2020學(xué)年高考遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題試卷 含解析

實用文檔2020學(xué)年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試卷試題一、選擇題1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2}2．已知命題p：?x∈R，x2+2x+3＞0，那么￢p是（）A．?x0∈R，x02+2x0+3＞0 B．?x∈R，x2+2x+3≤0 C．?x0∈R，x02+2x0+3≤0 D．?x∈R，x2+2x+3≠03．“x＞3”是“x＞2”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)f（x）＝的定義域為（）A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）5．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是（）A． B． C． D．6．如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．c﹣a＞c﹣b B． C． D．lna＞lnb7．某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，則n等于（）A．660 B．720 C．780 D．8008．已知sinα＝﹣，α是第三象限的角，則tan2α的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)x的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．設(shè)M是△ABC邊BC的中點，若，則λ+μ的值為（）A． B． C．1 D．211．如果棱長為2的正方體的八個頂點都在同一個球面上，那么這個球的表面積是（）A． B．3π C． D．12π12．如圖給出了紅豆生長時間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點圖，用下列哪個函數(shù)模型擬合紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系最好（）A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2t C．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝t2二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13．計算：＝．14．已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），則?＝．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則sinβ＝．16．設(shè)x，y為正數(shù)，則（x+y）（+）的最小值是．三、解答題：本大題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知向量＝（x，2），＝（2，4）．（Ⅰ）若∥，求實數(shù)x的值；（Ⅱ）若||＝6，求實數(shù)x的值．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞b＞c，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求c．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，E為PB的中點．（Ⅰ）求證：EO∥平面PDC；（Ⅱ）求證：AC⊥DE．20．某學(xué)校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學(xué)所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果上學(xué)所需時間在[60，100]的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，請估計該校800名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿．21．如右圖所示，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為S（3，2），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證賽道運動會的安全，限定∠MNP＝120°．（1）求A，w的值和M，P兩點間的距離；（2）如何設(shè)計，才能使這線段賽道MNP最長？

參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2}【分析】可以求出集合B，然后進行交集的運算即可．解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故選：B．2．已知命題p：?x∈R，x2+2x+3＞0，那么￢p是（）A．?x0∈R，x02+2x0+3＞0 B．?x∈R，x2+2x+3≤0 C．?x0∈R，x02+2x0+3≤0 D．?x∈R，x2+2x+3≠0【分析】利用命題的否定命題直接求解．解：∵命題p：?x∈R，x2+2x+3＞0，∴￢p：?x0∈R，x02+2x0+3≤0．故選：C．3．“x＞3”是“x＞2”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分必要條件的對于進行判斷即可．解：設(shè)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞2}，∴A?B，∴x＞3是x＞2的充分不必要條件，故選：B．4．函數(shù)f（x）＝的定義域為（）A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【分析】由題意（x+3）（1﹣x）≥0，解出即可得到定義域．解：依題意，（x+3）（1﹣x）≥0，解得﹣3≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[﹣3，1]．故選：C．5．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用排列的意義，先求出甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排的排法及其甲站在中間的排法，再利用古典概型的計算公式即可得出．解：甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，共有＝6種排法，其中甲站在中間的排法有以下兩種：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中間的概率P＝．另解：甲在三個位置是等可能的，所以甲站在中間的概率P＝．故選：C．6．如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．c﹣a＞c﹣b B． C． D．lna＞lnb【分析】觀察選項，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接得出答案．解：設(shè)f（x）＝lnx（x＞0），易知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又a＞b＞0，故f（a）＞f（b），即lna＞lnb，故選：D．7．某校數(shù)學(xué)教研組為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，則n等于（）A．660 B．720 C．780 D．800【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．解：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人進行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為13人，∴，解得n＝720，故選：B．8．已知sinα＝﹣，α是第三象限的角，則tan2α的值為（）A． B． C． D．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．解：∵sinα＝﹣，α是第三象限的角，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝2，則tan2α＝＝﹣，故選：A．9．函數(shù)x的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用f（1）與f（0）函數(shù)值的大小，通過零點判定定理判斷即可．解：函數(shù)x是減函數(shù)，f（1）＝＞0，f（3）＝﹣1＜0，可得f（1）f（3）＜0．由零點判定定理可知：函數(shù)x的零點所在的一個區(qū)間（1，3）．函數(shù)只有一個零點．故選：B．10．設(shè)M是△ABC邊BC的中點，若，則λ+μ的值為（）A． B． C．1 D．2【分析】根據(jù)M為向線段BC中點，以及向量線性關(guān)系可得＝+，即可求得結(jié)果．解：如圖，則＝＝+＝+（）＝+，所以λ+μ＝＝1，故選：C．11．如果棱長為2的正方體的八個頂點都在同一個球面上，那么這個球的表面積是（）A． B．3π C． D．12π【分析】由棱長為2cm的正方體的八個頂點都在同一個球面上，知球半徑R＝cm，由此能求出球的表面積．解：∵棱長為2cm的正方體的八個頂點都在同一個球面上，∴球半徑R＝＝（cm），∴球的表面積S＝4π（）2＝12π（cm2）．故選：D．12．如圖給出了紅豆生長時間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點圖，用下列哪個函數(shù)模型擬合紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系最好（）A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2t C．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝t2【分析】根據(jù)散點圖，可知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長比較快，結(jié)合圖象過（1，2）點，即可得到結(jié)果．解：由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長的比較快，且圖象過（1，2）點，∴圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好，故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13．計算：＝1．【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)和運算法則求解．解：＝lg5﹣lg2+2lg2＝lg5+lg2＝1，故答案為：1．14．已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），則?＝2．【分析】進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可．解：∵，∴．故答案為：2．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則sinβ＝．【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinβ的值．解：平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱，若，則sinβ＝﹣sinα＝﹣，故答案為：﹣．16．設(shè)x，y為正數(shù)，則（x+y）（+）的最小值是9．【分析】先將計算得出5+，后兩項利用基本不等式求和的最小值，得出原式的最小值．解：∵x，y為正數(shù)，∴＝5+≥5+2＝5+2×2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)時．取到最小值9．故答案為：9．三、解答題：本大題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知向量＝（x，2），＝（2，4）．（Ⅰ）若∥，求實數(shù)x的值；（Ⅱ）若||＝6，求實數(shù)x的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得若∥，則有4x＝4，解可得x的值，即可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，求出向量+的坐標(biāo)，進而由向量模的計算公式可得||＝＝6，解可得x的值，即可得答案．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，向量＝（x，2），＝（2，4）．若∥，則有4x＝4，解可得：x＝1；（Ⅱ）根據(jù)題意，向量＝（x，2），＝（2，4）．則（+）＝（x+2，6），則||＝＝6，解得x＝﹣2．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞b＞c，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求c．【分析】（I）由已結(jié)合正弦定理可求sinB，進而可求B，（Ⅱ）結(jié)合余弦定理即可求解．解：（Ⅰ）因為c﹣2bsinC＝0，所以sinC﹣2sinBsinC＝0．因為0＜C＜π，所以sinC≠0，所以sinB＝．因為0＜B＜π，且a＞b＞c，所以B＝，（Ⅱ）因為b＝，a＝2，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得（）2＝c2+4﹣2c×2×，即c2﹣2c+1＝0．所以c＝1．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，E為PB的中點．（Ⅰ）求證：EO∥平面PDC；（Ⅱ）求證：AC⊥DE．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出EO∥PD，由此能證明EO∥平面PDC．（Ⅱ）推導(dǎo)出AC⊥BD，PD⊥AC，從而AC⊥平面PDB，由此能證明AC⊥DE．【解答】證明：（Ⅰ）∵E，O點分別是PB，DB中點，∴EO∥PD，∵PD?平面PDC，EO?平面PDC，∴EO∥平面PDC．（Ⅱ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PD底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∵DE?平面PDB，∴AC⊥DE．20．某學(xué)校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學(xué)所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果上學(xué)所需時間在[60，100]的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，請估計該校800名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿．【分析】（I）由題意，可由直方圖中各個小矩形的面積和為1求出x值．（II）再求出小矩形的面積即上學(xué)所需時間不少于1小時組人數(shù)在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數(shù)即可．解：（Ⅰ）由直方圖可得到20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1．所以x＝0.0125．（Ⅱ）由直方圖可知，新生上學(xué)所需時間在[60，100]的頻率為0.003×2×20＝0.12．所以估計全校新生上學(xué)所需時間在[60，100]的概率為0.12．因為800×0.12＝96．所以800名新生中估計有96名學(xué)生可以申請住宿．21．如右圖所示，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為S（3，2），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證賽道運動會的安全，限定∠MNP＝120°．（1）求A，w的值和M，P兩點間的距離；（2）如何設(shè)計，才能使這線段賽道MNP最長？【分析】（1）由最高點S的坐標(biāo)，周期公式，兩點間距離公式，可求A，w的值和M，P兩點間的距離；（2）在△