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文檔簡介
2022屆高三數(shù)學二輪專題復習數(shù)列的遞推公式同步測試卷
題號—■二三總分
得分
一、單選題(本大題共6小題,共60分)
1.在數(shù)列{冊}中,%=1,=3,a熊+2=3&i+i-2M,則%=()
A.2n-lB.2n-lC.3n-2D.2n-1+-
2
2
2.已知數(shù)列{冊}滿足的=1,a“+i=%,+10曲(1-二J,則a4i=()
A.-1B.-2C.-3D.1-1O&40
3.已知數(shù)列{an}的首項由=21,且滿足(2九一5)an+i=(2n-3)an+4九2一
16n+15,則的最小的一項是()
A.(Z5B?。6C.Q7D?CLQ
4.設/(%)是定義在R上的奇函數(shù),滿足八2-%)=/(%),數(shù)列{冊}滿足的=-1,
且《n+l=(1+;)On+:5€?*).則f(。22)=()
A.0B.-1C.21D.22
aaa,a
5.數(shù)列{%i}滿足遞推公式即+2=an+n+l'且%=2>20192020=2020,
則山+al+…+諼019=()
A.1010B.2020C.3030D.4040
6.6知數(shù)列{冊}滿足:%=3,管=an+2(nGN*),則使an>42021成立的最
小正整數(shù)九為()
A.10B.11C.12D.13
二、多選題(本大題共3小題,共30分)
7.已知數(shù)列5}滿足:的=3,當n22時,4=Qan_]+1+一1,則關
于數(shù)列{冊}說法正確的是()
A.a2=8B.數(shù)列{冊}為遞增數(shù)列
2
C.數(shù)列{c7}為周期數(shù)列D.an=n+2n
8.設數(shù)列例},{勾}的前建項和分別為無,〃5=1島+i=—Sn,且b=色山,
nanan+2
則下列結論正確的是()
A.a2O2o=2020B.S4=的羅
11o
C.b=11—D.二WT-riV-
“nn(n+2)3n4
bn
9.已知正項數(shù)列{冊}滿足的e81),數(shù)列{0}滿足bn=lnan,且犯+i=e
%-2對任意的九€'*恒成立,則下列結論中正確的是()
A.bn<0
B.數(shù)列{b}從第二項起是單調遞增數(shù)列
12
C.-<0-2021<-
D.〈白
三、單空題(本大題共2小題,共10分)
10.已知數(shù)列{an}滿足:a2=6,產三濘=;,則數(shù)列5}的通項公式
是.
11.已知數(shù)列{冊}滿足的=1,a2=且Zan+iananT=an+1an+anan_j-
2an+lan-l(nN2),則數(shù)列{%}的通項公式為.
第2頁,共12頁
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式,累加法
的應用是求解通項的關鍵.
由。九+2=3。九+1—2a小倚。n+2—。九+1=2(即+1一冊),數(shù)列{冊+1—以
勾-%=2為首項,公比為2的等比數(shù)列,再用累加法求出國"的通項公式.
【解答】
解:由題意,遞推式a幾+2=3。九+i-2冊,兩邊同時減去a九+〉
a
可得見t+2—n+i=3an+i—2an—cin+1=2(an+1—an).
va2—Qi=2,
??.數(shù)列但幾+1-斯}是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,
an+l—Qn=2n.
**?Z2日寸,Q九一。九一i=2"1,…,。3—。2=22,a2a1=2,
以上”-1個式子累加得Cl"一的=2"-1+2n-2+...+4+2=2x(1-2n7)=2n-
n11-2
2,
=2n—1,
當九=1時,%=2】-1=1也滿足,
從而可得每=2"-1.
故選4.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查數(shù)列的遞推公式,考查利用累加法求通項公式及對數(shù)運算,屬于中檔題.
利用累加法結合對數(shù)的運算性質求解即可.
【解答】
解:由題意得4+1二冊+log3(l-a:]),
所以當九=1時,-ai1/3;;
當九=2時,a:i-a,=log,J;
0
當九=3時,"I〃:|1嗎?;…;?T>-a?-i=10g35~~~?(n22).
以上各式,兩端分別相加得-山=1嗝:+1砥:+1°&;----10KsM~T
40I—1
A352幾一3、,1,、a
=/f93(3x-x-x???x-----)=bgz---r(?22),
35iIn-132n—1
所以41+log,.,-1-(?>2).
ZTI—1
將葭=41代入得,aji=1+log3——--=1+logger=-3,
ZX41-1ol
故選c.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查由數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項,數(shù)列的函數(shù)特征的應用,屬于難題.
根據(jù)已知條件構造出*=含+1,可設匕=含,得出數(shù)列{4}是以-7為首
項,1為公差的等差數(shù)列,求出通項公式,利用數(shù)列的函數(shù)特征即可求解答案.
【解答】
解:由題意,可知:4n2-16n+15=(2n-3)(2n-5),
???(2n-5)a篦+1=(2n—3)an+(2n—3)(2n—5),
等式兩邊同時除以(2n-3)(2n一5),可得:
a?+i+1,
2n-32n-5
而+
可設以二則1="1+1,
2n-59271—3
人九+1=+1,即:b九+i—bn=19
第4頁,共12頁
???數(shù)列{b}是以-7為首項,1為公差的等差數(shù)列,
bn——7+(TI—1)X1=?1—8,716N*,
an=(,n-8)(2n-5)=2n2-21n+40,
可把出看成關于九的二次函數(shù),則根據(jù)二次函數(shù)的性質,可知:
當?1=5或n=6時,時可能取最小值,
2
???當九=5時,a5=2x5-21X5+40=-15,
當九=6時,=2X62—21義6+40=-14,
.?.當九=5時,0n取得最小值.
即的最小的一項是.
故選A.
4.(答案】A
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)值的求法,考查數(shù)列的遞推公式、函數(shù)的奇偶性和周期性等基礎知
識,解題的關鍵是要通過已知條件知道函數(shù)的周期,考查學生的運算求解能力,
考查化歸與轉化思想,是中檔題.
由;"(2-%)=fQ)及f(%)是奇函數(shù),可得函數(shù)周期為4,由數(shù)列{冊}滿足的=-1,
且%1+1=(1+;)eN*).可求出即=n-2,由此能求出/Xa22)=
"20)=f(0)=0.
【解答】
解:由f(2-知函數(shù)對稱軸為x=l,又f(x)是奇函數(shù),
f(2-%)=/(%)=-/(-x)=-f(2+x)=/(-2-x)
所以函數(shù)周期為4.
數(shù)列滿足=—1,且冊+1=(1+;)冊+:CN*).
則皿—血=
n+1n\nn+17
a
則31=也+%_也+9+…+n_a九一1
Jn12132nn-1
y,r/y1,11,,11、y,27l—271—2nr*、
=-1+2(1---1------1-…H-------)=-1H----=—(zn>2o,n6/V),
'223n-1nynn'7
ai=一1也滿足上式,
**,二九一2,
則。22=20,
/(a22)=f(20)=f(0)=0-
故選:A.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查累加法求數(shù)列的前幾項和.
22
首先根據(jù)遞推公式變形,然后利用累加法求和得到aj+a22+a3+…+an
anan+1,令ri=2019即可.
【解答】
解:根據(jù)遞推公式可得a+1=&+2-a。,
左右兩邊同時乘以冊+1,
an+l2=an+lan+2~anan+l?
貝"a/=CZn0^4-1—?n-l^-n'
2
^2=a2a3—。通2,
222
累加可得:a2+a3+…+an=anan+1-a1a2,
222
又因為的=a2,所以上式為a/+a2+a3+…+an=anan+1,
令九=2019,
第6頁,共12頁
222
則由2+a2+a3-]----pa2oi9=a2019a2020=2020.
故選8.
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查數(shù)列遞推關系求通項公式,及指數(shù)不等式的解法,等比數(shù)列的通項公式,
考查抽象構造能力及計算能力,屬于難題.
首先構造數(shù)列{log2(an+l)},并求出即,解不等式即可求出結果.
【解答】
解::=°兀+2=an+l=an2+2a=>di+1=(fl+I)2,
annn+n
2
兩邊取對數(shù)得:log2(?n+l+1)=logout,+I)=21og2(a?+1),
故{k>&(a“+l)}為等比數(shù)列,且首項為1嘀(卬+1)=2,公比為2,
2,tn
所以log2(an+1)=2"=冊+1=2=>an=22—1,
則有即=22n—1>42021=24042,
22">24042=2">4042,
當九=12時,212=4096>4042,當九=11時,21】=2048<4042,
由于nGN*,所以n>12,
所以使即>42021成立的最小正整數(shù)九為12.
故選C.
7.【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用遞推關系式推出何不!=?…+1+1,說明數(shù)列{匹釘}是首項為
值彳1=2,公差為1的等差數(shù)列,然后求解通項公式,即可判斷選項的正誤;
本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用,通項公式的求法,考查計算能力.
【解答】
解:cin=(Jan-i+1+I)2—1得a。+1=(J%1-1+1+I)2,
???Jc1n+1=[c1n—+1+1,即數(shù)歹「'冊+1}是首項為Ja1+1=2,公差為1的
等差數(shù)列,
2
???y/an+1=2+(n—l)xl=n+l?an=n+2n.
2
a2=4+4=8,由二次函數(shù)性質可得a”=n+2n為遞增數(shù)列;
所以4龍正確.
故選:ABD.
8.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本題考查數(shù)列的遞推關系,裂項相消法,屬于中檔題.
首先由Sn的遞推關系,求出品和治,從而判斷選項48是正確的,將與代入可求
得為的表達式,再利用裂項相消的辦法求出〃,最后利用7;-n的單調性判斷。選
項,最終得出本題答案.
【解答】
解:由題意得,乎=¥,
3nn
二當nN2時,S=-S
n?^n-1^n-2x
43.n(n+l)
n+1n.??一.一.I=,
n-1n-2212
且當71=1時也成立,
.c-n(n+D
,?n-2'
易得當九>2時,an=Sn-Sn_]=n,
且當"=1時也成立,
所以“=n(neN*),
a2ooo=2020,故48正確;
,5+1)2—1
:.b力=-------=1H---------
n(n+2)n(n+2)
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=i+Hb
11111111
T=n+—(1——+———+———+--------)
nn2、32435nn+2J
1111
=n+-(l+-----)
二一Hi--3---(----1---)<nH.—3,
42vn+ln+2,4
又〃一九隨著九的增加而增加,
1
Tn-n>T1—1=-9
|<Tn-n<^,C錯誤,〃正確.
故選ABD.
9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題考查數(shù)列的遞推關系,數(shù)列的函數(shù)特征,屬于難題.
由已知得an+i=*,構造函數(shù)g(%)=?,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,從
而確定g(x)的取值范圍,得到0nG&上T)UG,—("2),同時結合數(shù)列特
征,由此對四個選項逐一分析判斷即可.
【解答】
bn
解:因為bn=lnan,且“+i=e—bn—2,
所以lncin+i=冊-Ina”-2,即即+i=----,
an
令9(%)=一,則g'(x)=e",『)'
所以g(x)在(0,1)單調遞減,在[L+8)單調遞增,
當xeG,1)時,。(幻eG,磊),
所以由的e&1)可得a?e白篇)
因為g(3=《T.,
所以由02e6,磊)u&1)可得€&e”G5,故〃正確;
由。3e(/-1)U01)可得4eG.eL)u&a
依次類推可得與wG,eh)u(;,^)(n>2),
故(、V3加1<??<?,,故。正確;
由Me色套)ugi)可得匕=1皿e(-1,0),故6n<0,故力正確;
由題意可得,9(%)在(0,1)內單調遞減,且9(%)=?與、=%在(0,1)內有且只有
一個交點,
由gG)<r
數(shù)列{%J逐漸趨近與g(x)=一與丫=%的交點的橫坐標,由圖象可知,數(shù)歹叫每}
從第二項起是非單調的,
又數(shù)列{g}滿足%=lnan,即數(shù)列{g}從第二項起也是非單調的。
故8錯誤;
故選ACD.
10.【答案】&I=71(271—1)
【解析】
【分析】
第10頁,共12頁
本題考查了數(shù)列的通項公式、數(shù)列的遞推關系和裂項相消法,屬于中檔題.
先得出(71—1)0n+1—(71+=—(九+1),則急希一嬴匿=一(£一》,由
累加法和裂項相消可得數(shù)列{即}的通項公式.
【解答】
解:易得?+1:"+;=n,得(n-l)a*+i-(九+1)(1n=-(幾+1),
an+lan+1
當九22時,安一弋=一_三,
n+1n-1n-1
所以旦±2----血_=----1_=_(」__與
^nfn+l)n(n-l)n(n-l)^n-lnJ
,a._________a?Li__z______1)
n(n-l)(n-2)(n-l)^n-2n-r9
2一&=-(1一工),
3X2212,
累加法得就*=;T,
又g=6,得ri之2時,Q幾+i=(幾+l)(2n+1),
所以n>2時',an=n(2n—1),
由%=6,可得的=1,也滿足上式,
所以冊=n(2n—1),(
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