第09講 難點探究專題：數(shù)軸上兩點距離與動點問題(4類熱點題型講練)（解析版）

第09講難點探究專題：數(shù)軸上動點問題(4類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負】 1【考點二數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】 3【考點三數(shù)軸上的動點中求定值問題】 7【考點四數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】 13【考點一根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負】例題：已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖：(1)比較a﹣b與a+b的大??；(2)化簡|b﹣a|+|a+b|．【答案】（1）a﹣b＞a+b；（2）﹣2b．【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負情況以及絕對值的大??；（1）用作差法比較大??；（2）根據(jù)絕對值的性質去掉絕對值號，再進行加減．【詳解】解：由圖可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，∴a﹣b＞a+b；（2）因為b﹣a＜0，a+b＜0，所以|b﹣a|+|a+b|=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，解題的關鍵是熟練的掌握實數(shù)的大小比較方法.【變式訓練】1．已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）判斷正負，用“>”、“<”或“=”填空：,,（2）化簡：.【答案】（1）＜；＞；＜；（2）a．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，進而求解；（2）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，根據(jù)絕對值的性質，去絕對值號，合并同類項即可．【詳解】（1）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＜0，a?b＞0，a＋b+c＜0，故答案為：＜；＞；＜；（2）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴b?c＜0，a?b＜0，a＋c＞0，∴＝?（a+c）+（a+b+c）＋（a-b）＝-a-c+a+b+c＋a-b＝a．【點睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對值、整式的加減等知識的綜合運用，解決此題的關鍵是能夠根據(jù)數(shù)軸上的信息，判斷出a，b，c等字母的取值范圍，同時解決此題時也要注意絕對值性質的運用．2．已知有理數(shù)a、b滿足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|（1）在數(shù)軸上標出數(shù)a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”號連接這四個數(shù)．（2）化簡：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|【答案】（1）圖詳見解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0【分析】（1）根據(jù)已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在數(shù)軸上標出即可；（2）先去掉絕對值符號，再合并同類項即可．【詳解】（1）﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）∵有理數(shù)a、b滿足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|，∴2a-b＜0，2b-a＞0，∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b）＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b＝0．【點睛】此題考查有理數(shù)的大小比較，正確理解數(shù)的正負性、絕對值的性質是解題的關鍵.3．問題一：如圖，試化簡：．問題二：表示有理數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，（1）比較的大小關系（2）化簡：．【答案】問題一：；問題二：（1）a＜c＜b＜-a；（2）【分析】問題一：根據(jù)絕對值的定義進行化簡即可；問題二：（1）根據(jù)數(shù)軸上的點進行比較即可；（2）根據(jù)絕對值的定義進行化簡即可．【詳解】解：問題一：由圖可得：b＞0，c＜a＜0，，==；問題二：（1）由圖可得：a＜c＜0，b＞0，，∴a＜c＜b＜-a；（2）==【點睛】此題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較以及整式的加減運算，正確去絕對值是解題關鍵．【考點二數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】例題：如圖，已知線段，點O為線段AB上一點，且．動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，運動到點B停止；點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止．設P的運動時間為ts．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)當Q從O向A運動時，若，求t的值．(3)當時，直接寫出t的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接按比例求解即可；（2）根據(jù)數(shù)量關系列方程即可；（3）分類討論兩點的位置關系，列方程求解即可．【詳解】（1），點O為線段AB上一點，且，那么．故答案為：；（2）動點P以1cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OB方向運動，則，點P出發(fā)1s后，點Q以4cm/s的速度，從點O出發(fā)，沿OA方向運動，運動到點A時，停留2s，按原速沿AB方向運動到點B停止，則從到時，，從到時，．因為當Q從O向A運動時，若，所以，解得．（3）當則從到時，，，可得，解得，從到時，在左側時，．，可得，解得，從到時，在右側時，．，可得，解得．綜上所述：【點睛】此題考查動點問題，解題關鍵是找出每段線段的長，用速度表示點的路程，然后找出等量關系列方程．【變式訓練】1．已知數(shù)軸上三點，，對應的數(shù)分別為，，，點為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為．(1)如果點到點，點的距離相等，那么的值是________；(2)數(shù)軸上是否存在點，使點到點，點的距離之和是？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由；(3)如果點以每秒個單位長度的速度從點向右運動時，點和點分別以每秒個單位長度和每秒個單位長度的速度也向右運動，且三點同時出發(fā)，那么經(jīng)過幾秒，．【答案】(1)；(2)存在，或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)列出關于x的方程求解即可；（2）根據(jù)P點在N點右側或在M點左側分別求出即可；（3）設經(jīng)過t秒，則點P表示的數(shù)為，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，得，求解即可．【詳解】（1）解：依題意得，解得故答案為：（2）存在，理由如下：因為到，的距離之和是，所以不可能在中間，當在左側，，解得：；當在的右邊，，解得：，故．（3）依題意得：點P表示的數(shù)為，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，因為，，解得．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，以及數(shù)軸；關鍵是理解題意，表示出兩點之間的距離，利用數(shù)形結合法列出方程．2．如圖1，、兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為和6．(1)直接寫出、兩點之間的距離___；(2)若在數(shù)軸上存在一點，使得，求點表示的數(shù)；(3)如圖2，現(xiàn)有動點、，若點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，當點到達原點后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，求：當時的運動時間的值．【答案】(1)22(2)或(3)當時的運動時間的值為2或秒【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可求出、兩點之間的距離；（2）設點表示的數(shù)為．分兩種情況：①點在線段上；②點在線段的延長線上．根據(jù)列出關于的方程，求解即可；（3）根據(jù)點的運動方向分兩種情況：①當時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動；②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，根據(jù)列出關于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：、兩點之間的距離是：；（2）解：設點表示的數(shù)為．分兩種情況：①當點在線段上時，，，解得；②當點在線段的延長線上時，，，解得．綜上所述，點表示的數(shù)為或；（3）解：分兩種情況：①當時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，此時點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，解得，符合題意；②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，此時點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，當時，，解得；當時，，解得，不符合題意，舍去；綜上所述，當時的運動時間的值為2或秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，數(shù)軸，結合動點考查了兩點間的距離，以及路程、速度與時間關系的應用，理解題意，找到相等關系進行正確分類是解題的關鍵．【考點三數(shù)軸上的動點中求定值問題】例題：點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側，的中點為為靠近于B點的四等分點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負數(shù)的性質求出a與b的值，即可確定出的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設P點所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當時，，；②當時，，（舍去）；③當時，，．∴當點P表示的數(shù)為或時，；（3）解：設P點所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點為M，∴．∵N為的四等分點且靠近于B點，∴B，∴①=2（不變），②（隨點P的變化而變化），∴正確的結論為①，且．【點睛】此題考查了數(shù)軸的運用，數(shù)軸上任意兩點間的距離公式的運用，去絕對值的運用，一元一次方程的解，解題的關鍵是靈活運用兩點間的距離公式．【變式訓練】1．閱讀下面的材料：如圖①，若線段在數(shù)軸上，A，B點表示的數(shù)分別為a，b，則線段的長（點A到點B的距離）可表示為．請用上面材料中的知識解答下面的問題：如圖②，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動2cm到達B點，然后向右移動7cm到達C點，用1個單位長度表示1cm．(1)請你在數(shù)軸上表示出、、三點的位置，并直接寫出線段的長度；(2)若將點A向右移動cm，請用代數(shù)式表示移動后的點表示的數(shù)？(3)若點B以每秒2cm的速度向左移動至點，同時點A，點C分別以每秒1cm和4cm的速度向右移動至點，點，設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而變化？請說明理由．【答案】(1)數(shù)軸見解析，cm(2)(3)不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題目中點的運動可直接得出點、、的位置，進而可得出的長度；（2）根據(jù)“數(shù)軸上的點，越往右越大”可得出點A移動后所表示的數(shù)；（3）先分別表示，點，點所對應的數(shù)，再表達兩點間的距離，進而可表示，最后判斷它的值是否變化即可．【詳解】（1）如圖所示：．(cm)；（2）將點A向右移動cm，則移動后的點表示的數(shù)為；（3）的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：由題意可知，，點，點所對應的數(shù)分別為：，，，由點的運動可知，點在點的右側，點在點的右側，∴，，∴，∴的值不會隨著t的變化而變化．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關鍵．2．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動到達A點，再向右移動到達B點，然后再向右移動到達C點，數(shù)軸上一個單位長度表示．(1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；(2)把點C到點A的距離記為，則_______．(3)若點A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為？(4)若點A以每秒的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒、的速度勻速向右移動．設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)秒或秒；(4)不變化，值為．【分析】（1）根據(jù)題意，在數(shù)軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數(shù)軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側或點A在點C的右側；（4）表示出，再相減即可解題．【詳解】（1）如圖，（2）故答案為：；（3）①當點A在點C的左側時：

②點A在點C的右側時：所以，經(jīng)過或秒后點A到點C的距離為3cm．（4）移動t秒后，，的值不會隨著的變化而變化，．【點睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，掌握相關知識是解題關鍵．3．如圖，記數(shù)軸上A、B兩點之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動，設運動時間為t秒，當時，M為中點，N為中點．①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點可表示為．則點M表示的數(shù)為_____，點N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)，14，24(2)當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣2(3)①；；②MN的長是定值，【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點B表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸上點D左邊的點C表示的數(shù)是點D表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數(shù)，因為點C在點B的右邊，所以用點C表示的數(shù)減去點B表示的數(shù)即得到線段的長；（2）設運動的時間為t秒，先確定點B表示的數(shù)為，點B與點C相距24個單位長度，兩個點相向運動，則點B與點C重合時，點B與點C運動的距離和為24，列方程求出t的值再求出點B表示的數(shù)即可；（3）①先用t的代數(shù)式表示出A、B、C、D四點對應的數(shù)，再根據(jù)中點公式即可求解；②用兩點間距離公式即可求解．【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是，點B在點A右側，且，所以，所以點B表示的數(shù)是；因為點D表示的數(shù)是15，點C在點D的左側，且，所以，所以點C表示的數(shù)是14，點B與點C的距離是（單位長度），所以線段BC的長為24個單位長度，故答案為：，14，24．（2）設運動的時間為t秒，則點B表示的數(shù)是，根據(jù)題意得，解得，所以，答：當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是．（3）①根據(jù)題意得，t秒后點A對應的數(shù)為：，點C對應的數(shù)為：，∵M為中點，∴點M對應的數(shù)為：，t秒后點B對應的數(shù)為：，點D對應的數(shù)為：，∵N為中點，∴點N對應的數(shù)為：，故答案為：；；②線段的長為定值，∵點M對應的數(shù)為，點N對應的數(shù)為；∴，∴線段的長為定值．【點睛】此題考查數(shù)軸上兩點的距離的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解應用題等知識與方法，解題的關鍵是正確理解行程問題中相遇問題和追及問題的數(shù)量關系并且用代數(shù)式和等式表示這些關系．【考點四數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），求A，B兩點所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設點P表示的數(shù)為x．當PA+PB＝12時，直接寫出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．【分析】（1）先求出中心點，再求出對應的數(shù)即可；（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，求出A、B到表示2的點的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當點P在點A的左側時，當點P在點A、B之間時，當點P在點A的右側時，根據(jù)各種情形求解即可．【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，可確定中心點是表示0的點，∴4表示的點與-4表示的點重合，故答案為∶-4；（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，可確定中心點是表示2的點，∴表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；故答案為∶-5；②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），∴A、B兩點距離中心點的距離為10÷2=5，∵中心點是表示2的點，∴A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③當點P在點A的左側時，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；當點P在點A、B之間時，此時PA+PB=12不成立，故不存在點P在點A、B之間的情形；當點P在點A的右側時，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，綜上x的值為-4或8．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關鍵．【變式訓練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為﹣2，6．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出點A、點B；(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當點P是【B，A】的三倍點時，求此時P對應的數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②P對應數(shù)-6或0．【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對應的點即可；（2）①根據(jù)兩點間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6，計算即可；②根據(jù)點P是【B，A】的三倍點，可得PB=3PA．分情況討論：當點P在A點左側時，求出點P對應數(shù)-6；當點P在A、B之間時，求出點P對應數(shù)0，綜上可知點P對應數(shù)-6或0．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②∵點P是【B，A】的三倍點，∴PB=3PA．當點P在