【高中數(shù)學(xué)】空間向量及其線性運(yùn)算課件 2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

空間向量及其線性運(yùn)算三.新知初探(一)空間向量的有關(guān)概念1.定義：在空間，具有

和

的量叫做空間向量.2.長(zhǎng)度或模：空間向量的

.大小方向

大小

3.表示方法：有向線段

起點(diǎn)終點(diǎn)

4.幾個(gè)特殊的向量概念：平面向量空間向量零向量：?jiǎn)挝幌蛄浚合嗟认蛄浚合喾聪蛄浚耗?的向量，記作：0模為1的向量模相等，方向相同的向量模相等，方向相反的向量空間中的任意兩個(gè)非零向量，都可以通過平移使它們的起點(diǎn)重合。因此，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量。所以對(duì)于空間向量的研究可以類比平面向量得出.（二）空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加法、減法

運(yùn)算：空間向量的加法、減法運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算一樣.

運(yùn)算律：①交換律：②結(jié)合律：AaOQPλaλ>0MNλaλ<02.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

運(yùn)算：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算一樣.

運(yùn)算律：①結(jié)合律：②分配律：當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)0或，

給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量

，則實(shí)數(shù)λ與空間向量

相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作

．其中：當(dāng)λ≠0且

時(shí)，

的模為,而且的方向滿足：對(duì)于空間中任意向量a和向量b,以及實(shí)數(shù)λ和μ，3.知識(shí)拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：4.互動(dòng)探究在平行六面體中，分別標(biāo)出表示的向量.從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.發(fā)現(xiàn)：即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量．（三）共線向量1.定義(類比平面向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線_______________，則這些向量叫做_________或平行向量．互相平行或重合共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量

，都有0∥a.探究思考2:反之，

與

有什么樣的位置關(guān)系時(shí)，？

對(duì)任意兩個(gè)空間向量

與

,如果,與

有什么樣的位置關(guān)系？類比平面向量對(duì)任意兩個(gè)空間向量

與

,如果,則

與

是平行或者共線的向量.反之，當(dāng)

與

是平行或者共線的向量，則存在實(shí)數(shù)滿足.對(duì)于空間任意兩個(gè)向量??,??(??≠0),??//??

的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使______.3.直線的方向向量：2.共線向量定理：直線

可以由其上一點(diǎn)和和它的方向向量確定。此時(shí)我們把與向量

平行的非零向量稱為直線l的方向向量.如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量

，則對(duì)于直線l上任意一

點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)

,使得

思考：通過證明??//??，還需要什么條件呢？需要說明向量a所在的直線上至少有一點(diǎn)不在向量b所在的直線上.（四）共面向量平行于__________的向量叫做共面向量．1.定義同一個(gè)平面我們知道，任意兩個(gè)空間向量總是共面的，但三個(gè)空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情況下三個(gè)空間向量共面呢？如圖：如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線.

OAl如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么向量平行于平面.探究思考3:對(duì)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量由平面向量基本定理可知，這個(gè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì).對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量，如果，那么向量與向量有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量有什么位置關(guān)系時(shí)，？

猜想：如果空間兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)

使.

2.共面向量定理：OACB空間兩個(gè)向量不共線，向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)

使.

證明：（1）必要性，如果向量與向量共面，則通過平移一定可以使它們位于同一平面內(nèi).

使得.由平面向量基本定理可知，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（2）充分性，如果向量滿足，則可選定一點(diǎn)O

，作于是顯然

都在平面

內(nèi)，故

共面.3.推論（判斷點(diǎn)在平面內(nèi)）：Mα引入空間任一點(diǎn),

可變式為空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)使.推論1：空間四點(diǎn)共面存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)使如果我們令則

,其中.推論2：空間四點(diǎn)共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)使其中.四.課堂練習(xí)答案：(1)×

(2)√(3)×(4)×考點(diǎn)：空間向量的概念.五.例題講解OABCDEFGH思路探究：欲證四點(diǎn)共面，只需證明共面.而由已知

共面，可以利用向量運(yùn)算由共面的表達(dá)式推得

共面的表達(dá)式.

例：如圖，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線

，在四條射線上分別取點(diǎn),使

.

求證：四點(diǎn)共面.

考點(diǎn)：空間中四點(diǎn)共面的判定.OABCDEFGH是平行四邊形由向量共面的充要條件可知，共面,又過同一點(diǎn),從而四點(diǎn)共面.證明：.點(diǎn)撥運(yùn)用1（8分鐘）

?

?

1那么四個(gè)點(diǎn)一定共面嗎？怎么證明四點(diǎn)共面呢？那么四個(gè)點(diǎn)一定共面嗎？怎么證明四點(diǎn)共面呢？導(dǎo)學(xué)問題2（5分鐘）閱讀課本p4-5

我們知道，任意兩個(gè)空間向量總是共面的，但三個(gè)空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情況下三個(gè)空間向量共面呢？

點(diǎn)撥運(yùn)用2（18分鐘）

證明四點(diǎn)共面的方法