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圓一.選擇題(共10小題)1.如圖,點(diǎn)C是⊙O的優(yōu)弧上一點(diǎn),∠AOB=80°,則∠ACB的度數(shù)為()A.40° B.140° C.80° D.60°2.正方形的外接圓與內(nèi)切圓的周長(zhǎng)比為()A.:1 B.2:1 C.4:1 D.3:13.如圖,在⊙O中,∠ABC=50°,則∠ACO等于()A.55° B.50° C.45° D.40°4.若⊙O的半徑是3,點(diǎn)P在圓外,則點(diǎn)OP的長(zhǎng)可能是()A. B.3 C.2 D.5.如圖,在△ABC中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交BC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積是()A.9﹣3π B. C. D.6.如圖,AB是O的直徑,AB=8,點(diǎn)M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中點(diǎn),P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn).若MN=2,則△PMN周長(zhǎng)的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.87.如圖,AB是半圓O的直徑,C、N為半圓上的兩點(diǎn),且=,過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線,交AB的延長(zhǎng)線于M,若∠M=40°,則∠BON的度數(shù)()A.30° B.25° C.20° D.22.5°8.在練習(xí)擲鉛球項(xiàng)目時(shí),某同學(xué)擲出的鉛球在操場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑為6cm、深2cm的小坑,則該鉛球的直徑為()A.cm B.6cm C.cm D.8cm9.如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°.尺寸如圖(單位:cm),將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi),若同時(shí)具有A,B,E三個(gè)接觸點(diǎn),則該球的半徑是()cmA.8 B.6 C.12 D.1010.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P的圓心坐標(biāo)(6,a)(a>5),半徑為5,函數(shù)y=x的圖象被截得的弦AB的長(zhǎng)為8,則a的值為()A.6 B.6+ C.3 D.6+3二.填空題(共5小題)11.如圖,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(4,0),圓內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)B(﹣1,2),過(guò)點(diǎn)B作直線,交圓于M,N兩點(diǎn),求MN的最小值為.12.如圖,在⊙O中,點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn),∠COD=40°,則∠BAD=.13.如圖,PA,PB是⊙O的切線,A,B是切點(diǎn),點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),若∠ACB=70°,則∠P的度數(shù)為.14.如圖,△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=45°,D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),⊙O為△ACD的外接圓,直線BD交⊙O于P點(diǎn),交BC于E點(diǎn),弧AE=CP,則AD的最小值為.15.如圖,△ABC中,AC=BC=6,∠ACB=90°,若D是與點(diǎn)C在直線AB異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠ADB=45°,則CD的最大值為.三.解答題(共6小題)16.如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)D在⊙O上,且CD=OA,CD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E,若∠C=23°,試求∠EOB的度數(shù).17.[概念引入]在一個(gè)圓中,圓心到該圓的任意一條弦的距離,叫做這條弦的弦心距.[概念理解](1)如圖1,在⊙O中,半徑是5,弦AB=8,則這條弦的弦心距OC長(zhǎng)為.(2)通過(guò)大量的做題探究;小明發(fā)現(xiàn):在同一個(gè)圓中,如果兩條弦相等,那么這兩條弦的弦心距也相等.但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩.請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2,在⊙O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求證:OM=ON.[概念應(yīng)用]如圖3,在⊙O中AB=CD=16,⊙O的直徑為20,且弦AB垂直于弦CD于E,請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求OE的長(zhǎng).18.如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,⊙O的半徑為5,∠A=60°,求弦BC的長(zhǎng).19.如圖,已知等邊△ABC中,AB=12.以AB為直徑的半⊙O與邊AC相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E;過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F,連接DF.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)求EF的長(zhǎng).20.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,高AD經(jīng)過(guò)圓心O.(1)求證:AB=AC;(2)若BC=16,⊙O的半徑為10.求△ABC的面積.21.如圖,四邊形ABCD是⊙O內(nèi)正方形,P是圓上一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C,D不重合),連接PA,PB,PC.(1)若點(diǎn)P是上一點(diǎn),①∠BPC度數(shù)為;②求證:PA+PC=PB;小明的思路為:這是線段和差倍半問(wèn)題,可采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法,請(qǐng)按小明思路完成下列證明過(guò)程(也可按自己的想法給出證明).證明:在PC的延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)E.使CE=PA,連接BE.(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在,,上,求PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出答案,不需要證明.
2023年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)--圓參考答案與試題解析一.選擇題(共10小題)1.如圖,點(diǎn)C是⊙O的優(yōu)弧上一點(diǎn),∠AOB=80°,則∠ACB的度數(shù)為()A.40° B.140° C.80° D.60°【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可.【解答】解:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB=80°,∴∠ACB=40°,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理,熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.2.正方形的外接圓與內(nèi)切圓的周長(zhǎng)比為()A.:1 B.2:1 C.4:1 D.3:1【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形,再由正方形及等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】解:如圖所示,連接OA、OE,∵AB是小圓的切線,∴OE⊥AB,∵四邊形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,設(shè)AE=x,則OA===,故==,即正方形的外接圓與內(nèi)切圓的周長(zhǎng)比為::1.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)及勾股定理.根據(jù)題意畫(huà)出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求出答案是解答此題的關(guān)鍵.3.如圖,在⊙O中,∠ABC=50°,則∠ACO等于()A.55° B.50° C.45° D.40°【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=100°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可.【解答】解:∵∠AOC=2∠ABC,∠ABC=50°,∴∠AOC=100°,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO=×(180°﹣100°)=40°,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理,熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.4.若⊙O的半徑是3,點(diǎn)P在圓外,則點(diǎn)OP的長(zhǎng)可能是()A. B.3 C.2 D.【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【解答】解:∵⊙O的半徑是3,點(diǎn)P在圓外,∴OP的長(zhǎng)大于3.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.5.如圖,在△ABC中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交BC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積是()A.9﹣3π B. C. D.【分析】連接AD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB=3,∠ADB=60°,根據(jù)勾股定理得到AC==3,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】解:連接AD,∵AB=BD=3,∠ABC=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AD=AB=3,∠ADB=60°,∵BC=6,∴CD=3,∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,∵∠C+∠CAD=∠ADB=60°,∴∠C=30°,∴∠BAC=90°,∴AC==3,∴圖中陰影部分的面積=AB?AC﹣=3×﹣=﹣,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的進(jìn)行,等邊三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),勾股定理,推出△ABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.6.如圖,AB是O的直徑,AB=8,點(diǎn)M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中點(diǎn),P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn).若MN=2,則△PMN周長(zhǎng)的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到:點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接MN′交AB于P,此時(shí)PM+PN最小,即△PMN周長(zhǎng)的最小,利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:如圖,作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′,則點(diǎn)N′在⊙O上,連接MN′交AB于P,此時(shí)PM+PN最小,即PM+PN=MN′,∵點(diǎn)N是的中點(diǎn),∠BAM=20°,∴==,∴∠BAN′=10°,∴∠MAN′=20°+10°=30°,∴∠MON′=60°,∴△MON′是正三角形,∴OM=ON′=MN′=AB=4,又∵M(jìn)N=2,∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為2+4=6,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱,掌握?qǐng)A周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7.如圖,AB是半圓O的直徑,C、N為半圓上的兩點(diǎn),且=,過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線,交AB的延長(zhǎng)線于M,若∠M=40°,則∠BON的度數(shù)()A.30° B.25° C.20° D.22.5°【分析】連接OC,根據(jù)=,可得∠CON=∠BON,根據(jù)MC為半圓O的切線,可得∠OCM=90°,再根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可解決問(wèn)題.【解答】解:如圖,連接OC,∵=,∴∠CON=∠BON,∵M(jìn)C為半圓O的切線,∴∠OCM=90°,∵∠M=40°,∴∠COM=50°,∴∠BON=COM=25°,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、切線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).8.在練習(xí)擲鉛球項(xiàng)目時(shí),某同學(xué)擲出的鉛球在操場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑為6cm、深2cm的小坑,則該鉛球的直徑為()A.cm B.6cm C.cm D.8cm【分析】由題意畫(huà)出圖形,設(shè)出未知數(shù),由勾股定理列出方程,解方程,即可解決問(wèn)題.【解答】解:如圖,由題意知,AB=6cm,CD=2cm,OD是半徑,且OC⊥AB,∴AC=CB=AB=3(cm),設(shè)鉛球的半徑為rcm,則OC=(r﹣2)cm,在Rt△AOC中,根據(jù)勾股定理得:OC2+AC2=OA2,即(r﹣2)2+32=r2,解得:r=,則鉛球的直徑為:2r=(cm),故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握垂徑定理,由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.9.如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°.尺寸如圖(單位:cm),將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi),若同時(shí)具有A,B,E三個(gè)接觸點(diǎn),則該球的半徑是()cmA.8 B.6 C.12 D.10【分析】設(shè)圓心為O點(diǎn),連接OE,交AB于C,則OE⊥AB,由垂徑定理得AC=BC=8cm,設(shè)⊙O的半徑為Rcm,則OC=(R﹣4)cm,然后在Rt△OAC中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】解:設(shè)圓心為O點(diǎn),連接OA、AB、OE,OE交AB于C,如圖,由題意得:AB=16cm,CE=4cm,E為的中點(diǎn),則OE⊥AB,∴AC=BC=AB=8(cm),設(shè)⊙O的半徑為Rcm,則OC=(R﹣4)cm,在Rt△OAC中,由勾股定理得:OA2=AC2+OC2,即R2=82+(R﹣4)2,解得R=10,即該球的半徑是10cm.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí),熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P的圓心坐標(biāo)(6,a)(a>5),半徑為5,函數(shù)y=x的圖象被截得的弦AB的長(zhǎng)為8,則a的值為()A.6 B.6+ C.3 D.6+3【分析】PC⊥x軸于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,連接PB,由于OC=6,PC=a,易得D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,6),則△OCD為等腰直角三角形,△PED也為等腰直角三角形.由PE⊥AB,根據(jù)垂徑定理得AE=BE=AB=4,在Rt△PBE中,利用勾股定理可計(jì)算出PE=3,則PD=PE=3,所以a=6+3.【解答】解:作PC⊥x軸于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,連接PB,如圖,∵⊙P的圓心坐標(biāo)是(6,a),∴OC=6,PC=a,把x=6代入y=x得y=6,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,6),∴CD=6,∴△OCD為等腰直角三角形,∴△PED也為等腰直角三角形,∵PE⊥AB,∴AE=BE=AB=×8=4,在Rt△PBE中,PB=5,∴PE==3,∴PD=PE=3,∴a=6+3.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì).二.填空題(共5小題)11.如圖,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(4,0),圓內(nèi)一個(gè)固定點(diǎn)B(﹣1,2),過(guò)點(diǎn)B作直線,交圓于M,N兩點(diǎn),求MN的最小值為2.【分析】可知當(dāng)MN⊥OB時(shí),MN最小,根據(jù)勾股定理求出BM===,再根據(jù)垂徑定理得MN=2BM=2即可.【解答】解:如圖,連接OB,OM,可知當(dāng)MN⊥OB時(shí),MN最小,∵B(﹣1,2),∴OB2=12+22=5,∵OM=OA=4,∴BM===,∵M(jìn)N⊥OB,∴MN=2BM=2,∴MN的最小值為2.故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理,正確作出圖形是關(guān)鍵.12.如圖,在⊙O中,點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn),∠COD=40°,則∠BAD=20°.【分析】根據(jù)題意推出=,再根據(jù)圓周角定理求解即可.【解答】解:∵點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn),∴=,∴∠BAD=∠COD,∵∠COD=40°,∴∠BAD=20°,故答案為:20°.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理,熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.13.如圖,PA,PB是⊙O的切線,A,B是切點(diǎn),點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),若∠ACB=70°,則∠P的度數(shù)為40°.【分析】連接OA、OB,先根據(jù)圓周角定理求出∠AOB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°,然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可計(jì)算出∠P的度數(shù).【解答】解:連接OA、OB,如圖,∵∠ACB=70°,∴∠AOB=2∠ACB=140°,∵PA,PB是⊙O的切線,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°,故答案為:40°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.14.如圖,△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=45°,D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),⊙O為△ACD的外接圓,直線BD交⊙O于P點(diǎn),交BC于E點(diǎn),弧AE=CP,則AD的最小值為1.【分析】根據(jù)=得∠ACB=∠CDP.再由∠ACB=45°可得到∠BDC=135°,于是點(diǎn)D在以BC為弦,∠BDC=135°的圓弧上運(yùn)動(dòng),再由∠BMC=90°可證明∠ACM=90°,從而算出AM=5,再由當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí),AD最小,求出此時(shí)AD的長(zhǎng)即可.【解答】解:∵=,∴∠ACB=∠CDP.∵∠ACB=45°,∴∠CDP=45°,∴∠BDC=180°﹣45°=135°,∴點(diǎn)D在以BC為弦,∠BDC=135°的圓弧上運(yùn)動(dòng),如圖,設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為M,取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N,連接MB,MC,NB,NC,AM,MD,則∠BNC=180°﹣∠BDC=45°,∴∠BMC=90°,∵BM=CM,∴△BMC為等腰直角三角形,∴∠MCB=45°,MC=BC=4,∵∠ACB=45°,∴∠ACM=90°,∴AM===5,∴當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí),AD最小,此時(shí),AD=AM﹣MD=5﹣4=1.故答案為:1.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓,圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系,解決此題的關(guān)鍵是證明出∠BDC=135°,分析出D在以BC為弦,∠BDC=135°的圓弧上運(yùn)動(dòng).15.如圖,△ABC中,AC=BC=6,∠ACB=90°,若D是與點(diǎn)C在直線AB異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠ADB=45°,則CD的最大值為6+6.【分析】以AB為底邊,在AB的下方作等腰直角三角形AOB,則OA=AC=6,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知,當(dāng)CD過(guò)圓心時(shí),CD最大,利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)即可.【解答】解:以AB為底邊,在AB的下方作等腰直角三角形AOB,則OA=AC=6,∵∠ADB=45°,∴點(diǎn)D在以O(shè)為圓心,6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)CD過(guò)圓心時(shí),CD最大,∵AC=AO=6,∠CAO=90°,∴CO=6,∴CD的最大值為6+6,故答案為:6+6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì),圓周角定理,利用定邊定角確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵.三.解答題(共6小題)16.如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)D在⊙O上,且CD=OA,CD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E,若∠C=23°,試求∠EOB的度數(shù).【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDO,從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解.【解答】解:∵CD=OA=OD,∠C=23°,∴∠ODE=2∠C=46°,∵OD=OE,∴∠E=∠EDO=46°,∴∠EOB=∠C+∠E=46°+23°=69°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)是關(guān)鍵.17.[概念引入]在一個(gè)圓中,圓心到該圓的任意一條弦的距離,叫做這條弦的弦心距.[概念理解](1)如圖1,在⊙O中,半徑是5,弦AB=8,則這條弦的弦心距OC長(zhǎng)為3.(2)通過(guò)大量的做題探究;小明發(fā)現(xiàn):在同一個(gè)圓中,如果兩條弦相等,那么這兩條弦的弦心距也相等.但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩.請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2,在⊙O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求證:OM=ON.[概念應(yīng)用]如圖3,在⊙O中AB=CD=16,⊙O的直徑為20,且弦AB垂直于弦CD于E,請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求OE的長(zhǎng).【分析】[概念理解](1)連接OB,在Rt△BOC中,應(yīng)用勾股定理求解即可;(2)連接BO、OC,證明Rt△BOM≌Rt△CON(HL)即可;[概念應(yīng)用]過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD交于G,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交于H,連接DO,根據(jù)(2)的結(jié)論,得到四邊形GEHO是正方形,在Rt△GOD中,用勾股定理求出GO=6,在等腰Rt△GOE中,求出EO=6.【解答】[概念理解](1)解:連接OB,∵CO⊥AB,∴BC=AC,∠BCO=90°,∵AB=8,∴BC=4,∵BO=5,∴CO==3,故答案為:3;(2)證明:連接BO、OC,∵OM⊥AB,∴BM=AM,∠BMO=90°,∵ON⊥CD,∴CN=DN,∠CNO=90°,∵AB=CD,∴BM=CN,∵BO=CO,∴Rt△BOM≌Rt△CON(HL),∴OM=ON;[概念應(yīng)用]解:過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD交于G,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交于H,連接DO,∵AB=CD=16,∴GO=OH,∵AB⊥CD,∴∠GEH=90°,∴四邊形GEHO是正方形,∴GE=GO,∵CD=16,∴DG=8,∵⊙O的直徑為20,∴DO=10,∴GO==6,∴GE=GO=6,∴EO=6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用,熟練掌握垂徑定理,勾股定理,三角形全等的判定及性質(zhì),正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18.如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,⊙O的半徑為5,∠A=60°,求弦BC的長(zhǎng).【分析】連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于D,根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠A=60°,∠CBD=90°,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【解答】解:連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于D,連接BD,則∠D=∠A=60°,∠CBD=90°,∵⊙O的半徑為5,∴CD=10,∴BD=CD=5,∴BC===5,故弦BC的長(zhǎng)為5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心,圓周角定理,直角三角形的性質(zhì),勾股定理,正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.19.如圖,已知等邊△ABC中,AB=12.以AB為直徑的半⊙O與邊AC相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E;過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F,連接DF.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)求EF的長(zhǎng).【分析】(1)連接OD,證明OD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE⊥OD,根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論;(2)求出CD=6,進(jìn)而求出CE,即可求出BE,根據(jù)正弦的定義求出EF.【解答】(1)證明:連接OD,∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠C,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠ODA=∠C,∴OD∥BC,∵DE⊥BC,∴DE⊥OD,∵OD是⊙O的半徑,∴DE是⊙O的切線;(2)解:由(1)知,OD∥BC,∵OA=OB,∴AD=CD,∵AC=12,∴CD=6,在Rt△CDE中,∠C=60°,∴∠CDE=30°,∴CE=CD=3,∴BE=BC﹣CE=9,在Rt△BEF中,∠B=60°,∴EF=BE?sinB=9×=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、切線的判定、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù),正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.20.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,高AD經(jīng)過(guò)圓心O.(1)求證:AB=AC;(2)若BC=16,⊙O的半徑為10.求△ABC的面積.【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得,根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等,即可證明;(2)連接OB,勾股定理求得OD,繼而得出AD,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.【解答】(1)證明:∵AD⊥BC,∴,∴AB=AC;(2)解:連接OB,∵AD⊥BC,∴BD=BC=8,在Rt△OBD中,BO=10,BD=8,∴OD==6,∴AD=AO+OD=10+6=16,∴S△ABC=BC?AD=×16×16=128.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理,弧與弦的關(guān)系,勾股定理,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.21.如圖,四邊形ABCD是⊙O內(nèi)正方形,P是圓上一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C,D不重合),連接PA,PB,PC.(1)若點(diǎn)P是上一點(diǎn),①∠BPC度數(shù)為45°;②求證:PA+PC=PB;小明的思路為:這是線段和差倍半問(wèn)題,可采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法,請(qǐng)按小明思路完成下列證明過(guò)程(也可按自己的想法給出證明).證明:在PC的延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)E.使CE=PA,連接BE.(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在,,上,求PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出答案,不需要證明.【分析】(1)①理由正方形的性質(zhì)和圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半解答即可;②在PC的延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)E.使CE=PA,連接BE,利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)解答即可;(2)利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法,依題意畫(huà)出相應(yīng)圖形,按小明思路完成解
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