可以得出一個(gè)代數(shù)恒等式____________________.16．已知a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，則代數(shù)式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是_____．17．如果x-y=1，xy=2，那么x3y-2x2y2+xy3=____18．已知a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0，且2a﹣3b=1，則a3+b3的值是_____19．利用分解因式計(jì)算：（1）22005﹣22004=____；（2）（﹣2）51+（﹣2）50=____．20．若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，則a=_____，b=_____．21．已知?jiǎng)t代數(shù)式的值為_(kāi)________．22．若x，y是大于3的質(zhì)數(shù)，但能使得x2+5xy+4y2為完全平方數(shù)，這樣的質(zhì)數(shù)對(duì)（x，y）是_____．23．如果一個(gè)兩位數(shù)a的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且互不相同，我們稱(chēng)這個(gè)兩位數(shù)為“跟斗數(shù)”，定義新運(yùn)算：將一個(gè)“跟斗數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記，例如：a=13，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，31+13=44，和與11的商44÷11=4，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：____________．（2）若一個(gè)“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2(k+1)，且，則“跟斗數(shù)”b=____________．（3）若m，n都是“跟斗數(shù)”，且m+n=100，則____________．24．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值為_(kāi)___．25．閱讀下面材料：一個(gè)含有多個(gè)字母的式子中，如果任意交換兩個(gè)字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對(duì)稱(chēng)式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有兩個(gè)字母a，b的對(duì)稱(chēng)式的基本對(duì)稱(chēng)式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等對(duì)稱(chēng)式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對(duì)稱(chēng)式的是_______（填序號(hào)）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求對(duì)稱(chēng)式的值；②若n＝﹣4，直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)式的最小值．26．已知(2019－a)(2017－a)＝1000，請(qǐng)猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______【一覽眾山小】27．閱讀與思考：下面是小華同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．年月日星期日巧用數(shù)學(xué)思想，妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題．今天，我去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，無(wú)意間發(fā)現(xiàn)一本書(shū)上記錄了這樣一段有趣的話(huà)：“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題思路中一種重要的思維方法，貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過(guò)程，在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛，比如整體代入，整體換元，整體約分，整體求和，整體構(gòu)造，……，很多問(wèn)題若從局部求解，各個(gè)擊破，多數(shù)很難解決，而從全局著眼，整體思考，會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題也能迎刃而解．有這樣一道題：如果時(shí)，求的值，它的解題過(guò)程如下：方法一：當(dāng)時(shí)，原式．方法二：將當(dāng)做一個(gè)整體，那么當(dāng)時(shí)，原式．通過(guò)對(duì)比兩種方法，我得到了這樣一個(gè)結(jié)論：巧用數(shù)學(xué)思想解題，不僅有助于加深對(duì)代數(shù)式結(jié)構(gòu)的理解，而且還能提高我們做題的效率，同時(shí)也能培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維．嘗試應(yīng)用：(1)根據(jù)“方法二”，將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)；拓展探究：(2)已知，那么的值為_(kāi)__．28．【實(shí)踐探究】小明在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，如圖2，據(jù)此寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：________________．【問(wèn)題解決】(2)若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，需要②號(hào)長(zhǎng)方體________個(gè)，③號(hào)長(zhǎng)方體_____個(gè)，據(jù)此寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：____________________．【拓展與延伸】(3)如圖3，在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體，據(jù)此寫(xiě)出______________．29．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)字等式，例如圖1可以得到．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式________；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知，，求的值；(3)小明同學(xué)用2張邊長(zhǎng)為的正方形，3張邊長(zhǎng)為的正方形，5張邊長(zhǎng)分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)長(zhǎng)方形，那么該長(zhǎng)方形較長(zhǎng)一邊的邊長(zhǎng)為多少？(4)小明同學(xué)又用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，那么________．30．如圖，將一塊邊長(zhǎng)為的正方形紙片的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（）的小正方形．試用含a，b的代數(shù)式表示剩余部分的面積，并利用因式分解求當(dāng)，時(shí)，剩余部分的面積．31．如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示__________，__________；(2)寫(xiě)出利用圖形的面積關(guān)系所揭示的因式分解的公式：__________；(3)利用這個(gè)公式說(shuō)明可以被10和20之間的兩個(gè)整數(shù)整除，求這兩個(gè)整數(shù)．32．如圖，有足夠多的邊長(zhǎng)為的小正方形（A類(lèi)），寬為、長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形（B類(lèi)）以及邊長(zhǎng)為的大正方形（C類(lèi)），發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三類(lèi)圖形可