2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 立體幾何解答題建系設(shè)點(diǎn)問題

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精品復(fù)習(xí)

立體幾何解答題的建系設(shè)點(diǎn)問題

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

（一）建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸

1、Z軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即Z軸要與坐標(biāo)平面

X。），垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原

點(diǎn)即為Z軸與底面的交點(diǎn)

2、軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：

（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上

（2）找角：釉要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件

（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對稱特點(diǎn)

3、常用的空間直角坐標(biāo)系滿足x,y,z軸成右手系，所以在標(biāo)軸

時(shí)要注意。

4、同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對應(yīng)不同。但

是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。

5、解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為

兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直+底面兩條線垂直），這個(gè)過程不能省略。

6、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：

（1）線面垂直：

①如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與

該平面垂直

②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)

平面垂直

③兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直

④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直；

⑤有一條側(cè)棱垂直于底面的椎體。

⑥正三棱柱、正四棱柱：頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。

⑦側(cè)面與底面所成角均相等或側(cè)棱長均相等可得頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心。

（2）線線垂直（相交垂直）：

①正方形，矩形，直角梯形

②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）

③菱形的對角線相互垂直

④勾股定理逆定理：若AB?+AC?=BO?,則A8_LAC

（二）坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為3類

1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)

（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體（長度為1）中的AC。'點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：

x軸：（x,O,O）y軸：（O,j,O）z軸：（0,0,z）

規(guī)律：在哪個(gè)軸上，那個(gè)位置就有坐標(biāo)，其余均為0

(2)底面上的點(diǎn)：坐標(biāo)均為(x,y,O),即豎坐標(biāo)z=0,由于底面在作立體”時(shí)往往

所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以」]圖為例

則可快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了

2、空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)：

如果A(X],y”Z)在底面的投影為人(%2，%，°)，那么尤I=%2，M=>2(即點(diǎn)與投影點(diǎn)的

橫縱坐標(biāo)相同)

由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)時(shí)，可看下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可

以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的8,點(diǎn)，其投

影為8,而3(1,1,0)所以B'(1,1,z),而其到底面的距離為1,故坐標(biāo)為3(1,1,1)

以上兩個(gè)類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三

個(gè)方法：

3、需要計(jì)算的點(diǎn)

①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A(X],y,zJ,5(X2，y2，Z2),則L3中點(diǎn)M)

圖中的”，/，瓦/等中點(diǎn)坐標(biāo)均可計(jì)算

②利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算(先設(shè)再求)：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，

進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利

用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求A'點(diǎn)的坐標(biāo)，如果使用向量計(jì)算，則設(shè)A'(x,y,z),

可直接寫出A(l,0,0),3(1,1,0),3(1,1,1),觀察向量通=48,而/1總=(0,1,0),

x-1=0x=1

AB=(%—1,y—1，z—1)*y—1=1=><y=0/.A(1,0,1)

z-l=0z=1

二、典型例題：

【例1】——基礎(chǔ)

在三棱錐P-ABC中，24,平面ABC,NB4C=90°,￡>,E,尸分別是棱A8,8C,C。的

中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)

解：:BAJ■平面ABC：.PA±AB,PA±AC

ABAC=90.?.PAA氏AC兩兩垂直

以AP,AB,AC為軸建立直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)軸上的點(diǎn):A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,P（0,0,2）

中點(diǎn)——‘°1

￡:3。中點(diǎn)（；,；,0）

/：PC中點(diǎn)

綜上所述:8（1,0,0）00,1,0）,尸（0,0,2）,嗚,0,0）,

【例2】一一設(shè)長度問題

在長方體48co-A且G。中，分別是棱BC,CG上的點(diǎn)，CF=AB=2CE,

AB:A。：AA=1:2:4,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)

思路：長方體AA1,AB,AD兩兩垂直，本題給的是線段的比例，如果設(shè)

A3=a,AZ）=2a,A、=4。等，則點(diǎn)的坐標(biāo)都含有a

單位長度，從而使坐標(biāo)都為具體的數(shù)。

解：因?yàn)殚L方體ABC。—4AGA

AB,AD,AAt兩兩垂直

??.以AB,AD,AA為軸如圖建系，設(shè)|A8|為單位長度

EC

A￡>=2,A4,=4,CF=1,CE=—

6（l,0,0）,C（l,2,0）,r＞（0,2,0），4（l,0,4），A（0,0,4）C（l,2,4），A（0,2,4）

【例3】一一多種建系方法

如圖，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZABC=60,

CF±平面ABC。，且CR=1,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)。

思路：本題有一個(gè)現(xiàn)成的線面垂直，只需在平面ABC。找過C的相互垂直的

直線即可。由題意，N3CD不是直角。所以可以以其中一條邊為軸，在底面

上作垂線即可構(gòu)造出兩兩垂直的條件，進(jìn)而可以建立坐標(biāo)系

方案一：（選擇6c為軸），連結(jié)4c

可知ZADC=120°在AADC中

|AC|2=\ADf+\DCf-2\AD\\DC\cosADC=3:.\AC\=43

由|ACj=G,18C|=\,AABC=60可解得A5=2,ZACB=90

AC1BC:CF±平面ABCD

：.CF1AC,CF±BC

以AC,CfBC為坐標(biāo)軸如圖建系：

5（0,l,0）,A（V3,0,0）,D^,-1,0p（0,0,l）

方案二（以CD為軸）

過C作CD的垂線CM"L平面ABCD

:.CF±CD,CF±CM

.?.以8,。尸,。0為坐標(biāo)軸如圖建系：

（同方案一）計(jì)算可得:當(dāng)A8=2

"3、（G1、

??.A--,0,B^-,-,0,0（0,—1,0）,F（0,0,1）

【感悟】建立坐標(biāo)系的最重要的條件就是線面垂直（即z軸），對于軸的選取，如果沒

有已知線段，可以以垂足所在的某一條直線為坐標(biāo)軸，然后作這條軸的垂線來確定另一條軸，

本題中的兩個(gè)方案就是選過垂足C的直線為軸建立的坐標(biāo)系。

B'

【例4】一一翻折問題

已知四邊形ABCO滿足AO〃BC,BA=AD=OC=—8C=a,E

D

EC

BEC

是BC中點(diǎn),將“B4E翻折成△用AE,使得平面耳AEJ_平面AECD,F為BQ中點(diǎn)

思路：在處理翻折問題時(shí)，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變|（同一個(gè)平

面的位置關(guān)系不變），這些都是作為已知條件使用的。本題在翻折時(shí)，必4￡是等邊三角形，

四邊形AECD為60'的菱形是不變的，尋找線面垂直時(shí)，根據(jù)平面3平面AECD,

結(jié)合ABAE是等邊三南形，可取AE中點(diǎn)則可證A"_L平面AECD,再在四邊形

AECD找一組過”的垂線即可建系

解：取AE中點(diǎn)M,連結(jié)

?:△AAE是等邊三角形

BM±AE

平面BAE±平面AECD

_L平面AECD,連結(jié)QM/.BM±ME,BM1MD

四邊形AEQD為60。的菱形.NAOE為等邊三角形

:.DM±AE

8'〃,MQ,ME兩兩垂直

如圖建系，設(shè)|A網(wǎng)為單位長度

A，；,0,0|,E|j10,0|,。0,一,0,C1,?！?/p>

22

7

?T

F為B'D中效

【例5】一一線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，對角線AC,BD交于點(diǎn)

0,04=4,03=3,8=4,且。PJ.平面ABC。，點(diǎn)〃為PC的三等分點(diǎn)（靠近尸），

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求各點(diǎn)坐標(biāo)

思路：由OP_L平面A8CO,可得OP作為z軸，在底面上可利用菱形對角線相互垂直的

性質(zhì)，選取OB,OC作為x,y軸。在所有點(diǎn)中只有M的坐標(biāo)相對麻煩，對于三等分點(diǎn)可得

PM=-PC,從而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系即可求出M坐標(biāo)

3

解：?.?QPL平面A3CO

:.OP±OB,OP±OC

?.菱形ABC。:.OB±OC

.?.OP,O8,OC兩兩垂直

以O(shè)P,OB,OC為坐標(biāo)軸如圖建系

可得:P（0,0,4）,B（3,0,0）,C（0,4,0）,A（0,^,0）,D（-3,0,0）

設(shè)M（x,y,z）由可得：PM^^PC

PM=（x,y,z-4）,PC=（0,4,T）

x=0無=0

【感悟】（1）底面是菱形時(shí)要注意對角線相互垂直的性質(zhì)

（2）對于一條線段上的某點(diǎn)分線段成比例，可以利用向量關(guān)系將該點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出來

［例6］一一投影法

如圖所示的多面體中，已知正方形A8CO與直角梯形6。所所在的平面互相垂直，

EF//BD,ED±BD,AD=6,EF=ED=1,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)

坐標(biāo)

思路：題目已知面面垂直，從而可以找到OE與底面垂直，再由底面是正方形，可選A￡）,OC

為軸，圖中/點(diǎn)坐標(biāo)相對麻煩，可以用投影法和向量法計(jì)算得到八

解：?.?平面￡FB￡>_L平面ABC。E

又因?yàn)橹苯翘菪??！陸?.ED±DB卜'、

.?.田，平面A8C。/'

正方形ABCD：.AD±BD/D.

兩兩垂直，以DE,D4,DC為軸建立直角坐標(biāo)系//

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)：A（V2,0,0）,C（0,72,0）,￡（0,0,1）

底面上的點(diǎn)：8（也夜,0）

R點(diǎn)兩種確定方式：

①可看其投影，落在5。中點(diǎn)處（巫，立,（）］,且高度為1,

所以F一?,一?,1

122J122J

②設(shè)尸（x,y,z）二方=（x,y,z—1）,麗=（0,五,0）

也

-

X2

也

/變&

-/

y2nF■-

.EF^-DB■22

\

2\

Z-1=0

綜上所述:A（V2,0,0）,C（0,V2,0）,E（0,0,l）,B（V2,^,0）,F—,1

I22,

【例7】一一借助線段平行且相等求點(diǎn)

如圖，在三棱柱ABC—AgG中，”是正方形AAgB的中心，

A4,=2J2，G"，平面A4A8,C、H=加,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)

思路：GHJ■平面446乃，從而G"可作z軸，只需在平面

找到過”的兩條垂線即可建系（兩種方案），對于坐標(biāo)

只有C坐標(biāo)相對麻煩,但由束=不可以利用向量進(jìn)行計(jì)算。

解：方案一：（利用正方形相鄰邊垂直關(guān)系建系）

如圖建系：則

4（正,也,0）,A（夜，-及,0）再卜夜，夜,0）

B（-V2,-V2,0）,C,（0,0,75）

設(shè)C（x,y,z）,則束=（x,y,z—6）4.=（0,-2&,0）

x=0x=0

由錄=乖可得:<y=-2A/2=><y=—2^2；.c（o,-2后網(wǎng)

z-6=0z=6

綜上所述：

A（&,應(yīng),0）,4（虎，-&,O）,B1-網(wǎng)-點(diǎn)，-應(yīng),0）,

C,（0,0,5/5）,C（0-2^,^）

方案二：（利用正方形對角線相互垂直建系）

如圖建系：由A4,=28計(jì)算可得4以=與"=2

A（2,0,0）,4（0,-2,0）,4（0,2,0）

H

AA

5(-2,0,0),C,(0,0,75)

設(shè)C(x,y,z),則*=(x,y,z_6)不=(-2,—2,0)

x=-2x=-2

由束=乖可得:<y=-2=><y=-2

Z-V5=0[z=y/5

綜上所述：

A（2,0,0）,A（0,-2,0）,（0,2,0）,3（-2,0,0）,C,（0,0,V5）,C（-2,-2,V5）

【感悟】本題雖然兩種建系方法均可以，但從坐標(biāo)上可以發(fā)現(xiàn)，用方案二寫出的坐標(biāo)相對簡

單，尤其是底面上的坐標(biāo)不僅在軸上，而且數(shù)比較整齊。（相信所給的AA=2后目的也傾

向使用方案二建系）因?yàn)樵诮鉀Q立體幾何解答題時(shí)，建系寫坐標(biāo)是基礎(chǔ)，坐標(biāo)是否整數(shù)化會(huì)

決定計(jì)算過程是否更簡便。若題目中有多種建系時(shí)，觀察所給線段長度的特點(diǎn)，選擇合適的

方法建系，為后面的計(jì)算節(jié)省時(shí)間。

【例8】一一畫出底面的平面圖求點(diǎn)

如圖，在四棱柱ABC。-A與中，側(cè)棱AA_L底面ABC。，AB_LAC,AB=1,

AC=M=2,A￡>=C￡>=君，且點(diǎn)M和N分別為用C和。D的中點(diǎn)。建立合適的空間

直角坐標(biāo)系并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)

思路：由4AJ.底面ABC。，AB,AC可得A4）,AB,AC兩兩垂直，進(jìn)而以它們?yōu)檩S建

立坐標(biāo)系，本題中A，A,G，2均可通過投影到底面得到橫縱坐標(biāo)，圖中。點(diǎn)坐標(biāo)相對麻煩,

可作出底面的平面圖再根據(jù)平面幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。

解：?.?側(cè)棱4AJ.底面ABC。

AA_LAB，AA_LAC

AB±ACA3,AC,AA兩兩垂直

以AB,AC,A、為軸建立直角坐標(biāo)系

底面上的點(diǎn)：B（0,l,0）,C（2,0,0）

由4。=。。=石可得44。。為等腰三角形，

DP1AC

DP=y/AD2-AP2=2

C

可投影到底面上的點(diǎn)：A(0,0,2),4(0,1,2),C,(2,0,2),Di(1,-2,2)

因?yàn)镸和N分別為4c和的中點(diǎn)

綜上所述:5(0,1,0),C(2,0,0),￡)(1,-2,0),4(0,0,2),旦(0,1,2)6(2,0,2),〃(1,—2,2)

硝2,1)

【例9】畫出底面的平面圖求點(diǎn)

如圖：已知PO_L平面A8C。，點(diǎn)。在AB上，且E4〃PO,四邊形ABC。為直角梯形，

AD//BC,BC±AB,BC=CD=BO=PO=2,EA=AO^-CD,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并

2

求出各點(diǎn)坐標(biāo)

思路：由條件可得而PO_L平面ABCD,EA//PO可得到￡4_L平面ABCD,

從而以為軸建系。難點(diǎn)在于求底面梯形中的長度?？勺鞒銎椒?,A3,A。面圖利用

平面幾何知識(shí)處理。

解：?.?PO_L平面ABC。，EA//PO

H4J_平面A8CD

：.EA±AB,EA±AD

?.-AD//BC,BC±AB:.AD±AB

AE,AD,A8兩兩垂直，如圖建系：

EA=；CO=]￡(0,0,1)

心496中：AB=y/OB2-O^=V3

Ani

cosAOB=----=—=>Z.AOB=60

BO2

?.-AD//BCZBOC=ZAOB=60

BC=BO..ABOC為等邊三角形

:.OC=BC=CDZOCB=60

/.ZDOC=60..ACOD為等邊三角形

:.OD=CD=2

5（73,0,0）,0（0,l,0）,D（0,3,0）,C（＞/3,2,0）

P在底面ABC。投影為。且PO=2P（0,l,2）

綜上所述:B（V3,0,0）,0（0,1,0）,D（0,3,0）,C（V3,2,0）,P（0,1,2）,E（0,0,1）

【例10】一一借助向量求點(diǎn)

已知斜三棱柱ABC-A與G，NBC4=90',AC==2,4在底面ABC上的射影恰為

4C的中點(diǎn)。，又知BA1AC,,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)

思路：本題建系比較簡單，A。J_平面ABC,進(jìn)而4。作z軸，再過。引4c垂線即可。

難點(diǎn)有二：一是三棱柱的高未知，進(jìn)而無法寫出上底面點(diǎn)的豎坐標(biāo)；二是目的投影不易在

圖中作出（需要擴(kuò)展平面ABC）,第一個(gè)問題可先將高設(shè)為人，再利用條件BA】1AC.求

解；第二個(gè)問題可以考慮利用向量計(jì)算得到。

解：過。作AC的垂線DM，平面ABC

4。±DC,A,D,而。M，OC

.?.以4。,。。,。又為軸建立直角坐標(biāo)系

A（0,-l,0）,C（0,l,0）,B（2,l,0）,設(shè)高為h

則A（0,0，〃），設(shè)G（x,y,z）

則配=（0,2,0）,而"=（x,y,z-〃）

x=0x=0

由前=宿可得：＜y=2n{y=2.-.C,（0,2,/z）

z—h=0z=h

BAy=(—2,—1,/z),ACj=(0,3,/z)

2

:.BA,±AC1=>^4-Aq=0=>-3+/Z=0,解得〃=百

.?.A（O,O,@，G（O,2,@

設(shè)耳（x,y,6）=（x,y,O）

而通=（2,2,0）且AE=麗J，-：?.?.與（2,2,6）

綜上所述：A（0,-1,0）,C（0,1,0）,B（2,1,0），A（0,0,V3）,CI（0,2,A^）,B1（2,2,V3）

一、抽離

如圖，在直四棱柱ABCO—48iCiDi中，AB=AD=2,DC=2y/3,AAi=下＞，AD1DC,AC

±BD,垂足未￡,

(I)求證：SDl/liC;

(II)求二面角Ai-BD—Ci的大??；

(III)求異面直線AD與BCi所成角的大

二、平移法

如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，回BAC=90°,AB=AC=2,AiA=4,Ai在底面ABC的射

影為BC的中點(diǎn)，D是BiCi的中點(diǎn).

(1)證明：A1DI3平面A1BC；(2)求二面角Ai-BD-Bi的平面角的余弦值.

【解析】(1)證明：如圖，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OA、OAi所在直線分別為X、

y、z軸建系.

則BC=MAC=2圾,AIO=JAA]2-A02=VH，

易知Ai（0,0,VH），B（V2-0,0）,C（-A/2-0,0）,

A（0,V2，0）,D（0,-V2-714）1Bi（血，-血，V14），

A]6=（。，-A/2>0）,BD=（-V2>-A/2>V14）>

0A；=(。，0，V14)>

【2014新課標(biāo)1】如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面BBiCiC為菱形，AB回BiC.

(0)證明：AC=ABi；

(0)若ACOABi,0CBBi=6O°,AB=BC,求二面角A-A1B1-Ci的余弦值.

【解析】（2）ElAOHABi,且。為BiC的中點(diǎn)，0AO=CO,

又團(tuán)AB=BC,00BOA00BOC,UIOAEIOB,

00A,OB,OBi兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸的正方向，|而|為單位長度,

國的方向?yàn)閥軸的正方向，示的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

0E1CBBI=6OO,EECBBi為正三角形，又AB=BC,

0A（0,0,登）,B（1,0,0,）,Bi（0,恒0）,C（0,-亨0)

33

二、設(shè)參數(shù)法

如圖，己知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABBCD,AC0BD,垂足為H,PH是四棱

錐的高，E為AD中點(diǎn)

(1)證明：PEEBC

(2)若回APB=囪ADB=60。，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.

p

【解答】解：以H為原點(diǎn)，HA,HB,HP分別為x,y,z軸，線段HA的長為單位長，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0),B(0,1,0)

(0)設(shè)C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0)

則D(0,m,0),E(-|,0).

可得而=(-1,T，-n),BC=(m,-1,0).

因?yàn)橥咴?-分0=0

所以PE0BC.

(S)由已知條件可得m=-In=l,故C(-*g,0,0))

33

D(0,-噂,0),E([,-，0),P(0,0,1)

oLb

三、動(dòng)點(diǎn)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD回平面ABCD,PAmPD,PA=PD,ABEJAD,AB=1,

AD=2,AC=CD=A/5.

(0)求證：PDI3平面PAB；

(0)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(0)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BMI3平面PCD?若存在，求瞿的值，若不存在，說

AP

明理由.

【解析】

(0)解：取AD中點(diǎn)為O,連接CO,PO,

0CD=AC=V5，

121co回AD,

又E)PA=PD,

回PC?AD.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0)，

(0)解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM回平面PCD,

由(回)知，A(0,1,0),P(0,0,1),即二(0,-1,1).B(1,1,0),

AM=(0,yt-1,zP，

則有贏二人而，可得M(0,1-入，入)，

如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是陳的中點(diǎn).

(1)設(shè)P是注上的一點(diǎn)，且APEIBE,求回CBP的大?。?/p>

(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.

解法二:

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(l，S,1),故癥=(2,0,-3),晶=(1m,0),荏=(2,0,3),

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA=1,P在平面ABC內(nèi)的

射影為BF的中點(diǎn)0。

(I)證明Q4_LBF；

(II)求面APB與面。PB所成二面角的大小。

p.

第19題(II)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0,

IJ3

1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),

22

如圖，在四棱柱ABCD-AIBICIDI中，側(cè)棱AAiEl底面ABCD,AB0AC,AB=1,

AC=AAi=2,AD=CD=、而，且點(diǎn)M和N分別為BiC和D1D的中點(diǎn).

(0)求證：MN回平面ABCD

(0)求二面角Di-AC-Bi的正弦值：

(回)設(shè)E為樓AiBi上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為求線段A1E

的長.

【解析】(附證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、AB、AAi所在直線分別為x、y、z

軸建系，則A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0