2024屆廣東省湛江市高三上學期10月調研數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆廣東省湛江市高三上學期10月調研數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先化簡復數(shù)z，再利用復數(shù)的模公式求解.【詳解】解：因為，所以，故選：A2．已知集合，則的真子集的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】解絕對值不等式求集合B，列舉法及交集運算求中元素個數(shù)，即可得答案.【詳解】由題設，則，所以共有個子集，其中3個真子集.故選：C3．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】由，得，因為，所以，解得.故選：B.4．已知函數(shù)的最小值為0，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結合輔助角公式運算求解.【詳解】因為，其中，由題意可知：，且，解得.故選：D.5．已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再根據(jù)及M點坐標即可求出答案.【詳解】解：由題意得：因為該雙曲線的一條漸近線方程是，則，又由，可得，由過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，可知M的橫坐標為，代入橢圓方程即可得：，，又有，可知，所以.故選：D6．某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】A【分析】由列舉法，結合分類計數(shù)原理即可求解.【詳解】用表示編號的面試者回答的試題為，其中，所以的全部可能情況有：，所以共有9種，故選：A7．已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒有極值點【答案】D【分析】令，結合題設為上任意值且，得到為常函數(shù)，進而判斷各項的正誤.【詳解】令，則，所以，且為定義域內任意值，故為常函數(shù).令，則，為奇函數(shù)且沒有極值點，C錯，D對；所以不恒成立，不一定成立，A、B錯.故選：D8．已知拋物線的焦點為的準線與軸交于點是上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義，當取最大值時，即取得最小值，即當與拋物線相切時，當點在坐標原點時，此時，即的最小值為1，得解.【詳解】設拋物線的準線為，作（如圖），則，當取最大值時，取得最小值，當且僅當與拋物線相切于點時，等號成立，當與拋物線相切時，設直線的方程為，代入，可得，由，解得，不妨設點在第一象限，即，則，，，即，所以的最大值為，又當點在坐標原點時，此時，即的最小值為1，故的取值范圍為.故選：C.二、多選題9．某商店的某款商品近5個月的月銷售量（單位：千瓶）如下表：第個月12345月銷售量2.53.244.85.5若變量和之間具有線性相關關系，用最小二乘法建立的經驗回歸方程為，則下列說法正確的是（

）A．點一定在經驗回歸直線上B．C．相關系數(shù)D．預計該款商品第6個月的銷售量為7800瓶【答案】AB【分析】對于A，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可求出樣本中心點進行判斷，對于B，將樣本中心點代入回歸方程可求出判斷，對于C，由進行判斷，對于D，將代入回歸方程求解判斷.【詳解】對于A，，所以樣本點中心一定在經驗回歸直線上，所以A正確，對于B，因為樣本點中心一定在經驗回歸直線上，所以，解得，所以B正確，對于C，因為，所以變量與成正相關，所以相關系數(shù)，所以C錯誤，對于D，當時，，預計該款商品第6個月的銷售量為6280瓶，所以D錯誤，故選：AB10．已知大氣壓強隨高度的變化滿足關系式是海平面大氣壓強，.我國陸地地勢可劃分為三級階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級階梯第二級階梯第三級階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級階梯海拔的范圍，設在第一、二、三級階梯某處的壓強分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，列出不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質解對數(shù)不等式即可求解.【詳解】設在第一級階梯某處的海拔為，則，即.因為，所以，解得A正確；由，得.當時，，即，所以，B錯誤；設在第二級階梯某處的海拔為，在第三級階梯某處的海拔為，則兩式相減可得.因為，所以，則，即，故均正確.故選:ACD.11．已知函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．有且只有一個零點B．C．，直線與的圖象相切D．【答案】AD【分析】對函數(shù)進行求導得，則函數(shù)的單調性可知，結合可判斷A，由于時，，時，，則B選項可判斷，由可判斷C，先求出，再結合可驗證D.【詳解】因為，所以在上單調遞減，，A正確.當時，，當時，，B錯誤.，不可能存在斜率為的切線，C錯誤.因為，所以，D正確.故選：AD.12．如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準備將該木塊鋸開，則下列關于截面的說法中正確的是（

）A．過棱的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個【答案】ACD【分析】利用平面的性質確定截面，再解三角形即可判定A、B，利用基本不等式可判定C，利用空間想象結合圖形性質分類討論可判定D項.【詳解】設截面與棱的交點為，對于A項，如圖1，過棱的截面為，易知當為棱的中點時，,且，平面，故平面，取的中點，連接，則，又平面，，即是異面直線的公垂線，，故此時的面積取得最小值，最小值為，正確；對于B項，易知，故結合A項，可設，在中，由余弦定理，所以，即，B錯誤；對于C項，如圖2，當截面為平行四邊形時，，，由正四面體的性質可知，故，從而平行四邊形為長方形.設，則，所以長方形的面積，當且僅當時，等號成立，正確；對于D項，與該木塊各個頂點的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個.第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.故與該木塊各個頂點的距離都相等的截面共有7個，D正確.故選：ACD三、填空題13．若是增函數(shù)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調性的規(guī)律方法，即可求解.【詳解】函數(shù)分為外層函數(shù)，，是增函數(shù)，若要是增函數(shù)，則函數(shù)是增函數(shù)，則.故答案為：14．如圖，一個圓柱內接于圓錐，且圓柱的底面圓半徑是圓錐底面圓半徑的一半，則該圓柱與圓錐的體積的比值為.【答案】/【分析】設該圓柱的底面圓半徑為，高為，則圓錐的底面圓半徑為，高為，然后表示出圓柱和圓錐的體積，從而可求得結果.【詳解】設該圓柱的底面圓半徑為，高為，則該圓柱的體積為.因為一個圓柱內接于圓錐，且圓柱的底面圓半徑是圓錐底面圓半徑的一半，所以圓錐的底面圓半徑為，高為，則該圓錐的體積為.故該圓柱與圓錐的體積的比值為.故答案為：15．已知直線關于的對稱直線與圓存在公共點.則的取值范圍為.【答案】【分析】先求出直線l關于的對稱直線，再根據(jù)直線與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】若，此時直線關于的對稱直線為，由圓的標準方程可知，圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，符合題意，若，直線與的交點坐標為，該點也在對稱直線上，易知為直線上的點，且點關于的對稱點為，對稱直線的斜率為，代入點，得直線關于的對稱直線為，由題意，，解得.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.16．已知正項數(shù)列滿足，，則.【答案】【分析】先根據(jù)利用基本不等式證明，再根據(jù)條件解得，說明是常數(shù)列，每一項都是.【詳解】因為，所以，即，故，當且僅當時，等號成立.設，可得，解得，故是常數(shù)列，每一項都是.故答案為：【點睛】先證明數(shù)列的項大于等于或者小于等于某個常數(shù)，再證明數(shù)列的某一項等于這個常數(shù)，可以證明數(shù)列是一個常數(shù)列.四、解答題17．如圖，在中，點在邊上，且.已知.

(1)求A；(2)若的面積為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用誘導公式和倍角公式運算求解即可；（2）作，垂足為，根據(jù)題意可得，利用余弦定理運算求解.【詳解】（1）因為，可得，又因為，所以.（2）作，垂足為，

在中，因為，可知為等腰直角三角形，又因為，則，由的面積為，解得，可得，所以.18．函數(shù)在上的零點從小到大排列后構成數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本性質，求得其在內的零點，分情況，可得答案；（2）由題意，可得數(shù)列的通項公式，結合等差數(shù)列的性質，可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期為.函數(shù)在上的零點分別為.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當為奇數(shù)時，.數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即當為偶數(shù)時，.綜上，（2），顯然數(shù)列為等差數(shù)列.所以其前項和為.19．如圖，在直三棱柱中，，點在棱上，點在棱上，.(1)若，求；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，設，求出相關各點的坐標，求出，求，即可；（2）求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【詳解】（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設，則.因為，所以，則，解得.故.（2）由，得.設平面的法向量是，則即，取，得.設平面的法向量是，則即，取，得.因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20．甲、乙兩人準備進行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結果相互獨立.經抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.(1)求前4個回合甲發(fā)球兩次的概率；(2)求第4個回合甲發(fā)球的概率；(3)設前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）前4個回合甲發(fā)球兩次可分為3種情況，分別求概率再相加即可；（2）先求出第2回合甲乙發(fā)球的概率，進而得到第3回合甲乙發(fā)球的概率，進而可得第4回合甲乙發(fā)球的概率；（3）根據(jù)隨機變量的取值，利用獨立性概率公式可得.【詳解】（1）前4個回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為.第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為.第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為.故前4個回合甲發(fā)球兩次的概率為.（2）第2回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第3回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第4個回合甲發(fā)球的概率為.（3）可以取1，2，3，4.當時，；當時，；由（1）得，當時，；當時，.的分布列為1234.五、證明題21．已知點和直線，動點到點的距離與到直線的距離之比為.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線交于兩點，若點的坐標為，直線與軸的交點分別是，證明：線段的中點為定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題意得到，整理得到答案.（2）排除斜率不存在的情況，設出直線，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，計算，，確定，得到證明.【詳解】（1）設，則，，整理得，即，故動點的軌跡的方程為.（2）當直線斜率不存在時不成立，故設直線的方程為.聯(lián)立得.由，得，整理得.設，則.直線的方程為，令，得，同理.，所以，所以線段的中點坐標為，故線段的中點為定點.【點睛】關鍵點睛：本題考查了軌跡方程，定點問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用設而不求的思想，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，可以簡化運算是解題的關鍵，需要熟練掌握.六、解答題22．（1）證明：函數(shù)在上單調遞減.（2）已知函數(shù)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）對函數(shù)求導并構造函數(shù)，并討論其單調性，即可求出函數(shù)在上的單調性；（2）對函數(shù)進行求導，構造函數(shù)并求導，通過討論與之間的關系，結合是的極小值點，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意證明如下，在中，.令函數(shù).當時，，所以在上單調遞增.因為，所以當時，恒成立，故在上單調遞減.（2）由題意及（1）得，