先進(jìn)制造與工程仿真技術(shù)課件：工程仿真技術(shù)中的有限元理論基礎(chǔ) -

先進(jìn)制造與工程仿真技術(shù)工程仿真技術(shù)中的有限元理論基礎(chǔ)

§4.1工程仿真中有限元法的概述§4.2彈性力學(xué)的基本原理與有限元分析 §4.3仿真工程中常用有限元軟件簡介教學(xué)要求：了解有限元法的基本原理與基本方法。學(xué)習(xí)有限元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元的概念等。了解有限元軟件的發(fā)展水平，學(xué)會(huì)用有限元軟件分析工程問題的方法。4

齒輪是最重要的零件之一。它具有功率范圍大，傳動(dòng)效率高，傳動(dòng)比正確，使用壽命長等特點(diǎn)，齒輪嚙合過程作為一種接觸行為，因涉及接觸狀態(tài)的改變而成為一個(gè)復(fù)雜的非線性問題。整個(gè)有限元分析分為實(shí)體建模、網(wǎng)格劃分、加載、求解和分析優(yōu)化。其中，實(shí)體建模的最終目的劃分網(wǎng)格以生成節(jié)點(diǎn)和單元，生成節(jié)點(diǎn)和單元的網(wǎng)格劃分過程分為兩個(gè)步驟：（1）定義單元屬性；（2）定義網(wǎng)格生成控制并生成網(wǎng)格。圖4-1與圖4-2分別為齒輪嚙合實(shí)體建模與劃分網(wǎng)格后的齒輪面。章節(jié)引例圖4-1齒輪嚙合實(shí)體建模

圖4-2劃分網(wǎng)格后的齒輪面

5

圖4-3為齒輪嚙合部位應(yīng)力云圖。從應(yīng)力云圖中得出：齒根應(yīng)力分布特性是衡量齒輪傳動(dòng)性能的重要指標(biāo)。齒輪輪齒的應(yīng)力主要分布嚙合齒對(duì)上，在與之相鄰的輪齒和齒輪本體上，則隨著嚙合點(diǎn)距離的增加而迅速減小。在嚙合齒對(duì)上,又以嚙合點(diǎn)處的應(yīng)力和變形最大。在嚙合齒對(duì)的齒根處，其應(yīng)力值也較大。圖4-3齒輪嚙合部位應(yīng)力云圖64.1工程仿真中有限元法的概述4.1.1有限元法的發(fā)展過程

在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常會(huì)遇到兩類典型的問題。其中的第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。我們把這類問題，稱為離散系統(tǒng)。如圖4-4所示平面桁架結(jié)構(gòu)，是由6個(gè)只承受軸向力的“桿單元”組成，其中每根桿的受力狀況相似。盡管離散系統(tǒng)是可解的，但是求解圖4-5所示的復(fù)雜離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。圖4-4平面桁架系統(tǒng)圖4-5大型編鐘“中華和鐘”的振動(dòng)分析71．有限元法是一種有限與無限統(tǒng)一的思想

有限與無限是一個(gè)對(duì)立的統(tǒng)一體。它們的對(duì)立主要表現(xiàn)在量上，統(tǒng)一表現(xiàn)在質(zhì)上。數(shù)學(xué)模型中的極限、級(jí)數(shù)等是這方面的典型代表，而有限元法就是這一思想的具體體現(xiàn)。2．有限元法是一種應(yīng)用已知求解未知的思想

有限元法是應(yīng)用人們對(duì)事物規(guī)律的已有認(rèn)識(shí)并結(jié)合研究對(duì)象的各種約束條件，組織一個(gè)運(yùn)用已知的參量和規(guī)律來求解未知問題的有機(jī)過程。4.1.2有限元法的基本思路

有限元法把求解區(qū)域看作由于許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的子域(單元)所構(gòu)成，模型給出基本方程的分片(子)近似解。有限元法一種結(jié)構(gòu)分析的方法。分析的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組由有限個(gè)單元組成的并按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合體來加以分析。分析假想將物體劃分為小的單元，然后對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行分析，最后再把單元分析結(jié)果組合得到整個(gè)對(duì)象的分析結(jié)果。有限元法首先體現(xiàn)的是一種思想，其基本思想可以歸納為如下幾點(diǎn)：83．將兩種思想結(jié)合轉(zhuǎn)化為具體的解決方法

將研究對(duì)象劃分為有限個(gè)單元，這些單元一方面在力學(xué)行為等方面具有一定的共性而在形狀、尺寸等方面具有一定個(gè)性；另一方面這些單元與外界有“消息”的交流。明確了已知參量和未知要求解的參量，有限元法在單元共性表達(dá)的基礎(chǔ)上，將未知量表達(dá)為一種能夠方便求解的形式加以求解。4.1.3有限元法分析過程

有限元法的計(jì)算步驟歸納為以下三個(gè)基本步驟：網(wǎng)格劃分，單元分析，整體分析。1.網(wǎng)格劃分

有限元法的基礎(chǔ)是用有限個(gè)單元體的集合來代替原有的連續(xù)體。通常把三維實(shí)體劃分成4面體或6面體單元的網(wǎng)格，如圖4-6至圖4-9所示。圖4-6四面體四節(jié)點(diǎn)單元

圖4-7六面體8節(jié)點(diǎn)單元

圖4-8三維實(shí)體的四面體單元?jiǎng)澐謭D4-9三維實(shí)體的六面體單元?jiǎng)澐謭D4-10三角形3節(jié)點(diǎn)單元圖4-11四邊形4節(jié)點(diǎn)單元平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網(wǎng)格，如圖4-10至圖4-13所示10圖4-12平面問題的三角形單元?jiǎng)澐謭D4-13平面問題的四邊形單元?jiǎng)澐?.單元分析

對(duì)于彈性力學(xué)問題，單元分析，就是建立各個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。由于將單元的節(jié)點(diǎn)位移作為基本變量，進(jìn)行單元分析首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個(gè)近似表達(dá)式，然后計(jì)算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。

以平面問題的三角形3結(jié)點(diǎn)單元為例。如圖4-14所示，單元有三個(gè)結(jié)點(diǎn)I、J、M，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移u、v和兩個(gè)結(jié)點(diǎn)力U、V。11圖4-14三角形3結(jié)點(diǎn)單元單元的所有結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力，可以表示為結(jié)點(diǎn)位移向量（vector）：結(jié)點(diǎn)位移

結(jié)點(diǎn)力

(4-1)12單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系用張量（tensor）來表示，

(4-2)

3.整體分析

對(duì)由各個(gè)單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，以解出結(jié)點(diǎn)位移，這個(gè)過程為整體分析。再以彈性力學(xué)的平面問題為例，如圖4-15所示，在邊界結(jié)點(diǎn)i上受到集中力作用。結(jié)點(diǎn)i是三個(gè)單元的結(jié)合點(diǎn)，因此要把這三個(gè)單元在同一結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)力匯集在一起建立平衡方程。圖4-15整體分析i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力：(4-3)(4-4)i結(jié)點(diǎn)的平衡方程：(4-5)4.1.4有限元法的應(yīng)用簡介

包括線性和非線性靜力分析。線性靜力分析研究線彈性結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力，它是工程結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)中最基本的方法。非線性結(jié)構(gòu)靜力分析主要研究外載作用下引起的非線性響應(yīng)，其中非線性來源主要是材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性三大類。13

目前的商用有限元軟件不僅分析功能幾乎覆蓋了所有的工程領(lǐng)域，其程序使用也非常方便。當(dāng)前，在我國工程界比較流行、被廣泛使用的大型有限元分析軟件主要有：MSC/Nastran、ANSYS、Abaqus、Marc、Adina和Algor等。其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括:1.靜力分析

142.動(dòng)力分析

主要包括以下分析類型：

(1)模態(tài)分析

(2)瞬態(tài)響應(yīng)分析(3)諧響應(yīng)分析

(4)頻譜響應(yīng)分析和隨機(jī)振動(dòng)分析(5)屈曲和失穩(wěn)分析

(6)接觸分析。用于接觸邊界定義和摩擦分析。3.失效和破壞分析

包括斷裂分析(線彈性斷裂分析和彈塑性斷裂分析)、裂紋萌生與擴(kuò)展分析、跌落分析和疲勞失效分析。4.熱傳導(dǎo)分析包括穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)分析、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析、熱輻射、強(qiáng)迫對(duì)流及溫度的耦合分析。5.電磁場分析它用于對(duì)電磁場中電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、能量損失等物理量進(jìn)行分析。156.聲場分析它用來研究在含有流體介質(zhì)中聲波的傳播問題，或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。167.流體分析研究流體速度、壓強(qiáng)、密度變化規(guī)律和粘滯流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及粘滯流體中運(yùn)動(dòng)物體受阻力及其它熱力學(xué)性質(zhì)

8.耦合場分析考慮兩種或兩種以上物理場的交叉作用和相互影響(耦合)。

下面介紹一些有限元法應(yīng)用的實(shí)例。

(1)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析，如圖4-16所示。(劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院，用MSC/Nastran完成)圖4-16轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析

17(2)金屬成形過程的分析（用Deform軟件完成）分析金屬成形過程中的各種缺陷。如圖4-17所示，型材在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲。圖4-17型材擠壓成形的分析圖4-18螺旋齒輪成形過程的分析(a)模擬結(jié)果(b)實(shí)物圖4-19T形鍛件的成形分析(3)焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成）圖4-20結(jié)構(gòu)與焊縫布置19圖4-21焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力20圖4-22曲軸的有限元模型圖4-23有限元模型的局部(4)熱處理過程的分析

BMW曲軸的感應(yīng)淬火（InductionquenchingofcrankshaftsatBMW，用SysWeld軟件完成）在曲軸表面獲得壓應(yīng)力，可以提高曲軸的疲勞壽命。21(5)新型燃燒器風(fēng)道的數(shù)值模擬（ANSYS-Fluent軟件模擬）從圖中可以得知旋轉(zhuǎn)氣流的以下特點(diǎn)：

(a)旋轉(zhuǎn)射流的擴(kuò)散角比較大，而且氣流在噴入燃燒室以后的一段距離內(nèi)，中心產(chǎn)生回流區(qū)。由于流量要保持守恒，導(dǎo)致回流區(qū)外的速度比噴口進(jìn)來時(shí)候的初始速度要小。

(b)由于存在中心回流區(qū)，而且旋轉(zhuǎn)射流的湍流擴(kuò)散角度較大，因而回流區(qū)對(duì)周圍介質(zhì)的卷吸能力較大，對(duì)整個(gè)流場產(chǎn)生了很大的擾動(dòng)，使得煤粉顆粒和空氣混合的更好，這有利于著火和火焰的穩(wěn)定。圖4-24速度分布云圖22

圖4-25為風(fēng)道的速度分布云圖，從圖中還可看出，旋流燃燒器的流場可分為兩個(gè)區(qū)域:外圍區(qū)域(也稱為自由漩渦區(qū))和漩渦核心區(qū)(也稱為準(zhǔn)剛體旋轉(zhuǎn)區(qū))。旋轉(zhuǎn)切向速度最大值處即為上述兩個(gè)區(qū)域的分界處。由于旋轉(zhuǎn)離心效應(yīng)，在漩渦核心處產(chǎn)生了明顯的負(fù)壓區(qū)，使流線偏斜，形成強(qiáng)大的回流區(qū)，并使軸向速度分布形成駝峰形分布，在遠(yuǎn)離噴嘴處速度場才逐漸均勻化。對(duì)噴入爐內(nèi)有限空間的旋轉(zhuǎn)射流，除了中心旋渦回流區(qū)外，由于射流外邊界的強(qiáng)烈卷吸作用，也會(huì)產(chǎn)生外回流區(qū)，而形成中心和外圍兩個(gè)大回流區(qū)的穩(wěn)燃熱源。圖4-25湍流速率分布云圖23(6)熱處理過程的分析復(fù)雜形狀工件的組織轉(zhuǎn)變預(yù)測（石偉，用NSHT3D完成）預(yù)測工件的組織分布和機(jī)械性能。圖4-24四分之一工件的有限元模型24圖4-25淬火3.06min時(shí)的溫度分布圖4-26淬火3.06min時(shí)的馬氏體分布4.2彈性力學(xué)的基本原理與有限元分析4.2.1彈性力學(xué)基本概念1.彈性力學(xué)的基本假設(shè)(1)連續(xù)性假設(shè)。假設(shè)物質(zhì)毫無空隙地充滿了整個(gè)物體域空間，物體是沒有空隙的連續(xù)的密實(shí)體。(2)均勻性假設(shè)。假設(shè)物體內(nèi)各處材料的力學(xué)性能完全相同，即從物體中任意取出一個(gè)微元體進(jìn)行分析，都可以使用同一組材料常數(shù)。

(3)完全彈性假設(shè)。假設(shè)除去引起物體變形的外力之后，物體形狀能夠完全恢復(fù)，而沒有任何殘余變形。并且假定材料服從胡克定律，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這樣物體在任意瞬時(shí)，應(yīng)變完全取決于該瞬時(shí)所受外力，而與它之前加載的歷史無關(guān)，與外力施加順序也無關(guān)。

(4)各向同性假設(shè)。假設(shè)物體在各個(gè)方向的力學(xué)性能完全相同，如物體的彈性模量、泊松比不隨方向而變化。

(5)小變形假設(shè)。假設(shè)物體的變形和位移比物體的尺寸小得多。上述五條基本假設(shè)中，前四條是關(guān)于物理方面的，凡是滿足這四條假設(shè)的物體稱為理想彈性體，它是由真實(shí)物體抽象出來的物理模型；第五條假設(shè)是關(guān)于幾何方面的假設(shè)。建立在上述五條基本假設(shè)的彈性力學(xué)稱為經(jīng)典線性彈性力學(xué)。252.彈性力學(xué)基本概念

(1)體力

體力是外載荷的一種，它是隨體積分布的力，如重力和慣性力。物體內(nèi)各點(diǎn)所受的體力可能是不同的，為了表明物體在某一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，圍繞這一點(diǎn)取物體的一小部分，這一小塊的體積假設(shè)為ΔV，如圖4-27所示。圖4-27體力示意圖26

作用在這小塊體積上的力為ΔF，則體力的平均集度為ΔF/ΔV。隨著ΔV的不斷減小，ΔF和ΔF/ΔV都將不斷的改變大小和方向。當(dāng)ΔV無限減小而趨近于P時(shí)，ΔF/ΔV將趨于一定的極限Fv，即

(4-6)27

這個(gè)極限矢量Fv就是物體在P點(diǎn)所受體力的集度，因?yàn)棣是標(biāo)量，所以Fv的方向就是ΔF的極限方向。矢量Fv在三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z上的投影X、Y、Z稱為該物體在P點(diǎn)的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。它們的因次是[力][長度]-3。它們的總體用一個(gè)體力列陣表示為

(2)面力

面力也是一種外載荷，它是作用在物體表面的力，如接觸力和流體壓力。物體在其表面各點(diǎn)所受的面力一般是不同的，為了表明物體在某一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，圍繞這一點(diǎn)在物體表面取一小塊面積ΔA，如圖4-28所示。圖4-28面力示意圖

當(dāng)ΔA無限減小而趨近于點(diǎn)P時(shí)，ΔF/ΔA將趨于某一極限值FA，即(4-7)28

(3)應(yīng)力

應(yīng)力是內(nèi)力的分布集度，是描述物體內(nèi)某位置、沿某一截面分布內(nèi)力的大小和方向的物理量。物體在外力作用下，或由于溫度改變，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。為了研究物體內(nèi)某一點(diǎn)內(nèi)力的情況，假想用經(jīng)過P點(diǎn)的一個(gè)截面mn把物體分成兩部分，如圖4-29所示。

取其中一部分來研究其受力，。圍繞截面上一點(diǎn)P，取微小面積ΔA，設(shè)作用在這小塊面積上的內(nèi)力為ΔF，則內(nèi)力的平均集度為ΔF/ΔA。隨著ΔA的不斷減小，ΔF和ΔF/ΔA都將不斷的改變大小和方向。當(dāng)ΔA無限減小而趨近于點(diǎn)P時(shí)，假定內(nèi)力連續(xù)分布，ΔF/ΔA將趨于某一極限值p，即圖4-29應(yīng)力示意圖(4-8)29

對(duì)于應(yīng)力，通常沿截面的法向和切向?qū)?yīng)力分解為正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，如圖4-29所示。應(yīng)力及其分量的因次是[力][長度]-2。為了研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，圍繞這一點(diǎn)取一個(gè)微小單元體，通常用與坐標(biāo)面平行的平面，截出微小的平行六面體，如圖4-30所示，單元體三個(gè)方向上的尺寸都是非常小的dx、dy、dz。

這個(gè)極限矢量p就是物體在截mn上的、在P點(diǎn)所受內(nèi)力的集度，即P點(diǎn)的應(yīng)力。因?yàn)棣是標(biāo)量，所以p的方向就是ΔF的極限方向。圖4-30單元體及其各面上的應(yīng)力分量單元體每個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力，兩個(gè)切應(yīng)力，分別與坐標(biāo)軸平行。正應(yīng)力的作用面用下標(biāo)進(jìn)行標(biāo)識(shí)，如法線平行于x軸的面稱為x面，x面上的正應(yīng)力記作σx。30圖4-30中各面上的應(yīng)力分量都是正的。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，六個(gè)切應(yīng)力有三組互等關(guān)系，即(4-9)τxy=τyx,τxz=τzx,τyz=τzy

(4-8)

因此，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)完全可以有六個(gè)應(yīng)力分量確定：σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx用一個(gè)應(yīng)力列陣表示為切應(yīng)力用兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)標(biāo)識(shí)作用面第二個(gè)下標(biāo)標(biāo)識(shí)切應(yīng)力方向，如τxy表示x面上的切應(yīng)力，應(yīng)力本身方向沿y軸，而τxz表示x面上的切應(yīng)力，其方向沿z軸。單元體的各個(gè)面，其外法線與坐標(biāo)軸同向時(shí)稱為正面，相反為負(fù)面。正應(yīng)力和切應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定：正面上與坐標(biāo)軸正方向一致為正，相反為負(fù)；負(fù)面上與坐標(biāo)軸正方向一致為負(fù)，不一致為正。正應(yīng)力也可以簡單的記作拉為正、壓為負(fù)。

正應(yīng)變用ε表示，切應(yīng)變用γ表示，用下標(biāo)表示應(yīng)變方向，如εx表示x方向上的線應(yīng)力，γxy表示xy兩方向的線段之間的直角改變量。正應(yīng)變以伸長為正，縮短為負(fù)；切應(yīng)變以直角變小為正，變大為負(fù)。正應(yīng)變和切應(yīng)變都是無量綱數(shù)。由切應(yīng)力互等和胡克定律，可得切應(yīng)變也是兩兩互等的，即(4-10)

用一個(gè)應(yīng)變列陣表示為：(4-11)

在外力作用下的物體，其內(nèi)部各部分將會(huì)發(fā)生變形，變形可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。(4)應(yīng)變32

設(shè)經(jīng)過任意一點(diǎn)P的某斜面上的切應(yīng)力為零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)主平面，而該斜面法線的方向稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主向。假設(shè)P點(diǎn)有一個(gè)應(yīng)力主面存在，由于該面上切應(yīng)力等于零，所以該面上全應(yīng)力就是該面上的正應(yīng)力，即σ。于是該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影為：(6)主應(yīng)力

(5)位移

位移就是位置的移動(dòng)，物體在受力過程中，物體上各點(diǎn)位置將會(huì)發(fā)生變化，這就是該點(diǎn)的位移。位移及其分量的量綱為[長度]，用一個(gè)位移列陣表示為。

(4-12)式中l(wèi)，m，n為斜面法線方向N

的方向余弦。33由部分微元體的平衡條件可得(4-13)

此外還有關(guān)系l2+m2+n2=1

聯(lián)立求解，可得σ，l，m，n的一組解答，即P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力以及對(duì)應(yīng)的主平面方向。求解上式時(shí)，首先把它改寫成(4-15)

這是關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，因?yàn)閘，m，n不可能都等于零，所以方程組的系數(shù)行列式應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?，?4-16)34關(guān)于m1/l1和n1/l1的二元一次方程組：(4-18)由此可求出和，然后由下式求得l1：(4-19)

再由求出m1和n1。

同樣可求得與主應(yīng)力σ2對(duì)應(yīng)的方向余弦l2，m2，n2,及與主應(yīng)力σ3對(duì)應(yīng)的方向余弦l3，m3，n3

。和

可以證明，受力物體內(nèi)一點(diǎn)總是存在三個(gè)主應(yīng)力，即方程總有三個(gè)實(shí)根，并且三個(gè)主應(yīng)力方向是相互垂直的。35(7)主應(yīng)變

由單元體六個(gè)應(yīng)變分量εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx以求出過該點(diǎn)任意方向線應(yīng)變和任意兩線段之間角度的改變，這里給出結(jié)果，詳細(xì)過程見相關(guān)參考文獻(xiàn)。(4-20)

式中l(wèi)、m、n

為過物體內(nèi)一點(diǎn)P的線段PN的方向余弦l1，m1，n1為過P點(diǎn)與PN成θ角的線段PN1的方向余弦，θ’為物體受力變形后線段PN與PN1的夾角，如圖4-31所示。圖4-31過物體內(nèi)一點(diǎn)P的線段PN和PN1(4-21)

36

進(jìn)一步分析還可知，物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主向，這三個(gè)方向的應(yīng)變稱為主應(yīng)變，三個(gè)主應(yīng)變中最大的一個(gè)就是該點(diǎn)的最大線應(yīng)變，三個(gè)主應(yīng)變中最小的一個(gè)就是該點(diǎn)的最小線應(yīng)變。三個(gè)應(yīng)變主向與三個(gè)應(yīng)力主向是重合的，在線彈性范圍內(nèi)，主應(yīng)力、主應(yīng)變服從胡克定律，即(4-22)

4.2.2彈性力學(xué)的基本方程

彈性力學(xué)基本方程的導(dǎo)出，可從三方面分析：靜力學(xué)方面，建立應(yīng)力、體力和面力之間的關(guān)系；幾何學(xué)方面，建立應(yīng)變、位移和邊界位移之間的關(guān)系；物理學(xué)方面，建立應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。通過分析分別得到平衡微分方程、幾何方程和物理方程，統(tǒng)稱為彈性力學(xué)基本方程。1.平衡微分方程

圍繞物體內(nèi)任意一點(diǎn)，取如圖4-30所示的一個(gè)微小平行六面體，它的三組面平行于三個(gè)坐標(biāo)面，各邊長度都是微量dx、dy、dz。外力作用下物體處于靜力平衡狀態(tài)，物體內(nèi)任意一點(diǎn)也處于靜力平衡狀態(tài)，單元體各面上所受應(yīng)力及單元體受到的體力滿足平衡方程。三個(gè)力矩平衡方程再次證明切應(yīng)力互等關(guān)系，三個(gè)力的平衡方程為(4-23)382.幾何方程

過單元體內(nèi)任意一點(diǎn)P，沿坐標(biāo)方向取微分長度PA=dx，PB=dy，PC=dz，分析應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。由應(yīng)變的定義可知，應(yīng)該分別沿三個(gè)坐標(biāo)方向分析，對(duì)于如圖4-32所示的xy坐標(biāo)面而言，假設(shè)彈性體受力變形后，P、A、B分別移動(dòng)到P’、A’、B’點(diǎn)，圖中標(biāo)注出了各點(diǎn)的位移。不計(jì)高階微量，線段PA的正應(yīng)變?yōu)?4-24)圖4-32平面應(yīng)變與位移同樣，線段PB的正應(yīng)變?yōu)椋?4-25)39PA與PB之間直角的改變?chǔ)脁y就是切應(yīng)變，它由兩部分組成的：一部分是由y方向位移v引起的，即x方向的線段PA的轉(zhuǎn)角α；另一部分是由x方向位移u引起的，即y方向的線段PB的轉(zhuǎn)角β。考慮到小變形，有(4-26)

平面問題中的幾何方程

(4-27)同理可得空間問題的幾何方程：(4-28)40

3.物理方程物理方程表述應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，對(duì)于完全彈性的各向同性的物體，它們由廣義胡克定律描述為

(4-29)按照位移求解時(shí)需要的是物理方程的另一種形式：(4-30)41式中：θ=εx+εy+εz為體積應(yīng)變

用矩陣方程表示為：(4-31)

簡寫成

(4-32)式中：[D]稱為彈性矩陣，它完全由彈性常數(shù)E和μ決定。424.邊界條件

彈性力學(xué)基本方程共15個(gè)，由于平衡方程和幾何方程都是微分方程，求解得到定解還需要邊界條件。根據(jù)邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。在位移邊界問題中，物體在全部邊界上的位移是已知的，即

(4-33)其中，在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，這就是位移邊界條件。

在應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上的面力分量是已知的。根據(jù)面力分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可以把面力已知的條件轉(zhuǎn)換成應(yīng)力方面的已知條件，這就是所謂的應(yīng)力邊界條件，即(4-34)

式中：面力分量在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)l、m、n為邊界面外法線方向的方向余弦。43

在混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，即具有位移邊界條件，另一部分邊界則具有已知面力，具有應(yīng)力邊界條件。如圖4-33a所示的固定鉸支和可動(dòng)鉸支處為位移邊界條件，DC邊界上分布面力大小為q，其他邊界上應(yīng)力為零，為面力邊界條件，整個(gè)問題為混合邊界問題。而圖4-33b中同一邊界存在兩種邊界條件：x方向位移為零和y方向應(yīng)力為零。(a)位移邊界條件

(b)兩種邊界條件圖4-33混合邊界問題444.2.3平面問題的基本理論

任何一個(gè)彈性體都是一個(gè)空間物體，一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題，但如果研究的彈性體具有某種特殊形狀，并且所受的外力滿足一定的條件，就可以把空間問題簡化成平面問題。這樣處理，分析和計(jì)算的工作量將大大減少，而所得的結(jié)果仍能滿足工程精度要求。1.平面應(yīng)力問題

假設(shè)有很薄的等厚平板，在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面且不沿厚度變化，這樣的問題就是平面應(yīng)力問題。

設(shè)薄板厚度為t，以薄板的中面（平分板厚的平面）為xy面，z軸垂直于中面，如圖4-34所示。圖4-34平面應(yīng)力問題因?yàn)榘迕嫔喜皇芰?，所以有?/p>

(4-35)因?yàn)榘搴鼙?，外力不沿厚度變化，所以可以認(rèn)為整個(gè)薄板的所有各點(diǎn)都有：

(4-36)由切應(yīng)力互等關(guān)系得。所以稱為平面應(yīng)力問題。

因?yàn)榘搴鼙?，三個(gè)應(yīng)力分量、三個(gè)應(yīng)變分量和兩個(gè)位移分量都可以認(rèn)為不沿厚度變化，即它們只是x和y的函數(shù)，與z無關(guān)。

這樣只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)力分量非零，2.平面應(yīng)變問題

設(shè)有很長的柱形體，在柱側(cè)面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面且不沿長度變化，這樣的問題就是平面應(yīng)變問題。46圖4-35平面應(yīng)變問題46假想該柱體無限長，以任意一橫截面為xy面，z軸垂直于xy面，如圖4-35所示。所有應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，它們只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于柱體無限長，任意一橫截面都可看作對(duì)稱面，所有各點(diǎn)都只會(huì)沿x和y方向移動(dòng)，而不會(huì)有z方向位移，即w=0，εz=γzx=γzy=0，不為零的應(yīng)變分量只有εx，εy，γxy，所以稱為平面應(yīng)變問題。47473.平面問題的基本方程

平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題都只有

8個(gè)獨(dú)立的未知量σx，σy，τxy，εx，εy，γxy，u，v，它們只是x和y的函數(shù)，因此統(tǒng)稱平面問題。平面問題的平衡微分方程

(4-37)平面問題中的幾何方程：(4-38)4848平面應(yīng)力問題中的物理方程

(4-39)或

(4-40)寫成矩陣形式

(4-41)4949記作{σ}=[D]{ε}，其中[D]為彈性矩陣。平面應(yīng)變問題中的物理方程：(4-42)或(4-43)5050寫成矩陣形式

(4-44)同樣記作{σ}=[D]{ε}其中[D]為彈性矩陣。

比較兩種平面問題的彈性矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，將平面應(yīng)力問題物理方程中的彈性常數(shù)E、μ換成，E/(1-μ2)，μ/(1-μ)，就可得到平面應(yīng)變問題物理方程。兩種平面問題的平衡方程和幾何方程是相同的。平面問題的邊界條件

位移邊界條件

(4-45)應(yīng)力邊界條件

(4-46)4.2.4彈性力學(xué)中的能量原理

只要給出邊界條件，理論上完全可以解出空間問題共十五個(gè)未知量，平面問題八個(gè)未知量。這種問題在數(shù)學(xué)上叫做微分方程的邊值問題。通常有三種基本解法，按應(yīng)力求解、按位移求解和混合求解。1.虛位移原理

在理論力學(xué)中我們學(xué)過虛位移原理，它是虛功原理的表達(dá)形式之一，其表述為：物體平衡時(shí)，作用在物體上的所有外力在物體所能發(fā)生的任何一組虛位移上所作虛功的代數(shù)和等于零。

彈性體某位置處在外力作用下實(shí)際發(fā)生的位移分量

u、v、w，既滿足位移分量表達(dá)的平衡微分方程，又滿足邊界條件以及用位移分量表達(dá)的應(yīng)力邊界條件。假想這些位移分量發(fā)生了邊界條件所允許的微小改變，即所謂虛位移或位移變分δu、δv、δw成為：(4-47)5152則外力在虛位移上所作的虛功為

(4-48)

假定在發(fā)生虛位移的過程中，沒有其他形式的能量損失，依據(jù)能量守恒定理，變形勢能的增加等于外力在虛位移上所作的功，即虛應(yīng)變能等于外力虛功

(4-49)

此式稱為位移變分方程，也稱拉格朗日變分方程，式中U為彈性體的變形勢能。將上式左邊的變形勢能變分，即虛應(yīng)變能改寫為應(yīng)力在虛位移引起的虛應(yīng)變上所作的虛功，就得到：

(4-50)這就是虛功方程?？梢詫懗删仃嚤磉_(dá)形式5353

(4-51)2.極小勢能原理

由于虛位移是微小的，可以認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中外力保持為常量，則拉格朗日變分方程右邊積分號(hào)內(nèi)的變分符號(hào)可移至積分號(hào)外面(4-52)

括號(hào)內(nèi)為外力功，即外力勢能的負(fù)值。記外力勢能為

W，總勢能為Π，由上式得到

(4-53)其中彈性體的變形勢能U為

(4-54)

式(4-76)說明滿足位移邊界條件的所有位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢能最小54544.2.5基于彈性力學(xué)的有限元求解法1.有限元法求解問題的基本步驟

(1)建立力學(xué)模型

首先，在盡可能反映工程實(shí)際的基礎(chǔ)上對(duì)工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何簡化，一般分為一維問題、二維問題和三的維問題(2)連續(xù)體離散化

根據(jù)所建立的力學(xué)模型選用合適的單元將連續(xù)體劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的單元集合。(3)單元分析單元分析包括位移模式選擇，單元力學(xué)分析兩個(gè)內(nèi)容.(4)整體分析和有限元方程求解(5)結(jié)果后處理和分析

2.連續(xù)體離散化

一個(gè)結(jié)構(gòu)經(jīng)過力學(xué)簡化以后通常變?yōu)榱簵U、板殼、實(shí)體或它們的組合，要進(jìn)行有限元分析必須進(jìn)行離散化，即建立有限元模型，就是把結(jié)構(gòu)用不同的單元?jiǎng)澐譃橹辉诮Y(jié)點(diǎn)上彼此連接的有限個(gè)單元組成的離散體。5555(1)桿狀單元

平面桁架、空間網(wǎng)架是工程中常見的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的主要受力構(gòu)件是桿件，其截面尺寸遠(yuǎn)小于軸向尺寸。這類單元主要有平面桿單元和空間桿單元，如圖4-36所示。(a)平面桿單元

(b)空間桿單元

圖4-36桿單元

桿單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，只能承受軸向的拉壓載荷，平面桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，空間桿單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度。

為了使有限元模型能夠準(zhǔn)確地體現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)，必須選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋汀?656圖4-37梁單元(2)平面單元

常見的平面單元有三角形單元和四邊形單元，矩形單元是經(jīng)常采用的特殊的四邊形單元，如圖4-38所示圖4-38平面單元

桿狀單元還有用于求解平面剛架和空間剛架問題的梁單元，如圖4-37所示

(a)平面梁單元

(b)空間梁單元

(a)三角形單元

(b)矩形單元

5757(3)薄板彎曲單元和薄板單元

薄板彎曲單元通常也有三角形單元和四邊形單元兩種，矩形單元為后者的特殊形式，通常三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，四邊形單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)。主要承受橫向載荷和繞水平軸的彎矩。如果撓度與板厚相比是小量時(shí)，板的中面應(yīng)變可以忽略不及，如圖4-39所示單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，這樣的單元一般稱為薄板彎曲單元。圖4-39薄板彎曲單元(a)四邊形彎曲單元(b)三角形彎曲單元5858

但如果撓度與板厚相比不再為小量，如金屬板，當(dāng)撓度w與板厚t的關(guān)系在t/5≤w≤5t范圍內(nèi)，板的中面應(yīng)變就不能忽略，如圖4-40所示，面內(nèi)的兩個(gè)自由度也要一并考慮，導(dǎo)致單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上就要有五個(gè)自由度，此類單元一般稱為薄板單元。圖4-40薄板單元

(a)四邊形薄板單元(b)三角形薄板單元5959(4)多面體單元常用的三維多面體單元有四節(jié)點(diǎn)四面體單元和八節(jié)點(diǎn)六面體單元，六面體單元有規(guī)則六面體和不規(guī)則六面體，如圖4-41所示(a)四面體單元(b)六面體單元圖4-41多面體單元(5)等參單元把單元形狀的變化和單元內(nèi)位移函數(shù)的變化用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換，即所謂等參變換，采用等參變換的單元稱為等參單元。下面以四節(jié)點(diǎn)四邊形單元為例說明等參單元，如圖4-42所示60(a)任意四邊形單元(b)對(duì)應(yīng)的矩形單元

圖4-42四邊形等參元的原理矩形單元的節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部任意一點(diǎn)都與總體坐標(biāo)系中單元的節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為：(4-55)其中的映射函數(shù)同時(shí)作為形函數(shù)（在單元分析中會(huì)給出具體表達(dá)式）V用，以這種方式建立的單元叫等參單元。6161(6)軸對(duì)稱單元進(jìn)行軸對(duì)稱問題有限元分析時(shí)，通常采用柱坐標(biāo)系來描述軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，軸向、徑向和周向坐標(biāo)分別用z、r和θ表示，單元類型為實(shí)心圓環(huán)體，圓環(huán)體截面可以是三節(jié)點(diǎn)三角形，如圖4-43a所示，也可以是四節(jié)點(diǎn)矩形，如圖4-43b所示單元之間用圓環(huán)形的鉸相互連接，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度(a)三角形環(huán)單元(b)四邊形環(huán)單元

圖4-43軸對(duì)稱參元

圖4-44回轉(zhuǎn)圓錐薄殼單元當(dāng)回轉(zhuǎn)體為薄殼結(jié)構(gòu)時(shí)，采用回轉(zhuǎn)薄壁殼單元，如圖4-44所示，該單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，兩個(gè)位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角自由度，此單元的分析類似于平面梁單元。3.單元分析

單元分析是有限元分析中最為關(guān)鍵的一環(huán)，包括位移插值函數(shù)的選擇，單元應(yīng)力應(yīng)變分析、作用在單元上的載荷向單元節(jié)點(diǎn)的移置等內(nèi)容(1)單元的插值函數(shù)在有限元分析中一般都采用多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)由所選取的單元和單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)決定，如對(duì)于平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元有如下插值函數(shù)6363(4-56)式中的上標(biāo)e表示單元，而對(duì)于圖4-45所示六節(jié)點(diǎn)三角形單元?jiǎng)t有如下插值函數(shù)(4-57)圖4-45六節(jié)點(diǎn)三角形單元示意圖下面以平面矩形單元為例說明如何由插值函數(shù)得到形函數(shù)，單元如圖3-3b所示。四節(jié)點(diǎn)矩形單元的插值多項(xiàng)式為(4-58)6464在已知四個(gè)節(jié)點(diǎn)位移的前提下任意一點(diǎn)位移可表示為(4-59)式中的N就是形函數(shù)，其表達(dá)式為(4-60)上式如果令，形函數(shù)可寫如下成無量綱形式：(i,j,l,m)(4-61)6565則式(4-59)就可以用矩陣表示為：(4-62)式中：為節(jié)點(diǎn)位移列向量形函數(shù)應(yīng)有如下特征：(a)本節(jié)點(diǎn)上為1，其它節(jié)點(diǎn)上為0，即(i,j,l,m)(4-63)6666(b)在單元內(nèi)任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1，即(4-64)這一性質(zhì)反映單元的剛體位移(c)單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，而與其他節(jié)點(diǎn)無關(guān)，這一性質(zhì)可以保證相鄰單元在公共邊界上位移的連續(xù)性。(a)位移模式必須包括單元的剛體位移。(b)位移模式還必須包括單元的常應(yīng)變狀態(tài)(c)位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，在單元的公共邊界處協(xié)調(diào)，即單元的變形在單元之間不能開裂或重疊在這三個(gè)條件中，前(a)、(b)條是必要條件，第(c)條是充分條件為了保證有限元解答的正確性，要滿足的條件有：(2)單元分析單元位移確定以后，就可以利用幾何方程和物理方程求得單元的應(yīng)力和應(yīng)變。下面仍以平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元為例推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?。由彈性力學(xué)平面問題的幾何方程可知，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?4-65)式中[B]稱為應(yīng)變矩陣，其分塊子矩陣為(4-66)68代入無量綱插值函數(shù)上式可寫為(4-67)式中再由彈性力學(xué)平面問題物理方程單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力可表示為(4-68)式中[S]為應(yīng)力矩陣，[D]為彈性矩陣其表達(dá)式為(4-69)E是楊氏模量，μ是泊松比。應(yīng)力矩陣[S]的分塊子矩陣為：(4-70)69代入無量綱形函數(shù)上式變?yōu)?4-71)對(duì)于平面應(yīng)變問題，只需將上式中的E和μ分別用和代替即可利用虛功原理可求得單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式(4-72)令上式簡化為稱為單元?jiǎng)偠染仃?，t為單元厚度。單元?jiǎng)偠染仃嚳煞謮K表示為(4-74)70(4-73)對(duì)于平面應(yīng)力問題每一個(gè)子塊為(4-75)式中：其中，r和p遍歷i、j、l和m得到單元?jiǎng)偠染仃?。?duì)于平面應(yīng)變問題，只需將上式中的E和μ分別用和代替即可。71根據(jù)有限元原理，所有作用在結(jié)構(gòu)上的載荷必須等效的移置到節(jié)點(diǎn)上。因此，需將結(jié)構(gòu)上的載荷按照靜力等效的原則向節(jié)點(diǎn)移置，化為等效節(jié)點(diǎn)載荷。(3)載荷移置72仍以平面問題四節(jié)點(diǎn)單元為例，假設(shè)作用在矩形單元上的體力為，分布面力是，集中力為(a)集中力。等效載荷為(4-76)由虛功原理得到(4-77)或(4-78)(b)體力。等效載荷為(4-79)73由虛功原理有(4-80)或：(4-81)(c)分布面力。等效載荷為(4-82)由虛功原理有(4-83)7474其分量形式為(4-84)式中：S為單元上作用有外載荷的邊界。4.整體分析在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了單元分析和節(jié)點(diǎn)載荷移置以后，就可以對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析了。假定整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣為{δ}2n×1，它是把節(jié)點(diǎn)位移按總體編碼由小到大排列起來得到的，即(4-85)式中節(jié)點(diǎn)i的位移分量表示為(i=1,2,...,n)(4-86)7575同理節(jié)點(diǎn)載荷列陣為{F}2n×1，它是把每個(gè)移置到節(jié)點(diǎn)上的載荷相加并按總體編碼由小到大排列起來得到的，即有(4-87)式中:(4-88)是節(jié)點(diǎn)i的等效節(jié)點(diǎn)載荷將單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的局部編碼和節(jié)點(diǎn)整體編碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充為一個(gè)2n×2n的矩陣。對(duì)于每一個(gè)單元都可以根據(jù)編碼關(guān)系得到以下一個(gè)矩陣：7676(4-89)把上式得到的N個(gè)單元進(jìn)行疊加求和，就得到整體剛度矩陣，即(4-90)7777其分塊形式為(4-91)式中：krp是2×2的子矩陣，按下式計(jì)算(r=1,2,...,n;p=1,2,...,n)(4-91)7878它是單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)充為2n×2n階之后，在同一位置上的子矩陣之和。至此就得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的所有2n×2n個(gè)線性代數(shù)方程組，即(4-90)式中：[K]稱為整體剛度矩陣。整體剛度矩陣具有以下性質(zhì)：(a)整體剛度矩陣是對(duì)稱的稀疏矩陣，矩陣中各個(gè)元素都集中分布于對(duì)角線附近，形成“帶狀”，其余元素均為零。(b)由于單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角線上的元素均大于零，由整體剛度形成的方式可知，整體剛度矩陣的主對(duì)角線元素必然大于零。(c)未經(jīng)約束條件處理的剛度矩陣是奇異矩陣。故在求解有限元方程時(shí)，需要根據(jù)約束條件，修正結(jié)構(gòu)剛度矩陣以消除奇異性5.邊界條件處理常用下列方法處理邊界條件(1)劃行劃列法(2)對(duì)角線元素置1法(3)對(duì)角線元素乘大數(shù)法79796.求解、計(jì)算結(jié)果的整理和有限元后處理有限元方程是一個(gè)聯(lián)立的線性代數(shù)方程組，一般有兩大類解法，一是直接解法，二是迭代法。直接解法有高斯消元法和三角分解法，如果方程規(guī)模比較大時(shí)，可用分塊解法或波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯－賽德爾迭代法和超松馳迭代法等。應(yīng)力要進(jìn)行平均化處理。通常采用兩種方法進(jìn)行處理：(1)繞節(jié)點(diǎn)平均法，即依次把圍繞節(jié)點(diǎn)的所有單元的應(yīng)力加起來平均，以此平均應(yīng)力作為該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力(2)二單元平均法，即把相鄰兩單元的應(yīng)力加以平均并以此作為公共邊節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力。整理和對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理，一是要得到結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵位置力學(xué)量的數(shù)值，如最大位移、最大主應(yīng)力和主應(yīng)變、等效應(yīng)力等。另一個(gè)是得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)量的分布，如根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以直接繪制位移分布圖，結(jié)構(gòu)邊界上節(jié)點(diǎn)位移的連線形成結(jié)構(gòu)外形的改變；對(duì)于應(yīng)力也可以繪制應(yīng)力分布圖；以及典型切面上位移、應(yīng)力和應(yīng)變的分布等。第三，后處理得到輸入量和輸出量之間的響應(yīng)關(guān)系。80804.3.1ANSYS有限元軟件簡介及應(yīng)用ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁、聲學(xué)于一體的大型通用有限元軟件，可廣泛的用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、汽車交通、國防軍工、電子、土木工程、生物醫(yī)學(xué)、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學(xué)研究。1.主要技術(shù)特點(diǎn)：?能實(shí)現(xiàn)多場及多場耦合分析的軟件?能實(shí)現(xiàn)前后處理、求解及多場分析統(tǒng)一數(shù)據(jù)庫的一體化大型FEA軟件?具有多物理場優(yōu)化功能的FEA軟件?強(qiáng)大的非線性分析功能?多種求解器分別適用于不同的問題及不同的硬件配置?支持異種、異構(gòu)平臺(tái)的網(wǎng)絡(luò)浮動(dòng)，在異種、異構(gòu)平臺(tái)上用戶界面統(tǒng)一、數(shù)據(jù)文件全部兼容?強(qiáng)大的并行計(jì)算功能支持分布式并行及共享內(nèi)存式并行?多種自動(dòng)網(wǎng)格劃分技術(shù)?良好的用戶開發(fā)環(huán)境8181(1)CAD網(wǎng)格自動(dòng)化在ANSYS14.0中，裝配體網(wǎng)格工具能自動(dòng)從CAD裝配體中抽取流體域，而且，它能根據(jù)用戶的目標(biāo)和偏好，自動(dòng)創(chuàng)建Cut-cell的結(jié)構(gòu)化直角網(wǎng)格（六面體網(wǎng)格單元）或者非結(jié)構(gòu)化的四面體網(wǎng)格。ANSYSWorkbench網(wǎng)格技術(shù)能在復(fù)雜的CAD裝配體中自動(dòng)抽取流體域并劃分網(wǎng)格。圖4-46在復(fù)雜的CAD裝配體中自動(dòng)抽取流體域并劃分網(wǎng)格圖2.ANSYS14.0新特點(diǎn)及應(yīng)用8282(2)復(fù)合材料來自TUChemnitz和GHOST自行車公司的自行車模擬案例是用隱式求解器模擬的，而棒球棍是用顯式求解器模擬的，如圖4-47所示圖4-47自行車與棒球棒的模擬案例ANSYS13.0引入的這些功能在ANSYS14.0中得到了加強(qiáng)，提供給用戶附加的控制和修正功能。葉片溫度場的讀入，實(shí)際的溫度場如圖4-48a所示，評(píng)估插值質(zhì)量的驗(yàn)證工具圖4-48b所示(3)外部數(shù)據(jù)映射(a)(b)圖4-48葉片溫度場的讀入與評(píng)估插值質(zhì)量驗(yàn)證838484(4)旋轉(zhuǎn)機(jī)械在ANSYSMechanical中的實(shí)體或線體，帶有坎貝爾結(jié)構(gòu)的單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界速度目前能在ANSYS14.0中得到判斷了，如圖4-49所示。ANSYSMechanical中的坎貝爾圖(圖4-49b)表明了速度變化后的結(jié)構(gòu)模態(tài)變化，確定了臨界速度和每個(gè)模態(tài)的穩(wěn)定性(a)(b)圖4-49帶有坎貝爾結(jié)構(gòu)的單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界速度驗(yàn)證8585(5)雙向耦合同時(shí)利用了計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）和計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的功能促進(jìn)了高可信地分析復(fù)雜多物理場問題。廣為人知的例子就是流固耦合（FSI）圖4-50為血液流過三葉二尖瓣閥的雙向瞬態(tài)流固耦合分析，流體是非牛頓流，材料是各向異性的超彈組織。圖4-50血液流過三葉二尖瓣閥的雙向瞬態(tài)流固耦合分析(6)多分散流模擬ANSYS14.0包括了增強(qiáng)的顆粒流和相變模型。例如，你既可以在歐拉模型也可以在拉格朗日模型框架下實(shí)現(xiàn)顆粒尺寸分布的流動(dòng)。你也能在沸騰應(yīng)用中更好的預(yù)測燒干現(xiàn)象。圖4-51為流化床中煤的顆粒。顏色代表不同直徑的顆粒，淺色顆粒是懸浮的，深色顆粒是在設(shè)備底部堆積的。這是一個(gè)典型的離散元模型和密相DPM模型耦合來獲得高精度解的例子。圖4-51流化床中煤的顆粒8787(7)三維集成電路封裝利用ANSYSIcePak14.0，工程師們能夠快速仿真三維層疊芯片和封裝中封裝（PoP）結(jié)構(gòu)的熱相應(yīng)。圖4-51為1U網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器的空氣流動(dòng)流線和溫度等高線圖，多層側(cè)的六面體網(wǎng)格能夠準(zhǔn)確地描述復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)。圖4-511U網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器的空氣流動(dòng)流線和溫度等高線圖8888(8)有限大陣列分析圖4-52為利用新的有限大陣列天線分析功能得到8×8天線陣列的遠(yuǎn)場方向圖圖4-52利用新的有限大陣列天線分析功能得到8×8天線陣列圖89894.3.2ABAQUS有限元軟件簡介及應(yīng)用ABAQUS是一套功能強(qiáng)大的基于有限元方法的工程模擬軟件，它可以解決從相對(duì)簡單的線性分析到極富挑戰(zhàn)性的非線性模擬等各種問題。1.Abaqus的分析步驟：有限元分析包括以下三個(gè)步驟：前處理、分析計(jì)算和后處理。這三個(gè)步驟在ABAQUS中的實(shí)現(xiàn)方法如下前處理在前處理階段需要定義無力問題的模型，并生成一個(gè)abaqus輸入文件分析計(jì)算在分析計(jì)算階段，使用abaqus/standard或abaqus/explicit求解輸入文件所定義的數(shù)值模型，通常以后臺(tái)方式運(yùn)行，分析結(jié)果保存在二進(jìn)制文件中，以便于后處理。完成一個(gè)求解過程。所需的時(shí)間取決于問題的復(fù)雜程度和計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，可以從幾秒到幾天不等后處理Abaqus/cae的后處理部分又稱為abaqus/viewer,可以用來讀入分析救過數(shù)據(jù),以多種方法顯示分析結(jié)果,包括彩色云紋圖、動(dòng)畫、變形圖和XY曲線圖等。90圖4-53abaqus的操作界面2.Abaqus的各模塊簡介

Part（部件）：用戶在Part模塊里生成單個(gè)部件，可以直接在ABAQUS/CAE環(huán)境下用圖形工具生成部件的幾何形狀，也可以從其它的圖形軟件輸入部件。

Property（特性）：截面（Section）的定義包括了部件特性或部件區(qū)域類信息，如區(qū)域的相關(guān)材料定義和橫截面形狀信息。在Property模塊中，用戶生成截面和材料定義，并把它們賦于(Assign)部件。

Assembly（裝配件）：所生成的部件存在于自己的坐標(biāo)系里，獨(dú)立于模型中的其它部件。用戶可使用Assembly模塊生成部件副本(instance)，并且在整體坐標(biāo)里把各部件的副本相互定位，從而生成一個(gè)裝配件。一個(gè)ABAQUS模型只包含一個(gè)裝配件。Step（分析步驟）：用戶用Step模塊生成和配置分析步驟與相應(yīng)的輸出需求。分析步驟的序列提供了方便的途徑來體現(xiàn)模型中的變化（如載荷和邊界條件的變化）。在各個(gè)步驟之間，輸出需求可以改變。91