2022屆高考數(shù)學(xué)必做題

2022年高考數(shù)學(xué)考前必做題

1.在四棱錐尸-A8CD中，底面ABCD為長(zhǎng)方形，底面ABCO,其中PB=2,84=2,

BC=f,f的可能取值為:①②t=號(hào);③仁冬④仁|；⑤f=3.

已知線段CD上存在點(diǎn)E,滿足AE±PE.

(I)求f的所有可能取值，并說(shuō)明理由；

(II)當(dāng)f為所有可能取值的最大值時(shí)，線段S上滿足4E_LPE的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為

Ei，Ei，求二面角Ei-PB-反的大小.

【分析】(/)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,8P的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建

立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ECt,x,0)(0WxW2),求出病=(t,x,-2),EA=C-t,2

-x,0),通過(guò)數(shù)量積為0,求解，的范圍，推出結(jié)果.

(7/)由(/)知仁察此時(shí)，工=4或%=梳，即滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)，求出E1(立,

，幺，2

--0)和E2(―,0),說(shuō)明NE1BE2是二面角Ei-PB-E2的平面角，然后利用向量

222

的數(shù)量積求解二面角的大小.

【解答】解：(/)如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BS的方向分別為x軸，y

軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,2,0),B(0,0,0),D(n2,0),P(0,0,2).

設(shè)EG,x,0)(0WxW2),所而=(t,x,-2),￡1=(-32-x,0),PELEA.

-？+x(2-x)=0,.'.i2—x(2-x),

.??在所給的數(shù)據(jù)中，，可以?、佗冖?

(//)由⑺知仁孚，此時(shí)，x=/或x=9，即滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè).

V31V33

根據(jù)題意得，其坐標(biāo)為E\（一，-，0）和Ei（一，0）,

2222

?.?P3_L底面ABC。，PB^BEi,

???ZE1BE2是二面角E「SB-Ei的平面角，

TTno

由「冰<RFRR>-BE1BE2_5+4_^3

由cosVBE],BE?〉一丁7n--反一互,

由題意得，二面角E1-P8-E2為銳角，所以二面角的大小為30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能

力以及計(jì)算能力，是中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面四邊形ABCO為直角梯形，ABHCD,AB±BC,AB

=2CD,。為8。的中點(diǎn)，BD=4,PB=PC=PD=?

（1）證明：OP_L平面A8C￡）；

（2）求平面必。與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【分析】（1）連接OC,利用勾股定理證明OPLOC,又可證明根據(jù)線面垂直

的判定定理證明即可；

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)

法求出平面PBC和平面陽(yáng)。的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接0C,

在RtZ\BCZ)中，由8。=4,可得0C=2,

因?yàn)镻B=PD=?,08=00=2,

所以O(shè)PJ_BO,OP=\/PB2-OB2=V5-4=1,

因?yàn)?。P=l,0C=2,PC=V5,

貝|JPC2=OP1+OC2,

故0PL0C,

因?yàn)椤DC\0C=0,BD,OCu平面ABC。，

則OP_L平面ABCD-,

(2)解：由(1)可知，OC,OB,0P兩兩垂直，

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則。(0,0,0),B(2,0,0),0(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),

所以左=(2,2,0),AB=2DC=(4,4,0),

則A(-2,-4,0),

又盛=(-2,2,0),BP=(-2,0,1),

設(shè)平面PBC的法向量為益=(x,y,z),

Jm-FC=-2x+2y=01令日，則產(chǎn)Lz=2,

BP=-2x+z=0

故m=(1,1,2),

設(shè)平面辦。的法向量為I=(a,b,c),

因?yàn)槎?(2,0,1),AD=(0,4，0),

所以收￥=2a+c=0

令a=l,則/?=0,c=-2,

1n?AD=4b=0

故九=(L0,—2),

—>—>

|n-m|_______3_____同

所以|cosOn,n>\=

|n||m|-71+1+4x71+4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角

的求解，在求解有關(guān)空間角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

3.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=2,BC=4,△A4C為正三角形，。為AB的中點(diǎn)，AC

±PD,ZPCB=9QQ.

(1)求證：BC_L平面PAC；

(2)求PO與平面PBC所成角的正弦值.

【分析】(1)取AC中點(diǎn)記為0,連OP,0D,證明ACLCO,結(jié)合AC,尸。，推出AC

_L面即可得到AC_LO￡>,進(jìn)而得AC_L8C,又8CLLPC,可證8C_L平面B4C.

(2)說(shuō)明OA,0P,0。兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出面B4B法向量利用

空間向量的數(shù)量積，求解直線與平面所成角即可.

【解答】解：(1)證明：取AC中點(diǎn)記為0,連OP,OD,

,JOD//CB,AC±CB,：.ACLCD

XV/1C10D,ACLOP,POHOD^O,

.,.AC±ffiPOD,C.ACLOD,

：.AC±BC,

,：ZPCB=9Q°.所以8cLpC,

又PCnAC=C,PCu平面辦C,ACu平面出C,

所以BC_L平面PAC.

(2)由(1)知BC_L平面B4C,5LBC//0D,

所以0￡>_L平面B4C,所以O(shè)OJ_OP,

以。為原點(diǎn)，OA,OD,0P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,V3),D(0,2,0),C(-1,0,0),8(-1,4,0)

所以而=(-1,4,-V3),PC=(-1,0,-V3),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),

所以收回二。，所以「"+41-超=。，

3?PC=0I-V3z=0

號(hào)z=痘,貝！ly=0,x--3,

所以平現(xiàn)PBC的一個(gè)法向量為%=(-3,0,V3),

又訪=(0,2,-V3)

設(shè)與平面P8C所成角為0,

sin0=||=品=答，

y/21

：.PD與平面P8C所成角的正弦值為七.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查

轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

4.如圖，直線/：y=fcv+6與拋物線7=4），相交于不同的兩點(diǎn)A（xi，yi）、B（短，”），且

向-X2|=/z（〃為定值），線段AB的中點(diǎn)為。，與直線/平行的拋物線/=4），的切線的切

點(diǎn)為C.

（1）用晨6表示出點(diǎn)C、點(diǎn)。的坐標(biāo)，并證明C。垂直于x軸；

（2）求△A8C的面積（只與〃有關(guān)，與&、b無(wú)關(guān)）；

（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連AC、BC,再作與AC、BC平行

的切線，切點(diǎn)分別為E、F,小張馬上寫出了△ACE、△BCF的面積，由此小張求出了直

線/與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說(shuō)出理由.

【分析】（1）直線/：y=kx+b代入拋物線7=4?求出。的坐標(biāo)，設(shè)切線方程為y=Ax+m,

代入拋物線方程，求出C的坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；

（2）利用韋達(dá)定理，表示出三角形面積，即可得出結(jié)論；

>3［九3

（3）分別求出ai—S^ABC=a2=S/\ACE+S^BCl-4,^,按上面構(gòu)造三角形的方法，

無(wú)限的進(jìn)行下去，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）由直線/：與拋物線/=4y,

得/-4kx-4/7=0,

..x\+xz—Ak,x\x2--4b

:.點(diǎn)D（2k,2必+b）???（2分）

設(shè)切線方程為y=kx+m,

代入拋物線方程可得?-4fcc-4m=0,

得△=4p42+16，〃=0,

m=P,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為兼，得C⑵,F）,

由于C、。的橫坐標(biāo)相同，...CO垂直于x軸.

(2)?.?/?=設(shè)2—.|2=162+16方,:.b=11;6k,

1h3

S^ABC=^CD\\X2-刈=32，

??.△ABC的面積與"/?無(wú)關(guān)，只與/?有關(guān).

(3)由(1)知CD垂直于x軸，\xc-XA\=\XB-xc\=

/lh3h-

由(2)可得△ACE、△BCF的面積只與萬(wàn)有關(guān)，將以研=今中的/?換

[h3h3

可得SMCE=S&BCF=g-32=256*

戶1九3”3

記〃1=5初比=右，CL2=S^ACE^S^BCF==-T9—=——y按上面構(gòu)造三角形的方法，無(wú)限

32432128

的進(jìn)行下去，可以將拋物線C與線段A3所圍成的封閉圖形的面積，看成無(wú)窮多個(gè)三角

形的面積的和，即數(shù)列｛〃”｝的無(wú)窮項(xiàng)和，此數(shù)列公比為士

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的

計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

5.已知拋物線C：/=2py(p>0)上的點(diǎn)P(xo，1)到其焦點(diǎn)產(chǎn)的距離為2.

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)過(guò)拋物線C上一點(diǎn)Q作圓M：/+(y-3)2=4的兩條斜率都存在的切線，分別與

拋物線C交于異于點(diǎn)。的A,8兩點(diǎn).證明：直線AB與圓M相切.

【分析】(1)由拋物線的定義可得p的值，再由拋物線的幾何性質(zhì)，得解；

工2工2工2

(2)設(shè)。(為，-),A(%2?-)，B(%3?-)，其中xi#X2Wx3，根據(jù)直線QA和。8

444

是圓的兩條切線，可推出由和冷是方程(君-4)7+16%IX+80-4君=0的兩根，再結(jié)合

韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式，即可得證.

【解答】（1）解：由拋物線的定義知，|P川=1+^=2,

.?.拋物線的方程為/=4?焦點(diǎn)尸（0,1）.

（2）證明：由題意知，圓M的圓心M（0,3）,半徑丁=2,

設(shè)Q（X],二），A（12，~）>B（X3，—）,其中X1WX2WX3，

444

22

/9x二x1

，直線Q4的方程為y-毛=（X-X2），即（xi+x2）x-4y-制尤2=0,

--x92~x:l

???直線QA與圓M相切,

%32+12|

整理得(%i—4)%2+16x1X2+80-4%i=0,

2

7(%1+%2)+16

同理可得，(%i-4)xj+16x1X3+80-4%i=0,

，戈2和X3是方程(%i—4)f+16jqx+80-=0的兩根,

._16二80—4好

??X2+X3——衣~—，爾3=

妊—4

又直線AB的方程為（X2+X3）無(wú)-4）-33=0,

圓心M(0,3)到直線AB的距離d=/肛％3+12|=

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