第二講數(shù)整除六年級(jí)數(shù)學(xué)

第二講數(shù)的整除（二）

寶山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院張波公因數(shù)最小公倍數(shù)互素本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架：整數(shù)及其運(yùn)算數(shù)的整除能被２整除的數(shù)因數(shù)倍數(shù)素?cái)?shù)合數(shù)分解素因數(shù)奇數(shù)、偶數(shù)能被…整除的數(shù)能被5整除的數(shù)公倍數(shù)最大公因數(shù)短除法【分析與討論】在嘗試裁的過程中我們不難發(fā)現(xiàn),原長方形的長45是小正方形邊長的若干倍，即“裁成的小正方形紙片的邊長應(yīng)該是45的因數(shù)”.問題1一張長方形紙片的長為45厘米，寬為30厘米.

現(xiàn)要把這張紙片裁成若干塊邊長為整數(shù)、大小相同的小正方形，且沒有剩余.那么小正方形的邊長可以是多少厘米？小正方形的邊長最大是多少厘米？……同樣地，小正方形邊長也應(yīng)該是30的因數(shù).【分析與討論】

我們可以找到45的因數(shù)：1、3、5、9、15、45；

問題1一張長方形紙片的長為45厘米，寬為30厘米.

現(xiàn)要把這張紙片裁成若干塊邊長為整數(shù)、大小相同的小正方形，且沒有剩余.那么小正方形的邊長可以是多少厘米？小正方形的邊長最大是多少厘米？30的因數(shù)：1、2、3、5、6、10、15、30.

于是，我們找到既是45的因數(shù)，又是30的因數(shù)的有1、3、5、15.

所以，小正方形的邊長可以是1厘米、3厘米、5厘米或15厘米，最大邊長是15厘米.【分析與討論】我們也可以直觀地顯示如下：

問題1一張長方形紙片的長為45厘米，寬為30厘米.

現(xiàn)要把這張紙片裁成若干塊邊長為整數(shù)、大小相同的小正方形，且沒有剩余.那么小正方形的邊長可以是多少厘米？小正方形的邊長最大是多少厘米？

在該問題中，1、3、5、15既是45的因數(shù)，又是30的因數(shù)，它們被稱為45和30的“公因數(shù)”，其中15稱為它們的“最大公因數(shù)”。30的因數(shù)1351594526103045的因數(shù)45和30公有的因數(shù)

從上面的例子中，我們不難看出，45、30的公因數(shù)1、3、5、15都是其最大公因數(shù)15的因數(shù).

定義1：幾個(gè)整數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做它們的最大公因數(shù).一般地，幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)都是它們最大公因數(shù)的因數(shù).

兩個(gè)整數(shù)可能只有1這一個(gè)公因數(shù)（如4和9），這樣的兩個(gè)數(shù)稱為“互素”定義2：如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素.顯然，互素的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1

.【分析與討論】（1）設(shè)a、b是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).

所以兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素，即上述問題中說法（1）是正確的.

問題2.判斷下列說法是否正確.（1）兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素；（2）互素的兩個(gè)數(shù)一定都是素?cái)?shù)；（3）1與任何正整數(shù)互素；（4）一個(gè)素?cái)?shù)與其它任一正整數(shù)互素.

因?yàn)樗財(cái)?shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，又a是素?cái)?shù),所以

a的因數(shù)只有1和a；同理，b的因數(shù)只有1和b，又，所以它們的公因數(shù)只有1.1aba的因數(shù)b的因數(shù)a和b的公因數(shù)【分析與討論】（2）兩個(gè)數(shù)互素是指這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)

只有1，而這兩個(gè)數(shù)本身都可以有許多因數(shù)（如4和9）.

所以互素的兩個(gè)數(shù)可以都是合數(shù)，上述問題中說法（2）是錯(cuò)誤的.

（3）因?yàn)?的因數(shù)只有1本身，所以1和任何正整數(shù)的公因數(shù)只能是1.上述問題中說法（3）是正確的.

問題2.判斷下列說法是否正確.（1）兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素；（2）互素的兩個(gè)數(shù)一定都是素?cái)?shù)；（3）1與任何正整數(shù)互素；（4）一個(gè)素?cái)?shù)與其它任一正整數(shù)互素.【分析與討論】（4）如3是素?cái)?shù)，但是3與6、3與9、3與12等都不互素，所以問題中的說法（4）是錯(cuò)誤的.

我們不難發(fā)現(xiàn)上述各對(duì)數(shù)中，一個(gè)是3，另一個(gè)是3的倍數(shù)，它們的最大公因數(shù)都是3.如果另一個(gè)不是3的倍數(shù)（如3和4、3和10等），那么它們就是互素的.問題2.判斷下列說法是否正確.（1）兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素；（2）互素的兩個(gè)數(shù)一定都是素?cái)?shù)；（3）1與任何正整數(shù)互素；（4）一個(gè)素?cái)?shù)與其它任一正整數(shù)互素.【分析與討論】（1）因?yàn)閍被b整除，所以b是a的因數(shù).

又顯然，b是b本身的因數(shù)，所以b是a和b的公因數(shù).問題3.判斷下列說法是否正確.（1）如果a被b整除，那么b是a和b的最大公因數(shù)；（2）如果m是a和b的公因數(shù)，那么m也是

、的因數(shù).

又b是b本身最大的因數(shù)，所以b是a和b的最大公因數(shù).

所以,上述問題中說法（1）是正確的.【分析與討論】（2）我們知道，2的倍數(shù)都可以寫成2k的形式，3的倍數(shù)都可以寫成3k的形式…,一般地，m的倍數(shù)都可以寫成mk的形式（其中m、k為整數(shù)）.問題3.判斷下列說法是否正確.（1）如果a被b整除，那么b是a和b的最大公因數(shù)；（2）如果m是a和b的公因數(shù)，那么m也是

、的因數(shù).所以，上述問題中說法（2）是正確的.

【分析與討論】（1）假設(shè)m是兩個(gè)相鄰整數(shù)的公因數(shù)，根據(jù)問題3，m一定是這兩個(gè)相鄰整數(shù)的差的因數(shù)，而相鄰兩個(gè)整數(shù)的差為1，所以m是1的因數(shù)，所以m=1，即兩個(gè)相鄰整數(shù)互素.所以上述問題中說法（1）是正確的.

（2）如3是奇數(shù)，6是偶數(shù)，但3和6不互素（這樣的例子很多）.所以上述問題中說法（2）是錯(cuò)誤的.問題4.判斷下列說法是否正確.（1）相鄰的兩個(gè)整數(shù)一定互素；（2）一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)一定互素；（3）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)一定互素；（4）任意兩個(gè)偶數(shù)一定不互素.【分析與討論】（3）與（1）類似，我們可以說明說法（3）是正確的.問題4.判斷下列說法是否正確.（1）相鄰的兩個(gè)整數(shù)一定互素；（2）一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)一定互素；（3）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)一定互素；（4）任意兩個(gè)偶數(shù)一定不互素.

假設(shè)m是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的公因數(shù)，則m一定是它們的差的因數(shù)，而相鄰兩個(gè)奇數(shù)的差為2，所以m是2的因數(shù)，所以m=1或m=2，又m是這兩個(gè)奇數(shù)的因數(shù)，而奇數(shù)都不被2整除，所以m不可能等于2，所以m=1.即兩個(gè)相鄰奇數(shù)一定互素

.【分析與討論】（4）因?yàn)樗信紨?shù)一定被2整除，即2是所有偶數(shù)的公因數(shù).

所以問題中的說法（4）是正確的.問題4.判斷下列說法是否正確.（1）相鄰的兩個(gè)整數(shù)一定互素；（2）一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)一定互素；（3）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)一定互素；（4）任意兩個(gè)偶數(shù)一定不互素.【分析與討論】（1）根據(jù)公因數(shù)的定義，我們可以分別找出480和600的所有因數(shù)，進(jìn)而找出它們的公因數(shù)和最大公因數(shù)

.問題5求480和600的最大公因數(shù).

但是480和600的因數(shù)都有很多，一一寫出來比較麻煩，而且容易漏掉.【分析與討論】（2）由于把一個(gè)整數(shù)分解素因數(shù)，可以較好地找出它的因數(shù)。因此把兩個(gè)整數(shù)都分解素因數(shù)，也可以幫助我們較好地找到它們的公因數(shù)與最大公因數(shù).問題5求480和600的最大公因數(shù).

根據(jù)兩個(gè)素因分解式，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)它們公有的素因數(shù)有2、2、2、3、5.不難得到:480=×2×2×；

600=××5.2×2×22×2×22×2×22×2×23×53×53×53×5所以它們的最大公因數(shù)為2×2×2×3×5=120

.【分析與討論】（3）我們知道，在把一個(gè)整數(shù)分解素因數(shù)時(shí)，短除法是一個(gè)較為直觀而又簡潔的工具.問題5求480和600的最大公因數(shù).

我們可以把這兩個(gè)短除法合并起來，從而把兩個(gè)整數(shù)分別分解素因數(shù)的過程與找它們的公因數(shù)的過程結(jié)合起來.48022402120603015522236002300215075255235480600240226020254235300150120755

從而得到480和600的最大公因數(shù)為:2×2×2×3×5=120

.【分析與討論】在使用這樣的短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)時(shí)，如果我們能夠看出它們某個(gè)較大的公因數(shù)，那么我們也可以把上述短除法的過程縮短.如：問題5求480和600的最大公因數(shù).4806004810642601085

所以480和600的最大公因數(shù)為10×6×2=120

.【分析與討論】

（1）因?yàn)?21數(shù)字較大，所以把221分解素因數(shù)有困難.

找出221的因數(shù)比較困難，所以短除法也不易進(jìn)行.問題6.求下列各組數(shù)的最大公因數(shù).（1）39和221；（2）119和133.

一般地，當(dāng)兩個(gè)整數(shù)中，一個(gè)整數(shù)分解素因數(shù)有困難（數(shù)字較大，看不出它的素因數(shù)，或者素因數(shù)有很多），而另外一個(gè)的素因數(shù)比較明了時(shí)，都可以使用類似的方法

.而39分解素因數(shù)較為方便，易得：39=3×13，所以我們只要判斷3、13是不是221的因數(shù).經(jīng)檢驗(yàn)，13整除221（221=13×17）.

又3和17互素，所以39和221的最大公因數(shù)為13.3922131317【分析與討論】

（2）由于119和133數(shù)字都較大，分解素因數(shù)都有困難.問題6.求下列各組數(shù)的最大公因數(shù).（1）39和221；（2）119和133.經(jīng)檢驗(yàn)7能同時(shí)整除119和133.即119=7×17，133=7×19

.又133-119=14，

因此，如果m是119和133的公因數(shù)，那么m也是14的因數(shù)

.

因?yàn)?4=2×7，所以我們只要檢驗(yàn)2或7能否同時(shí)整除119和133.又17和19互素，所以119和133的最大公因數(shù)是7.

根據(jù)前面問題3，我們知道“如果m是a和b的公因數(shù)，那么m也是、的因數(shù)”.【分析與討論】在拼圖的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)：問題7現(xiàn)有若干張同樣的長方形紙片，它們長為45厘米，寬為30厘米?，F(xiàn)要用這些紙片拼成一個(gè)較大的正方形（拼的過程中，每個(gè)長方形都箭頭朝上放置），那么大正方形的邊長可能是多少厘米？最少需要多少張長方形紙片？

豎著看，拼成的正方形的邊長是由若干個(gè)長方形的寬組成，即正方形的邊長也是30的倍數(shù).所以拼成的正方形邊長應(yīng)該是45和30公有的倍數(shù)

.……

橫著看，拼成的正方形的邊長是由若干個(gè)長方形的長組成，即正方形的邊長是45的倍數(shù)；【分析與討論】要使所用的長方形紙片數(shù)最少，即拼成的正方形邊長要最小，即在45和30公有的倍數(shù)中找到最小的一個(gè)

.問題7現(xiàn)有若干張同樣的長方形紙片，它們長為45厘米，寬為30厘米。現(xiàn)要用這些紙片拼成一個(gè)較大的正方形（拼的過程中，每個(gè)長方形都箭頭朝上放置），那么大正方形的邊長可能是多少厘米？最少需要多少張長方形紙片？

于是，我們可以找到既是45的倍數(shù)，又是30的倍數(shù)的有90、180、…..45的倍數(shù)有：45、90、135、180、225、…；30的倍數(shù)有：30、60、90、120、150、180、210、….【分析與討論】上述尋找的過程也可以直觀地顯示如下:問題7現(xiàn)有若干張同樣的長方形紙片，它們長為45厘米，寬為30厘米?，F(xiàn)要用這些紙片拼成一個(gè)較大的正方形（拼的過程中，每個(gè)長方形都箭頭朝上放置），那么大正方形的邊長可能是多少厘米？最少需要多少張長方形紙片？

所以，拼成的正方形邊長可以是90厘米、180厘米

…90180…45135306012015045的倍數(shù)30的倍數(shù)45和30公有的倍數(shù)225…210…

正方形的邊長最小是90厘米，這時(shí)需要6張長方形紙片.即最少需要6張長方形紙片.

在上述問題中，90、180、…，既是45的倍數(shù)，又是30的倍數(shù)，它們被稱為45和30的“公倍數(shù)”，其中90稱為它們的“最小公倍數(shù)”.

定義3：幾個(gè)整數(shù)的公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù).

從上述例子中，我們?nèi)菀卓吹剑?5和30的公倍數(shù)90、180、…等等，都是它們的最小公倍數(shù)90的倍數(shù).

一般地，如果a和b的最小公倍數(shù)是c

，那么a和b的公倍數(shù)一定是c的倍數(shù).【分析與討論】（1）因?yàn)閍被b整除，所以a是b的倍數(shù).又a也是a本身的倍數(shù)，所以a是a和b的公倍數(shù).問題8.判斷下列說法是否正確。

(1)如果a被b整除，那么a和b的最小公倍數(shù)是a；

(2)如果a和b互素，那么a和b的最小公倍數(shù)是ab.

又a的倍數(shù)中，最小的就是a本身，所以a和b的最小公倍數(shù)是a.即上述問題中說法（1）是正確的.【分析與討論】（2）顯然，ab既是a的倍數(shù)，又是b的倍數(shù)，所以是a和b的公倍數(shù);問題8.判斷下列說法是否正確.(1)如果a被b整除，那么a和b的最小公倍數(shù)是a；

(2)如果a和b互素，那么a和b的最小公倍數(shù)是ab.

所以ab是a和b的最小公倍數(shù).即上述問題中說法（2）是正確的.又a的倍數(shù)可以寫成am，其中m是整數(shù).

若am也是b的倍數(shù)，因?yàn)閍、b互素，所以m是b的倍數(shù).

而b的倍數(shù)中，最小的一個(gè)就是b本身.

所以m最小就是b，這時(shí)am=ab.

【分析與討論】（1）根據(jù)公倍數(shù)及最小公倍數(shù)的定義，我們可以分別找出24和30的倍數(shù)，進(jìn)而找出它們的公倍數(shù)和最小公倍數(shù).問題9求24和30的最小公倍數(shù)

.24的倍數(shù)有：24、48、72、96、120、144、168、…；

30的倍數(shù)有：30、60、90、120、150、180、210、….所以24和30的最小公倍數(shù)為120.

我們知道，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)多個(gè)，所以兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)也有無數(shù)多個(gè)

.

這樣求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，有時(shí)可能需要寫出很多才能找到

.【分析與討論】（2）與求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)相類似，我們可以把兩個(gè)整數(shù)都分解素因數(shù)，利用它們的素因分解式，找出它們的最小公倍數(shù).問題9求24和30的最小公倍數(shù)

.

根據(jù)公倍數(shù)的概念，24和30的公倍數(shù)，既是24的倍數(shù)，又是30的倍數(shù)

.

同樣地它也必須包含30的所有素因數(shù)，即含有素因數(shù)2、3、5

.不難得到:24=2×2×2×3;30=2×3×5.

因?yàn)槭?4的倍數(shù)，所以必須包含24的所有素因數(shù)，即含有素因數(shù)2、2、2、3

.

又24和30有相同的素因數(shù)（一個(gè)2、一個(gè)3），相同的素因數(shù)不需要重復(fù)選取.【分析與討論】所以24和30的公倍數(shù)必須含有兩者相同的素因數(shù)（一個(gè)2和一個(gè)3），以及各自剩下的素因數(shù)（24剩下兩個(gè)素因數(shù)2，30剩下一個(gè)素因數(shù)5）.問題9求24和30的最小公倍數(shù)

.

因此24和30的公倍數(shù)必須含有因數(shù)

（2×3）×（2×2）×5

.所以24和30的最小公倍數(shù)為2×2×2×3×5=120

.24=2×2×2×3;30=2×3×5.又要求最小公倍數(shù)，所以不再含有其它素因數(shù)

.【分析與討論】（3）與求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)相類似，我們可以通過短除法找到兩個(gè)整數(shù)各自的素因數(shù)，并把這兩個(gè)短除法合并起來，即把找出兩個(gè)整數(shù)所有素因數(shù)的過程與找出它們的最小公倍數(shù)的過程結(jié)合起來

.問題9求24和30的最小公倍數(shù)

.

所以24和30的最小公倍數(shù)為2×3×4×5=120

.2421226230215352430122315543【分析與討論】與求最大公約數(shù)相類似，在使用短除法時(shí)，如果我們能夠看出它們較大的一個(gè)公因數(shù)，那么我們就可以把上述短除法的過程縮短

.問題9求24和30的最小公倍數(shù)

.從而24和30的最小公倍數(shù)為6×4×5=120.2430465【分析與討論】（1）思路一：與求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法完全類似.問題10（1）求24、30、36的最大公因數(shù)；（2）求24、30、36的最小公倍數(shù)

.

根據(jù)公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念，我們可以分別寫出24、30、36的因數(shù)，然后找出它們的公因數(shù)與最大公因數(shù).24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24;30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15、30；

36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

.所以24、30、36的公因數(shù)為1、2、3、6，最大公因數(shù)為6.【分析與討論】（1）思路一：與求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法完全類似.問題10（1）求24、30、36的最大公因數(shù)；（2）求24、30、36的最小公倍數(shù)

.

當(dāng)然，我們可以根據(jù)它們的素因數(shù)分解式來找它們的最大公因數(shù).24=2×2×2×3；30=2×3×5；36=2×2×3×3.所以最大公因數(shù)為2×3=6.

同樣地，可以用短除法.所以24、30、36的最大公因數(shù)為2×3=6.

注意:除到三個(gè)商不再有共同的素因數(shù)，即三個(gè)商的最大公因數(shù)為1.

24301223155436186【分析與討論】（1）思路二：先求出其中某兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再求三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù).問題10（1）求24、30、36的最大公因數(shù)；（2）求24、30、36的最小公倍數(shù)

.

如，我們可以先求出24和30的最大公因數(shù)6，再求6和36的最大公因數(shù)，還是6.所以24、30、36的最大公因數(shù)是6.

當(dāng)然先求哪兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都是可以的，我們可以先求較小的或較容易求出的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù).【分析與討論】（2）思路一：與求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法完全類似.問題10（1）求24、30、36的最大公因數(shù)；（2）求24、30、36的最小公倍數(shù)

.

根據(jù)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念，我們可以分別寫出24、30、36的倍數(shù)，然后找出它們的公倍數(shù)與最小公倍數(shù).但這個(gè)處理常常比較麻煩.

當(dāng)然，我們可以根據(jù)它們的素因數(shù)分解式來找它們的最小公倍數(shù).由24=2×2×2×3；30=2×3×5；36=2×2×3×3.

所以24、30、36的最小公倍數(shù)為:2×2×2×3×3×5=360.【分析與討論】（2）思路一：與求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法完全類似.問題10（1）求24、30、36的最大公因數(shù)；（2）求24、30、36的最小公倍數(shù)

.同樣地，可以用短除法.從而24、30、36的最小公倍數(shù)為2×3×2×2×5×3=360.

這里，需要特別注意的是，必須除到任意兩個(gè)商都互素（即