2022屆舊高考數(shù)學(xué)（理）開學(xué)摸底測(cè)試卷10

2022屆舊高考數(shù)學(xué)(理)開學(xué)摸底測(cè)試卷10x+y>2

4.若x,y滿足約束條件k<l，則z=y—x的取值范圍是

注意：本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。

y<2

第I卷

A。[-1,0]B。[-1,2]C?[0,1]D.[0,2]

一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，區(qū)有一項(xiàng)

5.已知等差數(shù)列{a,,}的前"項(xiàng)和為S?,且S9=18,%=1,

是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上)。，則aA=

lo已知集合4={.丫￡1^|工一1|<2},B={XGR|X2+2X-3>0),則Af15二

A.4Bo2Co---Do—1

2

A.[―3,—1)Bo[1,3)C.(―1,1]Do(—oo,-3]U[3,+oo)

6.已知拋物線C:y?=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,尸是/上一點(diǎn)，。是直線PF與拋物線C的

2一個(gè)交點(diǎn).若麗=4而，則|Q廠|二

2。復(fù)數(shù)z=,~:，則|z|=

75

Ao-Bo3Co一D.2

A.lBo2CoV2D.2\/222

7。函數(shù)/*)=2d-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是

3.天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世

D018「g)u(；,+8

紀(jì)A。B.I],+oo)C.(O.])

首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮;星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到

7T

80若函數(shù)/(x)=sin(s--)(口>0)在區(qū)間(0,1)上有最大值，則。的取值范圍為

了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森(M.RPogsa?)又提

出

了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星

9。關(guān)于直線"7,九與平面名分，有以下四個(gè)命題:

等與亮度滿足小一色=2.5(炫馬-愴月).其中星等為町的星的亮度為耳[=1,2).已知

①若〃0旦aH°，則mil"；②若機(jī)_La,〃_L夕且a_1_夕，則"zJ_〃；

“心宿二''的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的「倍，則與

③若機(jī)_La,〃〃〃且a〃/，則機(jī)_L〃；④若_L￡且二,貝打〃〃〃；

廠最接近的是(當(dāng)國較小時(shí)，10F1+2.3工+2.7寸)

其中真命題的序號(hào)是

A.1.22Bo1.24C.1.26D.1.28A.①②B。③④Co①④Do(2X3)

lOo若Ovxvyvl,則

16.設(shè)點(diǎn)P在曲線>=優(yōu)3>6)上，點(diǎn)。在曲線y=10g〃R上，若|PQImin<-，則。的

e

Ao2r<3V<1B。(1r<(!r<i

取值范圍是.

三、解答題(本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

Colog3<log4<0Dolog4<log3<0

tvv117.(本小題滿分12分)

H.如圖所示，正方體ABCD-AB￡。中，點(diǎn)瓦F分別在ADAC上，巳________G

AABC的內(nèi)角.B,C的對(duì)邊分別為a,b,c>設(shè)(a+Z?)(sinA—sinB)=(c—乖>b)sinC。

21

且=AFAC則石/與GA所成角的余弦值為A,

=-,(1)求A；

(2)若〃=2,且sin氏sinAsinC成等差數(shù)列，求AABC的面積.

18。(本小題滿分12分)

12.已知雙曲線Ciq-4uig〉。,。〉。)的左右焦點(diǎn)分別為耳，居，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為

a-b~某市為進(jìn)一步改善市內(nèi)交通狀況，準(zhǔn)備修建一條新的地鐵線路，為了調(diào)查市民對(duì)沿線地鐵站

配置方案的滿意度，現(xiàn)對(duì)居民按年齡(單位：歲)進(jìn)行問卷調(diào)查，從某小區(qū)年齡在口5,65]內(nèi)

雙曲線右支上一點(diǎn)，若忻用=2|OM|,NMF再瑞,則雙曲線C的離心率的取值范圍為

的居民中隨機(jī)抽取1()0人,將獲得的數(shù)據(jù)按照年齡區(qū)間[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),

A.(1,6+1]B。[V3,V3+1]C。[6+1,3揚(yáng)D。[V3+l,+oo)

[55,65]分成5組，同時(shí)對(duì)這100人的意見情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到頻率分布表.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在這10()

第II卷

人中，共有65人贊同目前的地鐵站配置方案.

本卷包括必考題和選考破兩部分，第13題―21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第

分組持贊同意見的人數(shù)占本組的比例

22題23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。

115,25)150.6

二、填空題(本大題包括4小題,每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上)。

13.若向量。與6的夾角為60為M|=4,(a+3)(a-?)=-72,則同=。[25,35)ab

7T1

14。若cos(x+—)=-,則sin2x=。[35,45)80.8

43—

[45,55)

15.已知數(shù)列｛%｝滿足log3以〃+1=log3an+x(77GN*),且％+%+應(yīng)=9，則200.8

log3(a5+%+%)=。[55,65]120.6

（1）求4和。的值；2L（本小題滿分12分）

（2）在這100人中，按分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間[25,35）,[35,45）內(nèi)的居民（包括持反對(duì)

已知函數(shù)/（%）=--x+?lnx.

x

意見者）中隨機(jī)抽取6人進(jìn)一步征詢意見，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加市里的座談，

記抽取參加座談的3人中年齡在[25,35）的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）若々＜2,證明：當(dāng)X￡[l,+oo）時(shí),/（x）W。；

（2）若/（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)X（內(nèi)＜/）且aNg，求/（』）一/'（公）的最大值.

19.（本小題滿分12分）

請(qǐng)?jiān)?2、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。

如圖，四棱錐P—A5CD的底面A8CO是等腰梯形，AB//CD,BC=CD=\,22o（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講。

AB=2.是等邊三角形，平面BBC_L平面ABC。，點(diǎn)用在棱PC上.在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線c的參數(shù)方程為卜=：右々$"（9為參數(shù)），直線/的參數(shù)方

（1）當(dāng)M為棱PC中點(diǎn)時(shí)，求證:AP_L8W；[y=2sinG

3

（2）是否存在點(diǎn)M使得二面角的余弦值為一,程為上百+,cosa,?為參數(shù)）.

4

[y=1+/sma

若存在，求CM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（石,1）,求/的傾斜角.

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C:[+==1（。＞8＞0）的離心率為如，23.（本小題滿分10分）選修4—5:不等式選講。

短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

4-b~3設(shè)函數(shù)/（幻=4一|2x+a|一|2.K-l|.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求不等式,f@）Nx的解集；

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）若〃幻￡2,求”的取值范圍.

（2）直線/與橢圓C交于48不同兩點(diǎn)，線段45中點(diǎn)在圓V+y2=i上求.OB面積

的最大值.

r'C41

p(X=l)=rir2,=—=1,?(x=2)=

2022屆舊高考數(shù)學(xué)(理)開學(xué)摸底測(cè)試卷10C：205

答案

1—12BCCDABCADDCA則X的分布列為

X3

712

13o614.-I5o516o[e'+oo)

913J1

P

555

17o解：(1)由題意,(a+/?)(sinA—sinA)=(c-J^〃)sinC,

(a+b)(a—b)=a2-b2=c2-y/3bc,即b1+c2—a2=yf3hc?

.??X的數(shù)學(xué)期望是E（X）J+半+?=詈2

cosA=-+c.在MBC中，Ae(0,^),.\A=—

2bc2bc2619.證明：（1）連結(jié)AC,由題意，底面A8CD是等腰梯形且A8=2,3C=CD=1,則

(2)-：a=2,且$汕氏$汕4,$汕(7成等差數(shù)列，由正弦定理得〃+c=2a=4,

ZABC=-，由余弦定理知AC=6,...AC2+BC2=AB2，.二ZACB=-,/.AC±BC.

32

4Zr+c~-aS+cf-Ibc-a116-2hc-4_V3

又由(1)知4=一,/.cosA=---------

62bc2bc2bc--V???平面PBC_L平面ABC。,平面尸8C0平面ABCD=BC,.\AC±平面PBC,

???8A/u平面P8C,.,.ACJ_8Vf,M為棱PC中點(diǎn)，且APBC是等邊三角形,JLPC,

bc=12(2-5，A4BC的面積SMHC="s；A=l2_^)

x=3(又???PCnAC=C，平面APC,.?.APJ.BM。

3

18.解：⑴由題意，8+15+20+12+a=65，.?"=10。（2）假設(shè)存在點(diǎn)〃使得二面角。一MB-C的余弦值為，。

4

8152012a,,_“1。

——十——+——+——+—=65,H即r10+25+25+20+—=100,.'./?=0.5由題意過點(diǎn)P作PO上BC交BC于點(diǎn)O,Q平面PBC_L平面ABCD、

0.80.60.80.6hb

.?.。。_1_平面46。。，取A5中點(diǎn)E,連結(jié)OE,則OE7/C4,由（1）知OE_L平面P8C,

（2）年齡在區(qū)間［25,35）的居民共有2（）人，年齡在區(qū)間［35,45）的居民共有1（）人，按分層抽樣

所以以。為原點(diǎn)，以。C,OE,OP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

抽取6人，則共有4人年齡在［25,35）內(nèi)。則X的可能取值為1,2,3

y

ULIUiaj。優(yōu)，％)，

設(shè)CM=tCP（0<r<l）,則用（f）。

y=kx+m/o\oo

由2323，得（3A~+l）x~+6A77優(yōu)+3〃/一3=0,

uuiin__]J3J3uin3J3

DM=（—r—03=（-二，-20）

22222

6km3m2-3

設(shè)平面0MB的一個(gè)法向量為i=(x,y,z),則則％+當(dāng)

2

1.掰=一火工一旦+￡z=0A=36代療_12（病一1）（3公+1）=12（3-+l-m）>0

22'2

3km3k2mm

所以為=一定17，yo=kx?+m=~—；---Fm=—I—

rnum3Ji1-t-2rr-t-22

a-DB=——x----y=0,令x=6，貝Uy=-3,z=----a=（v3,-3,------）3代+13k+\

22ft

3kmm代入V+y2=i,得病=（3^+1）,

I將一

易知平面MBC的一個(gè)法向量為b=(0,1,0)，則38+1'3k2+19/+1

,rr..ab33=3,則仁卻二4,曰二此時(shí)A=l2.+>*=叫"-霽苧二筆/11〉。

Icos<a,b>|=-F

\a\\b\^3+9+（—）24tt

又因?yàn)閨AB|=\J\+k2-J。]-4X]Xj=J1+為?]\j3k'+\-m

2uuir2uur2

即f=；CM=|CM|=j|CP|=|

加I

12原點(diǎn)到直線/的距離d=-F=

20。解：（1）由題意知e=￡=逅，得。2=2/,b=-cr=\,：,a=3J1+公

a333

所以懸xE7.羔，"、「蘇

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+y2=l.

3

3尸+1

V3

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，=舞.+1-帚=何+1

3k申

令*=±1,得)，=土當(dāng)，S,MOR=；X1X^=手,

_彌3如+1）?迷|A|

9公+1

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為y=匕?+〃必工0),4(5/),4(%,)，2)，弦中點(diǎn)

公(3公+1)]________所以g(x)在(0,"。)為單調(diào)遞減函數(shù)

=3隹=3&

(3公+if+12公(3公+1)+36Z33/+1~~~

而g⑴=0,所以當(dāng)xc[l,+oo)時(shí)，有g(shù)tx)<0,即當(dāng)x?l,+oo)時(shí)，/(上)工。成立.

<35/2____=3g4=B(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+00)J'(x)——7一1———*---二—。

36公°V242rX廠

3&3

所以當(dāng)時(shí)，/一6+仁0有兩個(gè)正根即/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn).

犁二，即以2=3/+1時(shí)，即憶=土立時(shí)取等號(hào)。

當(dāng)且僅當(dāng)

3k2+13

由于/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)x?2滿足方程/一"+1=0

綜上,MOB面積的最大值為由o

2所以百工2=1，X[+M=4,則有耳+,=〃之2，由x<匯2，解得0〈玉工！

x,22

=lx

法一：54408m1

f(內(nèi))-f(x2)=--%)+1?InX]--+x2-Inx2

西電,■

2

/o.?>i~.>/33k~+1-tn+nv石

3標(biāo)+123k?+12

-~—+x9-%.4-6Hn—=2(羽-x.)+(x,+x.)In—

xAx2-x2x2

a

當(dāng)且僅當(dāng)3公+1=2病時(shí),即女2=1時(shí)，即％=±±時(shí)取等號(hào).

3=2(---Xj)+2(—FXj)InXj

綜上,/SAOB面積的最大值為B。

2令/z(x)=2(——x)+2(—+x)lnx,0<x<—.

xx2

21.解：(1)當(dāng)xe[l,+=o)時(shí)，lnx>0,故當(dāng)a42時(shí)，/(x)<--x+2lnx,

X那么〃'(jOMZjl-D+Za-Zvnx+ZCr+LjJQvxvL

廠jrxx2

所以只需證g(x)=——工+21nx40即可。

x