2022考研數(shù)學(xué)巧用對稱性計(jì)算第二類空間曲線積分

2022考研數(shù)學(xué)：巧用對稱性計(jì)算第二類空間曲線積分

曲線積分和曲面積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要章節(jié)，是考研數(shù)學(xué)(一)的必考

內(nèi)容之一，也是一個難點(diǎn).由于空間曲線積分和曲面積分需要一定的空間想象能

力,并且其計(jì)算也相對比較復(fù)雜，因此有很多同學(xué)對這一部分理解起來比較困難,

學(xué)起來比較吃力。為了幫助同學(xué)們更好地理解和掌握這部分知識，對第二類空間

曲線積分中的對稱性及其運(yùn)用進(jìn)行一些分析，供2022年考研數(shù)學(xué)(一)的同學(xué)

和學(xué)習(xí)這部分的在校同學(xué)參考。

一、第二類空間曲線積分的對稱性

第二類空間曲線積分的對稱性包括以下多種情形：

1)若空間曲線L關(guān)于wy平面對稱，L在叩y平面上方部分為右，則

[0,尸關(guān)于z為偶函數(shù)

1加=2fP公,P關(guān)于z為奇函數(shù)7

I

[0,。關(guān)于Z為偶函數(shù)[0,R關(guān)于Z為奇函數(shù)

Ja=關(guān)于z為奇函數(shù)/R"z=2f&Zz,R關(guān)于Z為偶函數(shù)，即對于

jP公和jQdy是偶零奇倍,對于jAdz是奇零偶倍。

注：若曲線L關(guān)于約z平面或關(guān)于2”平面對稱，則有類似結(jié)論。

x=(p(t)

證:設(shè)乙的參數(shù)方程為y=〃⑺，其中f：a一尸，則L在my平面下方部分曲線乙

Z=雙。

X=(p(t)

的方程為＜y=⑺,其中t邙Ta，如圖所示：

Z=一頌E)

/Pdx=^Pdx+^Pdx=y/(t\co(t)](pr(t)dt+JJP[(p(t\-co(t)](p(t)dt

=I{夕[0。),〃?),①。)]一2[。(，),〃。),一①?)]}9。)力，

Ja

若P關(guān)于z是偶函數(shù)，則”Q),-0⑺]=PQ⑺,〃⑺，口⑺],JP公=0;

若P關(guān)于z是奇函數(shù)，則P[天才),”"),-<y(f)]=-P[e(f),”《),&?)],

[Pdx=2,P[(p{t\co(t)\(p'(t)dt=2fPdx,

JLJaJ。

[0,P關(guān)于z為偶函數(shù)_[0,。關(guān)于z為偶函數(shù)

故"公=付P公,P關(guān)于Z為奇函數(shù)，同理J,3=2]0辦,。關(guān)于2為奇函數(shù).

類似可得，Rdz=J：{R[(p(t),〃⑺,旗/)]+〃⑺,-以。]}(o'(t)dt

若氏關(guān)于2是偶函數(shù)則[&勿=2『用°?),〃(。,兇)]力(。故=2]應(yīng)左；

[0,R關(guān)于z為奇函數(shù)

若R關(guān)于z是奇函數(shù)則J/dz=0,故J/龍=2]Rdz,R關(guān)于z為偶函數(shù)■

I%

2)若空間曲線L關(guān)于原點(diǎn)對稱，且L過原點(diǎn)，心在原點(diǎn)一側(cè)的部分為右，則

.[0,P關(guān)于(X,y,Z)為奇函數(shù),,

fP公="D,口壬不/、％俚擊的,對[Q〃y和]應(yīng)/z亦有類似結(jié)論。

L.2RZx,P關(guān)于(x,y,z)為偶函數(shù)LJI-

、J。

X=(p(t)

證：設(shè)乙的參數(shù)方程為y=沙⑺，其中f:af力，則L在原點(diǎn)另T則的部分L2的

z=<y(z)

x=-<p(t)

方程為<y=，⑺，其中t邙ta，如圖所示:

Z=一頷。

=，PSQ),些Q),co(t)](p'(t)dt+J；-沙⑺,-0⑺][一“⑺]力

=[{P[(p(t),y/(t),a)(t)]+P1-(p(t),}(p(t)dt,

Ja

若P關(guān)于(x,y,z)是奇函數(shù)，則

P[-OQ),-勿=-P[。⑺，〃⑺，旗力P公=0;

若P關(guān)于(x,y,z)是偶函數(shù),則打-夕⑺,-〃⑺,)]=P[的),“⑺,兇)],

[Pdx=2\'P[(p(t\\//(t\a){t}\(p'(j)dt=1\Pdx；

JLJaJL,

fo,P關(guān)于(x,y,z)為奇函數(shù)

故"公=2/&x,P關(guān)于(x,y,z)為偶函數(shù)。

3)若空間曲線L關(guān)于原點(diǎn)對稱，且L不過原點(diǎn)，乙在%。)，平面上方部分為右，

則

[0,尸關(guān)于(x,y,z)為偶函數(shù)

卜人2]P關(guān)于(”z)為奇函數(shù)，對]＞和)＞亦有類似結(jié)論。

X=(p(t)

證：設(shè)右的參數(shù)方程為y=叭t)，其中r:a一4，則L在原點(diǎn)另T則的部分4的

z=co(j)

'x=_(p(t)

方程為＜丁=-以/),其中七二一尸,如圖所示：

Z=一①⑴

\LPdx=\LPdx+\^Pdx

=J：P[*),〃⑺,3。)]“⑺力+J：P\-(p(t，，(t),-a)(t)][-(p'(t)]dt

=「{P'(p(t)，w(t),<y(f)]-P|-e(f),-〃(0,-以f)]}(p'(t)dt,

若P關(guān)于(x,y,z)是偶函數(shù),則P[-(p(t),=P[(p(t\69(0]，

[Pdx=0；

若P關(guān)于(x,y,z)是奇函數(shù)，則P[-O?),，Q),-3⑺]=-A。"),必也天于，

￡P(guān)dx=21P[(p(t\(o(t)](p'(t)dt=21Pdx；

f0,P關(guān)于(x,y,z)為偶函數(shù)

故J/"'2f關(guān)于(x,y,z)為奇函數(shù).

、JLl

4)若空間曲線L關(guān)于平面尸x對稱，則

￡P(guān)(x,y,z)dx=P(y,x,z)dy,￡Q(x,y,z)dy=Q(x,y,z)dx,

￡R(x,y,z)dz=-￡R(y,x,z)dz,該對稱性稱為輪換對稱性(對換反號\

注:若曲線L關(guān)于平面z=x或y=z對稱，則有類似結(jié)論.

證：設(shè)曲線L位于平面y=x兩側(cè)的部分分別為乙和乙，L的參數(shù)方程為

x=9(f)x="(r)

<y=〃(f)，其中ff4,則L2的參數(shù)方程為<y=e(f)，其中t邙Ta

Z=CD(t)z=co(t)

￡P(guān)(x,y,z)dx=￡P(guān)(x,y,z)dx+￡P(guān)(x,y,z)dx

=J：P[(p(t),y/(t),co(t)](p'(t)dt+J；(p(t),co(t)lw'⑴dt,

JP(y,x,z)tfy=jP(y,x,z)辦+1P(y,x,z)dy

=J：P[以力,(p(t),(y(t)]〃'⑺力+J；P[°(f)〃(f),。⑴]夕")力

=-JJ<p(t),(o(t)]y/'(t)dt-J：P[9(f)"(/),a)(t)](pXt)dt,

故￡P(guān)(x,y,z)dx=-JzP(y,x,z)dy；同理可得

￡Q(x,y,z)dy=-￡Q(x,y,z)dx,￡R(x,y,z)dz=-￡R(y,x,z)dzo

二、典型例題分析

例.計(jì)算J/2〃+z2辦+/龍,其中L是Y+V+Z?=/?2與%+)，+2=0的交線，從

Z軸的正向看為順時(shí)針方向。

解：法1：(用對稱性)因?yàn)榍鎓+/+z2=配與x+y+z=0都是關(guān)于原點(diǎn)對

稱的，所以它們的交線L也是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，而V，z2,V對于(x,y,z)都是偶

函數(shù)，L不經(jīng)過原點(diǎn),根據(jù)原點(diǎn)對稱性可得J/y2^=[z2⑥=J/2dz=0,因此

222

￡ydx+zdy+xdz=0o

法2：(用斯托克斯公式)設(shè)L圍成的平面x+y+z=0的接口為Z,取下側(cè)，則Z的

法向量為(-1,-1,-1),方向余弦為(cosa,cos￡,cosy)=(—尸,—尸,—尸),由斯托

克斯公式得

dd

y'dx+z2dy+x1dz=-dS=(-2z-2x-2y)dS=