聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點第36課幾何作圖

第36課幾何作圖

基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一畫三角形基礎(chǔ)自測題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線

性質(zhì)畫圖

題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相

關(guān)的畫圖易錯警示27.作圖必須滿足題意知識點索引要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺2.基本作圖

(1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和﹑差；

(2)作一個角等于已知角，以及角的和﹑差；

(3)作角的平分線；

(4)作線段的中垂線．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.利用基本作圖作三角形

(1)已知三邊作三角形；

(2)已知兩邊及其夾角作三角形；

(3)已知兩角及其夾邊作三角形；

(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引4.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖

(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外圓)；

(2)作三角形的內(nèi)切圓．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.幾何作圖的一般步驟

(1)已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形；

(2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；

(3)作法：應(yīng)用“五種基本作圖”，敘述時不需重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引(4)證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件；(5)討論：研究這個問題是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況下，問題有一個解、多個解或者沒有解；(6)結(jié)論：對所作圖形下結(jié)論．基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.(中考真題-曲靖)如圖，以∠AOB的頂點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D，再分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點

E，過點E作射線OE，連接CD.則下列說法錯誤的是(

)A.射線OE是∠AOB的平分線

B.△COD是等腰三角形

C.C、D兩點關(guān)于OE所在直線對稱

D.O、E兩點關(guān)于CD所在直線對稱基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析

A、連接CE、DE，根據(jù)作圖得到OC＝OD，CE＝DE.

∴△EOC≌△EOD(SSS)，∴∠AOE＝∠BOE，即射線OE是∠AOB的平分線，正確，故不符合題意；B、根據(jù)作圖得到OC＝OD，故△COD是等腰三角形，正確，故不符合題意；基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引C、根據(jù)作圖得到OC＝OD，∵射線OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分線，∴C、D兩點關(guān)于OE所在直線對稱，正確，故不符合題意；D、根據(jù)作圖不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分線，∴O、E兩點關(guān)于CD所在直線不對稱，錯誤，故符合題意．故選D.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.(中考真題-曲靖)如圖，以∠AOB的頂點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D，再分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點

E，過點E作射線OE，連接CD.則下列說法錯誤的是(

)A.射線OE是∠AOB的平分線

B.△COD是等腰三角形

C.C、D兩點關(guān)于OE所在直線對稱

D.O、E兩點關(guān)于CD所在直線對稱D基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.(中考真題-麗水)如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點A、B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C、D，則直線CD即為所求．連接AC、BC、AD、BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形

ADBC一定是(

)A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引∴AC＝AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBC一定是菱形．故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.(中考真題-麗水)如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點A、B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C、D，則直線CD即為所求．連接AC、BC、AD、BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形

ADBC一定是(

)A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.(中考真題-大連)P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關(guān)于直線OA、

OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.OP1⊥OP2 B.OP1＝OP2

C.OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D.OP1≠OP2

基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析如圖，∵點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點P1、P2，∴OP1＝OP2＝OP，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝∠AOP＋∠AOP1＋∠BOP＋∠BOP2＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB，∵∠AOB度數(shù)任意，∴∠P1OP2不一定是直角，∴OP1⊥OP2不一定成立．故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.(中考真題-大連)P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關(guān)于直線OA、

OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.OP1⊥OP2 B.OP1＝OP2

C.OP1⊥OP2且OP1＝OP2 D.OP1≠OP2

B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引A.甲正確，乙錯誤 B.乙正確，甲錯誤C.甲、乙均正確 D.甲、乙均錯誤4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析①甲的作法正確：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACN，∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，∴△AOM≌△CON(ASA)，∴MO＝NO，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∵AC⊥MN，∴四邊形ANCM是菱形．②乙的作法正確：∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴平行四邊形ABEF是菱形．故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引A.甲正確，乙錯誤 B.乙正確，甲錯誤C.甲、乙均正確 D.甲、乙均錯誤4.(中考真題-玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD、AC、BC于

M、O、N，連接AN、CM，則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作∠A、∠B的平分線AE、BF，分別交BC、AD于

E、F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．根據(jù)兩人的作法可判斷(

)C基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點

D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④ED＝AB中，一定正確的是(

)A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析根據(jù)作圖過程可知：PB＝PC，∵D為BC的中點，∴PD垂直平分BC，∴ED⊥BC，故①正確；∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴E為AC的中點，∴EC＝EA，∵EB＝EC，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，故②正確；∵EB不平分∠AED，∴③錯誤．故正確的有①②④.故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點

D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④ED＝AB中，一定正確的是(

)A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④B題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-紹興)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，

AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個，則

a、b間滿足的關(guān)系式是__________________．題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引解析如圖所示：題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-紹興)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，

AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個，則

a、b間滿足的關(guān)系式是__________________．題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引探究提高

(1)作三角形包括：①已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；②已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；③已知三角形的三邊，求作三角形．(2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點；而求作直角三角形時，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形．題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練1如圖，已知線段a.(1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB＝a，BC＝

a(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)；

(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC邊上的高．題型一畫三角形題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)畫法略．如圖，△ABC是所求的三角形．

題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引【例2】

(中考真題-懷化)兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、

B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引(1)那么點C應(yīng)選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C.(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)(2)設(shè)AB的垂直平分線交ME于點N，且MN＝2(＋1)km，在M處測得點C位于點M的北偏東60°方向，在N處測得點C位于點N的北偏西45°方向，求點C到公路ME的距離．題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C.如圖所示：題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引(2)作CD⊥MN于點D，題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引∴CD＝2，即點C到公路ME的距離為2km.題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引探究提高首先明確已知、求作，然后在此基礎(chǔ)上繪出草圖進(jìn)行分析，找出作圖步驟，準(zhǔn)確敘述作法，并完成作圖．本題借助實際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用．題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-白銀)兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號反射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路

l1、l2的距離也必須相等，那么點C應(yīng)選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C.(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡)題型二應(yīng)用角平分線、線段中垂線性質(zhì)畫圖題型分類·深度剖析知識點索引解到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C.由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點C有2個．如圖所示：題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫圖題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-杭州)把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍．

(1)不同分段得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作這些三角形(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長．題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫圖題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)由題意得，三角形的三邊長分別為：4，4，4和3，4，5，即不同分段得到的三條線段能組成2個不全等的三角形．如圖所示：題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫圖題型分類·深度剖析知識點索引②當(dāng)三邊的單位長度分別為3，4，5時，可知三角形為直角三角形，此時外接圓的半徑為2.5，則外接圓周長為：2π×2.5＝5π.題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫圖題型分類·深度剖析知識點索引探究提高三角形兩邊的中垂線的交點即為外接圓圓心O.此題主要考查了三角形外接圓的作法和三角形三邊關(guān)系等知識，得出符合題意的三角形是解題關(guān)鍵．題型三與三角形外接圓、內(nèi)切圓相關(guān)的畫圖題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練3如圖，已知.求作：

(1)確定AB所在圓的圓心O；

(2)過點