2022屆高三數(shù)學二輪復習-數(shù)列的遞推公式同步測試卷

2022屆高三數(shù)學二輪專題復習數(shù)列的遞推公式同步測試卷

題號—■二三總分

得分

一、單選題（本大題共6小題，共60分）

1.在數(shù)列｛冊｝中，%=1，=3,a熊+2=3&i+i-2M，則%=()

A.2n-lB.2n-lC.3n-2D.2n-1+-

2

2

2.已知數(shù)列｛冊｝滿足的=1,a“+i=%,+10曲(1-二J,則a4i=()

A.-1B.-2C.-3D.1-1O&40

3.已知數(shù)列｛an｝的首項由=21,且滿足(2九一5)an+i=(2n-3)an+4九2一

16n+15,則的最小的一項是()

A.(Z5B?。6C.Q7D?CLQ

4.設/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足八2-%)=/(%),數(shù)列｛冊｝滿足的=-1,

且《n+l=(1+；)On+：5€?*).則f(。22)=()

A.0B.-1C.21D.22

aaa,a

5.數(shù)列｛%i｝滿足遞推公式即+2=an+n+l'且%=2>20192020=2020,

則山+al+…+諼019=()

A.1010B.2020C.3030D.4040

6.6知數(shù)列｛冊｝滿足:%=3,管=an+2(nGN*),則使an>42021成立的最

小正整數(shù)九為()

A.10B.11C.12D.13

二、多選題(本大題共3小題，共30分)

7.已知數(shù)列5｝滿足：的=3,當n22時，4=Qan_]+1+一1,則關

于數(shù)列｛冊｝說法正確的是()

A.a2=8B.數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列

2

C.數(shù)列｛c7｝為周期數(shù)列D.an=n+2n

8.設數(shù)列例｝,｛勾｝的前建項和分別為無,〃5=1島+i=—Sn,且b=色山,

nanan+2

則下列結論正確的是（)

A.a2O2o=2020B.S4=的羅

11o

C.b=11—D.二WT-riV-

“nn(n+2)3n4

bn

9.已知正項數(shù)列｛冊｝滿足的e81),數(shù)列｛0｝滿足bn=lnan,且犯+i=e

%-2對任意的九€'*恒成立，則下列結論中正確的是()

A.bn<0

B.數(shù)列｛b｝從第二項起是單調遞增數(shù)列

12

C.-<0-2021<-

D.〈白

三、單空題(本大題共2小題，共10分)

10.已知數(shù)列｛an｝滿足：a2=6,產三濘=；，則數(shù)列5｝的通項公式

是.

11.已知數(shù)列｛冊｝滿足的=1,a2=且Zan+iananT=an+1an+anan_j-

2an+lan-l(nN2),則數(shù)列｛%｝的通項公式為.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，累加法

的應用是求解通項的關鍵.

由。九+2=3。九+1—2a小倚。n+2—。九+1=2(即+1一冊)，數(shù)列｛冊+1—以

勾-%=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法求出國"的通項公式.

【解答】

解：由題意，遞推式a幾+2=3。九+i-2冊，兩邊同時減去a九+〉

a

可得見t+2—n+i=3an+i—2an—cin+1=2(an+1—an).

va2—Qi=2,

??.數(shù)列但幾+1-斯｝是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，

an+l—Qn=2n.

**?Z2日寸，Q九一。九一i=2"1,…，。3—。2=22,a2a1=2,

以上”-1個式子累加得Cl"一的=2"-1+2n-2+...+4+2=2x(1-2n7)=2n-

n11-2

2,

=2n—1,

當九=1時，%=2】-1=1也滿足，

從而可得每=2"-1.

故選4.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的遞推公式，考查利用累加法求通項公式及對數(shù)運算，屬于中檔題.

利用累加法結合對數(shù)的運算性質求解即可.

【解答】

解：由題意得4+1二冊+log3(l-a：］)，

所以當九=1時，-ai1/3；；

當九=2時，a:i-a,=log,J；

0

當九=3時，"I〃：|1嗎?；…；?T>-a?-i=10g35~~~?(n22).

以上各式，兩端分別相加得-山=1嗝：+1砥：+1°&；----10KsM~T

40I—1

A352幾一3、，1,、a

=/f93(3x-x-x???x-----)=bgz---r(?22),

35iIn-132n—1

所以41+log,.,-1-(?>2).

ZTI—1

將葭=41代入得，aji=1+log3——--=1+logger=-3,

ZX41-1ol

故選c.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查由數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項，數(shù)列的函數(shù)特征的應用，屬于難題.

根據(jù)已知條件構造出*=含+1,可設匕=含，得出數(shù)列｛4｝是以-7為首

項，1為公差的等差數(shù)列，求出通項公式，利用數(shù)列的函數(shù)特征即可求解答案.

【解答】

解：由題意，可知：4n2-16n+15=(2n-3)(2n-5),

???(2n-5)a篦+1=(2n—3)an+(2n—3)(2n—5),

等式兩邊同時除以(2n-3)(2n一5),可得:

a?+i+1,

2n-32n-5

而+

可設以二則1="1+1，

2n-59271—3

人九+1=+1,即：b九+i—bn=19

第4頁，共12頁

???數(shù)列｛b｝是以-7為首項，1為公差的等差數(shù)列，

bn——7+(TI—1)X1=?1—8,716N*,

an=(,n-8)(2n-5)=2n2-21n+40,

可把出看成關于九的二次函數(shù)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質，可知：

當?1=5或n=6時，時可能取最小值，

2

???當九=5時，a5=2x5-21X5+40=-15,

當九=6時，=2X62—21義6+40=-14,

.?.當九=5時,0n取得最小值.

即的最小的一項是.

故選A.

4.(答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、函數(shù)的奇偶性和周期性等基礎知

識，解題的關鍵是要通過已知條件知道函數(shù)的周期，考查學生的運算求解能力,

考查化歸與轉化思想，是中檔題.

由;"(2-％)=fQ)及f(%)是奇函數(shù)，可得函數(shù)周期為4,由數(shù)列｛冊｝滿足的=-1,

且％1+1=(1+；)eN*).可求出即=n-2,由此能求出/Xa22)=

"20)=f(0)=0.

【解答】

解：由f(2-知函數(shù)對稱軸為x=l,又f(x)是奇函數(shù)，

f(2-%)=/(%)=-/(-x)=-f(2+x)=/(-2-x)

所以函數(shù)周期為4.

數(shù)列滿足=—1，且冊+1=(1+；)冊+：CN*).

則皿—血=

n+1n\nn+17

a

則31=也+%_也+9+…+n_a九一1

Jn12132nn-1

y,r/y1,11,,11、y,27l—271—2nr*、

=-1+2(1---1------1-…H-------)=-1H----=—(zn>2o,n6/V),

'223n-1nynn'7

ai=一1也滿足上式，

**,二九一2,

則。22=20,

/(a22)=f(20)=f(0)=0-

故選:A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查累加法求數(shù)列的前幾項和.

22

首先根據(jù)遞推公式變形，然后利用累加法求和得到aj+a22+a3+…+an

anan+1,令ri=2019即可.

【解答】

解：根據(jù)遞推公式可得a+1=&+2-a。，

左右兩邊同時乘以冊+1,

an+l2=an+lan+2~anan+l?

貝"a/=CZn0^4-1—?n-l^-n'

2

^2=a2a3—。通2，

222

累加可得：a2+a3+…+an=anan+1-a1a2，

222

又因為的=a2,所以上式為a/+a2+a3+…+an=anan+1,

令九=2019,

第6頁，共12頁

222

則由2+a2+a3-]----pa2oi9=a2019a2020=2020.

故選8.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列遞推關系求通項公式,及指數(shù)不等式的解法,等比數(shù)列的通項公式,

考查抽象構造能力及計算能力，屬于難題.

首先構造數(shù)列｛log2(an+l)｝,并求出即，解不等式即可求出結果.

【解答】

解：：=°兀+2=an+l=an2+2a=>di+1=(fl+I)2,

annn+n

2

兩邊取對數(shù)得：log2(?n+l+1)=logout,+I)=21og2(a?+1),

故｛k>&(a“+l)｝為等比數(shù)列，且首項為1嘀(卬+1)=2,公比為2,

2，tn

所以log2(an+1)=2"=冊+1=2=>an=22—1，

則有即=22n—1>42021=24042,

22">24042=2">4042,

當九=12時，212=4096>4042,當九=11時，21】=2048<4042,

由于nGN*,所以n>12,

所以使即>42021成立的最小正整數(shù)九為12.

故選C.

7.【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用遞推關系式推出何不！=?…+1+1,說明數(shù)列｛匹釘｝是首項為

值彳1=2,公差為1的等差數(shù)列，然后求解通項公式，即可判斷選項的正誤;

本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，通項公式的求法，考查計算能力.

【解答】

解：cin=(Jan-i+1+I)2—1得a。+1=(J%1-1+1+I)2，

???Jc1n+1=[c1n—+1+1,即數(shù)歹「'冊+1｝是首項為Ja1+1=2,公差為1的

等差數(shù)列，

2

???y/an+1=2+(n—l)xl=n+l?an=n+2n.

2

a2=4+4=8,由二次函數(shù)性質可得a”=n+2n為遞增數(shù)列；

所以4龍正確.

故選：ABD.

8.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的遞推關系，裂項相消法，屬于中檔題.

首先由Sn的遞推關系，求出品和治,從而判斷選項48是正確的，將與代入可求

得為的表達式，再利用裂項相消的辦法求出〃，最后利用7；-n的單調性判斷。選

項，最終得出本題答案.

【解答】

解：由題意得，乎=￥，

3nn

二當nN2時，S=-S

n?^n-1^n-2x

43.n(n+l)

n+1n.??一.一.I=,

n-1n-2212

且當71=1時也成立，

.c-n(n+D

,?n-2'

易得當九>2時，an=Sn-Sn_]=n,

且當"=1時也成立，

所以“=n(neN*),

a2ooo=2020,故48正確；

,5+1)2—1

:.b力=-------=1H---------

n(n+2)n(n+2)

第8頁，共12頁

=i+Hb

11111111

T=n+—(1——+———+———+--------)

nn2、32435nn+2J

1111

=n+-(l+-----)

二一Hi--3---(----1---)<nH.—3,

42vn+ln+2，4

又〃一九隨著九的增加而增加,

1

Tn-n>T1—1=-9

|<Tn-n<^,C錯誤，〃正確.

故選ABD.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的遞推關系，數(shù)列的函數(shù)特征，屬于難題.

由已知得an+i=*,構造函數(shù)g(%)=?,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從

而確定g(x)的取值范圍,得到0nG&上T)UG，—("2),同時結合數(shù)列特

征，由此對四個選項逐一分析判斷即可.

【解答】

bn

解：因為bn=lnan,且“+i=e—bn—2,

所以lncin+i=冊-Ina”-2,即即+i=----,

an

令9(%)=一，則g'(x)=e",『)'

所以g(x)在(0,1)單調遞減，在［L+8)單調遞增，

當xeG，1)時,。(幻eG，磊),

所以由的e&1)可得a?e白篇)

因為g(3=《T.，

所以由02e6,磊)u&1)可得€&e”G5,故〃正確；

由。3e(/-1)U01)可得4eG.eL)u&a

依次類推可得與wG，eh)u(；,^)(n>2),

故(、V3加1<??<?,，故。正確；

由Me色套)ugi)可得匕=1皿e(-1,0),故6n<0,故力正確；

由題意可得，9(%)在(0,1)內單調遞減，且9(%)=?與、=%在(0,1)內有且只有

一個交點，

由gG)<r

數(shù)列｛%J逐漸趨近與g(x)=一與丫=%的交點的橫坐標，由圖象可知，數(shù)歹叫每｝

從第二項起是非單調的，

又數(shù)列｛g｝滿足%=lnan,即數(shù)列｛g｝從第二項起也是非單調的。

故8錯誤；

故選ACD.

10.【答案】&I=71(271—1)

【解析】

【分析】

第10頁，共12頁

本題考查了數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推關系和裂項相消法，屬于中檔題.

先得出(71—1)0n+1—(71+=—(九+1)，則急希一嬴匿=一(￡一》，由

累加法和裂項相消可得數(shù)列｛即｝的通項公式.

【解答】

解：易得?+1："+；=n，得(n-l)a*+i-(九+1)(1n=-(幾+1)，

an+lan+1

當九22時，安一弋=一_三，

n+1n-1n-1

所以旦±2----血_=----1_=_(」__與

^nfn+l)n(n-l)n(n-l)^n-lnJ

,a._________a?Li__z______1)

n(n-l)(n-2)(n-l)^n-2n-r9

2一&=-(1一工)，

3X2212，

累加法得就*=；T，

又g=6,得ri之2時，Q幾+i=(幾+l)(2n+1),

所以n>2時'，an=n(2n—1),

由%=6,可得的=1,也滿足上式，

所以冊=n(2n—1),(