聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)第36課幾何作圖

第36課幾何作圖

基礎(chǔ)知識(shí)題型分類(lèi)要點(diǎn)梳理題型一畫(huà)三角形基礎(chǔ)自測(cè)題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)

性質(zhì)畫(huà)圖

題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相

關(guān)的畫(huà)圖易錯(cuò)警示27.作圖必須滿(mǎn)足題意知識(shí)點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺2.基本作圖

(1)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，以及線(xiàn)段的和﹑差；

(2)作一個(gè)角等于已知角，以及角的和﹑差；

(3)作角的平分線(xiàn)；

(4)作線(xiàn)段的中垂線(xiàn)．要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.利用基本作圖作三角形

(1)已知三邊作三角形；

(2)已知兩邊及其夾角作三角形；

(3)已知兩角及其夾邊作三角形；

(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形．要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引4.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖

(1)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外圓)；

(2)作三角形的內(nèi)切圓．要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.幾何作圖的一般步驟

(1)已知：寫(xiě)出已知的線(xiàn)段和角，畫(huà)出圖形；

(2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；

(3)作法：應(yīng)用“五種基本作圖”，敘述時(shí)不需重述基本作圖的過(guò)程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引(4)證明：為了驗(yàn)證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來(lái)證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件；(5)討論：研究這個(gè)問(wèn)題是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況下，問(wèn)題有一個(gè)解、多個(gè)解或者沒(méi)有解；(6)結(jié)論：對(duì)所作圖形下結(jié)論．基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-曲靖)如圖，以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)

E，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)OE，連接CD.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.射線(xiàn)OE是∠AOB的平分線(xiàn)

B.△COD是等腰三角形

C.C、D兩點(diǎn)關(guān)于OE所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

D.O、E兩點(diǎn)關(guān)于CD所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析

A、連接CE、DE，根據(jù)作圖得到OC＝OD，CE＝DE.

∴△EOC≌△EOD(SSS)，∴∠AOE＝∠BOE，即射線(xiàn)OE是∠AOB的平分線(xiàn)，正確，故不符合題意；B、根據(jù)作圖得到OC＝OD，故△COD是等腰三角形，正確，故不符合題意；基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引C、根據(jù)作圖得到OC＝OD，∵射線(xiàn)OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分線(xiàn)，∴C、D兩點(diǎn)關(guān)于OE所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，正確，故不符合題意；D、根據(jù)作圖不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分線(xiàn)，∴O、E兩點(diǎn)關(guān)于CD所在直線(xiàn)不對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤，故符合題意．故選D.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-曲靖)如圖，以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)

E，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)OE，連接CD.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.射線(xiàn)OE是∠AOB的平分線(xiàn)

B.△COD是等腰三角形

C.C、D兩點(diǎn)關(guān)于OE所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

D.O、E兩點(diǎn)關(guān)于CD所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.(中考真題-麗水)如圖，小紅在作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C、D，則直線(xiàn)CD即為所求．連接AC、BC、AD、BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形

ADBC一定是(

)A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引∴AC＝AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBC一定是菱形．故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.(中考真題-麗水)如圖，小紅在作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C、D，則直線(xiàn)CD即為所求．連接AC、BC、AD、BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形

ADBC一定是(

)A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形B基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.(中考真題-大連)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA、

OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.OP1⊥OP2 B.OP1＝OP2

C.OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D.OP1≠OP2

基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析如圖，∵點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，∴OP1＝OP2＝OP，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝∠AOP＋∠AOP1＋∠BOP＋∠BOP2＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB，∵∠AOB度數(shù)任意，∴∠P1OP2不一定是直角，∴OP1⊥OP2不一定成立．故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.(中考真題-大連)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA、

OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.OP1⊥OP2 B.OP1＝OP2

C.OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D.OP1≠OP2

B基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線(xiàn)MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線(xiàn)AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引A.甲正確，乙錯(cuò)誤 B.乙正確，甲錯(cuò)誤C.甲、乙均正確 D.甲、乙均錯(cuò)誤4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線(xiàn)MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線(xiàn)AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析①甲的作法正確：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACN，∵M(jìn)N是AC的垂直平分線(xiàn)，∴AO＝CO，∴△AOM≌△CON(ASA)，∴MO＝NO，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∵AC⊥MN，∴四邊形ANCM是菱形．②乙的作法正確：∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴平行四邊形ABEF是菱形．故選C.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引A.甲正確，乙錯(cuò)誤 B.乙正確，甲錯(cuò)誤C.甲、乙均正確 D.甲、乙均錯(cuò)誤4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線(xiàn)MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線(xiàn)AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)C基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)

D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線(xiàn)段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑圓弧，兩弧在直線(xiàn)BC上方的交點(diǎn)為P，直線(xiàn)PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④ED＝AB中，一定正確的是(

)A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析根據(jù)作圖過(guò)程可知：PB＝PC，∵D為BC的中點(diǎn)，∴PD垂直平分BC，∴ED⊥BC，故①正確；∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴E為AC的中點(diǎn)，∴EC＝EA，∵EB＝EC，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，故②正確；∵EB不平分∠AED，∴③錯(cuò)誤．故正確的有①②④.故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)

D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線(xiàn)段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑圓弧，兩弧在直線(xiàn)BC上方的交點(diǎn)為P，直線(xiàn)PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④ED＝AB中，一定正確的是(

)A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④B題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-紹興)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，

AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個(gè)，則

a、b間滿(mǎn)足的關(guān)系式是__________________．題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解析如圖所示：題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-紹興)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，

AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個(gè)，則

a、b間滿(mǎn)足的關(guān)系式是__________________．題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高

(1)作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形．(2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；而求作直角三角形時(shí)，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形．題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1如圖，已知線(xiàn)段a.(1)只用直尺(沒(méi)有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個(gè)直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB＝a，BC＝

a(要求保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法)；

(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC邊上的高．題型一畫(huà)三角形題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)畫(huà)法略．如圖，△ABC是所求的三角形．

題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-懷化)兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、

B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(1)那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C.(不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)(2)設(shè)AB的垂直平分線(xiàn)交ME于點(diǎn)N，且MN＝2(＋1)km，在M處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60°方向，在N處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)N的北偏西45°方向，求點(diǎn)C到公路ME的距離．題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線(xiàn)上，分別作出垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C.如圖所示：題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(2)作CD⊥MN于點(diǎn)D，題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引∴CD＝2，即點(diǎn)C到公路ME的距離為2km.題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高首先明確已知、求作，然后在此基礎(chǔ)上繪出草圖進(jìn)行分析，找出作圖步驟，準(zhǔn)確敘述作法，并完成作圖．本題借助實(shí)際場(chǎng)景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)及應(yīng)用．題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-白銀)兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門(mén)需在C處修建一座信號(hào)反射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路

l1、l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C.(不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)題型二應(yīng)用角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)性質(zhì)畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線(xiàn)上，分別作出垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C.由于兩條公路所夾角的角平分線(xiàn)有兩條，因此點(diǎn)C有2個(gè)．如圖所示：題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-杭州)把一條12個(gè)單位長(zhǎng)度的線(xiàn)段分成三條線(xiàn)段，其中一條線(xiàn)段成為4個(gè)單位長(zhǎng)度，另兩條線(xiàn)段長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度的整數(shù)倍．

(1)不同分段得到的三條線(xiàn)段能組成多少個(gè)不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形(用給定的單位長(zhǎng)度，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長(zhǎng)．題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)由題意得，三角形的三邊長(zhǎng)分別為：4，4，4和3，4，5，即不同分段得到的三條線(xiàn)段能組成2個(gè)不全等的三角形．如圖所示：題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引②當(dāng)三邊的單位長(zhǎng)度分別為3，4，5時(shí)，可知三角形為直角三角形，此時(shí)外接圓的半徑為2.5，則外接圓周長(zhǎng)為：2π×2.5＝5π.題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高三角形兩邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為外接圓圓心O.此題主要考查了三角形外接圓的作法和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，得出符合題意的三角形是解題關(guān)鍵．題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫(huà)圖題型分類(lèi)·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3如圖，已知.求作：

(1)確定AB所在圓的圓心O；

(2)過(guò)點(diǎn)