2022屆四川省高三診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題

四川省2019級高中畢業(yè)班診斷性檢測

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

2

1.已知集合A<2*<16bB={X|X+5%>0).則AcB().

A.(—5,4)B.(0,4)C.(-3,0)D.(-5,0)

2.復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.青少年視力是社會普遍關(guān)心的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用小數(shù)記錄法和五分記錄法記錄

視力數(shù)據(jù).小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)《和五分記錄法的數(shù)據(jù)下滿足E=10"T,已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法記

錄的數(shù)據(jù)為0.9,則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為（).(1g3=0.4771)

A.4.6B.4.7C.4.8D.4.9

+1-X

4.函數(shù)y的大致圖象是

2Xr+2~Xv

A.

c.

x-y+2>0

5.設(shè)X,y滿足,x+y<0,則z=%-2y的最小值是(

y2—1

1_

A.B.1C.2D.3

2

6.已知非零向量心6滿足G同=2忖，且5_L伍―5）,則方與B的夾角為（）.

TI715兀

A.B.一7D.—

646

7.已知S“是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和，若％"=81，邑=13,則&=（）.

A.21B.81C.243D.729

8.已知雙曲線C:土一匕=1的離心率為2,則雙曲線C與雙曲線E:二一土=1有（）.

4m124

A.相等的離心率B.相同的焦點

C.相等的焦距D.不同的漸近線

9.有下列三個命題：

①已知一組數(shù)據(jù)X],x2,網(wǎng)…X10的方差為3,則X1+2,x2+2,X3+2…+2的方差也為3；

②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,八其線性回歸方程為$=0.3x-m,若樣本點的中心點坐標(biāo)為（m,2.8）,

則定數(shù)0的值為4；

③已知隨機變量￥服從二項分布X?B（10,p）,若E（2x—1）=9,則p=g.

其中真命題的是（）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.設(shè)S“為等差數(shù)列｛《,｝的前萬項和，若3%=7%，且q〉0.則使S“<0的〃的最小值為（）.

A.30B.31C.32D.33

11.已知函數(shù)/（x）=Asin?x+e）（A>O,0>O,O<°<7i）,其部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于/（%）的

結(jié)論謂送的是（）.

A./（x）在區(qū)間q，堂上單調(diào)遞增

57r

B.“X）的圖象關(guān)于直線8=對稱

C.“X）的圖象關(guān)于點[一夕0）對稱

“X）的圖象可由函數(shù)y=2sin[x+1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到

D.圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變,

2

12.設(shè)函數(shù)“X)的定義城為R,且"X—l)=/(x)—1,當(dāng)1,0)時，/(%)=-%(%+1)+1,若存

在xe伏,+8）時，使=則〃的最大值為（）.

45

A.1B.2C.—D.—

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線時=x（2-X）+1在點（0,1）出處的切線方程為.

14.[1+5）（1+X）6展開式中小的系數(shù)為.

15.某幾何體三視圖如圖所示，則在該幾何體內(nèi)的球的最大體積為

16.已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩定點尸（0,1）,動點。滿足以園為直徑的圓與x軸相切.直線

回與動點。的軌跡￡交于另一點尸，當(dāng)NPMQ=90°時，直線閭的斜率為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）

已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角4B,。的對邊，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個

成立.

J2---------

?b———c=acosC；@SAABC=2；@BA-CA=4.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

18.（12分）

某汽車品牌4S店為了解車主對其售后服務(wù)的滿意度做了一次隨機調(diào)查，按40歲以下和40歲以上（含40

3

歲）兩個年齡段各抽取了0個車主，調(diào)查顯示40歲以下車主滿意的占其車主數(shù)的一，40歲以上車主滿意

4,

的占其車主數(shù)的且經(jīng)以下2x2列聯(lián)表計算可得K2的觀測值k?4.762.

5

40歲以下車主數(shù)40歲以上車主數(shù)合計

滿意

不滿意

合計

（1）根據(jù)已知條件，求加的值，完成上述表格并判斷是否有95%的把握認為車主對該4s店的售后服務(wù)評

價與車主年齡有關(guān)？

（2）為了進一步征集車主對4s店售后服務(wù)的意見，4s店又采用分層抽樣的方法從上述表示不滿意的車主

中抽取了6名，再從這6名中抽取3人進行面對面交流，求事件“至多抽到兩名40歲以下車主”的概率.

附表

P(K?>總0.100.050.0250.0100.001

%02.7063.8415.0246.63510.828

附：片=_______駟二妁2_____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)

如圖，在三棱柱ABC—44cl中，AC=AB=AAl,ZAtAC=60°,NB4C=90°,平面平

（1）求證：BCX±CA1；

（2）求二面角A—C41-8的余弦值.

20.（12分）

已知函數(shù)/（X）=\^+COSX.求證：

（1）2xf'（^x）＞l-2x2；

（2）當(dāng)xe（O,兀）時，“力有且僅有2個零點.

21.（12分）

已知橢圓七：三+方=1（4＞匕＞0）的離心率e=g,且過點

（1）求橢圓￡的方程；

（2）設(shè)C點關(guān)于y軸的對稱點為〃，點"在直線切上，過點"的直線/與后交于/、6兩點，線段的

中點為此若|AB|=2|CN|,求點〃的坐標(biāo).

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

x=l+——t

2

在平面直角坐標(biāo)系X。中,曲線G的參數(shù)方程為＜（力為參數(shù)），以。為極點，*軸的非負半

V2

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=2（cos0+sin6）.

（1）求G和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)G與G交于0兩點，求10H-|09的值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數(shù)/（%）=,一4+X+—.

（1）若a=l,求不等式/（x）W4的解集；

（2）若存在/,使得/（毛）42成立，求a的取值范圍.

四川省2019級高中畢業(yè)班診斷性檢測

理科數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.B2.A3.D4.A5.D6.A7.C8.C9.B10.B

11.D12.D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

八1

13.x—y+1—014.3015.----16.—

32

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.解：由①②=>③

由=acosC可得sinB一^-sinC=sinAcosC

22

即cosAsinC=，^sinC,

即sin（A+C）——sinC=sinAcosC,

22

即cosA=V_,而0<4<兀，所以A=工，

24

由5AAM=csinA=2,可得力c=4&,

所以84?CX=becosA=4.

由①③n②

血正

由b------c=acosC可得sinB------sinC=sinAcosC,

22

即sin（A+C）———sinC=sinAcosC即cosAsinC=----sinC,

2

即cosA=——，而0cAvn,所以A=巴，

24

由麗立淡=4可得〃ccosA=4,則歷=4及，

所以S38c=g歷sinA=2.

由②③二①

由84,。4=4可得歷854=4,

由S-2可得*i"=2,即歷sinA=4,所以tanA"

又cosA>（）,0<A<7i,所以A=&,即cosA=——,

42

所以sin8=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinC,

所以Z?=acosCH----c，BPb-----c-4cosc.

22

"3282丫

2m\—m----m

18.解：（1）由題設(shè)K?=—71253_25_=4762,得利=50.

—mx—mxmxm

55

完成2X2列聯(lián)表如下:

40歲以下車主數(shù)40歲以上車主數(shù)合計

滿意304070

不滿意201030

合計5050100

而4.762>3.841,所以有95%的把握認為車主對該4S店的售后服務(wù)評價與車主年齡有關(guān).

（2）由（1）知，表示不滿意的車主40歲以下有20人，40歲以上有10人.

按分層抽樣抽取6人，應(yīng)從40歲以下的20人中抽取20x』=4人.

5

從40歲以上的10人中抽取10x」=2人.

5

設(shè)/表示事件“至少抽到兩名40歲以下車主”，則p（A）=c「02[qc.=±

19.解：（1）連AG與AC交于點〃

由已知平面44。。，平面48G平面A&GCc平面ABC=AC,BALAC,

又BAu平面二84_1平面AAGC.

而C4,u平面A4CC，/.BALCA,.

又由已知四邊形A4CC為菱形，

CA±AC,，則C4,1平面ABC}.

又BGu平面ABC一故5a

(2)方法一：如圖連接〃8,

由(1)知4。J?.平面ABC1，

AA.C1AD,AtClBD,且ADu平面AC4「BOu平面BC4,

...NAT歸是二面角A-CA-8的平面角，

不妨設(shè)AC=AB=2,在△458中易得4。=6，BD=5,

...由余弦定理得

國

故二面角A-CA.-B的余弦值為".

方法二：過4作APJ?平面48G

?.?平面A41GC，平面464有APu平面MGC,且AP_LAB,APA.AC,

又ABLAC,以46、AC.42分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AC=AB=2,.?.8(2,0,0),C(0,2,0),A(0,l同,

則團=(-2,2,0),嗣

設(shè)平面BCAt的一個法向量為4=(x,y,z),

.,.n.lBC,%_LM,

X=1

一2冗+2y=01茁〕

則4得《y=1，HjlJ

-2x+y+3z=0

百

Z-——

3

又AB_L平面A4。，平面AAC的一個法向量為為=赤=(2,0,0),

n,-n2V21

cos(%,質(zhì))=2

國同舟27

故二面角A-CA,-8的余弦值為號.

20.解：(1)由/(%)=+cosx^fly1(x)=-sinx,

欲證2才(x)＞l-2f,即證/'(x)＞」一一尤,即證sinx＜x,

i己g(x)=x-sinx,則g'(x)=l-cosx,

當(dāng)X￡(0,+oc)時，g'(x)之0,g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)xw(0,+oo)時，g(x)>g(O)=(),即x>sinx,所以，2礦(%)>1—2Y.

(2)記Q(X)=/'(X),則”(力=-Jy-COSX,

兀

當(dāng)xe(og)時，°'(x)<0,/'(x)在(0,上單調(diào)遞減,

711317171

-1＜。，*---->0,則皿￡，使得/'(a)=o,

717126,2

故x?0,a)時,尸(句＞0,〃力在(0,a)上單調(diào)遞增;

、

xe(ag)時，/"(x)<0,/(x)在a,凡上單調(diào)遞減.

27

(兀)1［兀八￡兀

—=-ln—>0,f=—In—+—>0,-2+cos/4<0,

u；22J262')

故叫《二詞》

使得/(玉)=0.

1

當(dāng)彳€任,兀）時，*"（x）=—+sin^>0,“（X）在泉71上單調(diào)遞增,

x

而e'[9＜o(jì)，"（兀）＞0,故〃若，兀

,使得夕'（1）=0,

即以力在《，力上遞減，在（尸,兀）上遞增,

0（兀）＞0,夕（4）＜0,

故力e（尸,兀），使得夕（7）=0,即/（X）在全/上遞減，在仇兀）上遞增,

而/國＞0,/（/）＜/（兀）＜0,故加G

使得/（尤2）=0,

所以，當(dāng)xw（o,7i）時，/（x）有且僅有2個零點.

21.解：（1）由已知e=Jl—匕=』，得（=3

Va22a24

13

又Th'②

2,2

—X+工

由①②解得=4,〃=3,故橢圓￡的方程為:=1.

43

（2）由題設(shè)及|A8|=2|OV|得AC_L8C.

設(shè)過點”的直線/的方程為y="+m（斜率存在）,

22

將其帶入亍+1_=1并整理得（3+4公產(chǎn)+8加n4加2一]2=o,

當(dāng)△=（8機）2-4（3+4左2乂4＞―12）＞0時，設(shè)A（4,y）,B（x,,y2）,

"+"一籃*'X也=：：酒,繼而可得y+%=%（玉+%）+2利=5^

+根）（如+加）=氏九）+2=

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又5=（七一l,y-|3

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^x}x2-[x]+x2）+yiy2--{y}+y2）+—=---------直而----------+了=0

o

整理得女2+7m2+8k〃-9/〃一二=0,(*)

4

設(shè)A/1,-?/