2022屆天津市高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

xlnx-2x,x>0

1.已知函數(shù)/(x)={23c的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-l的對(duì)稱點(diǎn)在y=1的圖像

XH--X,X40

上，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

2.在空間直角坐標(biāo)系。一型中，四面體Q43c各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

0(0,0,0),A(0,0,2),8(gG,0,()],C(0,gG,oj.假設(shè)螞蟻窩在。點(diǎn)，一只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，需要在AB,AC上

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是()

A.272B.711-721C.,5+⑨D.273

3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個(gè)面中，最大面的面

積為()

近雙圉

IRK圖

A.2B.5C.V13D.V22

4.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=/(x+l)是偶函數(shù)，且當(dāng)XN1時(shí)，=-1,則

iz=/(Iog32),=c=/(3)的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

5,函數(shù)y=skiW+x在xe[-2肛2乃]上的大致圖象是（）

6.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何

體的體積為

7.等腰直角三角形BCD與等邊三角形A3。中，NC=90°,BD=6,現(xiàn)將△ABZ）沿80折起，則當(dāng)直線4。與平

面BCD所成角為45°時(shí)，直線AC與平面A3。所成角的正弦值為（）

A-TB.與c-T"歲

8.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

A.{B.7C.1D.2

iJ

22

9.已知雙曲線C：=—4=1(。>0乃>0)的左右焦點(diǎn)分別為士，F(xiàn)2,P為雙曲線。上一點(diǎn)，。為雙曲線C漸近

a~b~

線上一點(diǎn)，P,。均位于第一象限，且25=引,QF；QF\=O,則雙曲線C的離心率為()

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

10.已知復(fù)數(shù)W滿足z(3-4i)=5i,貝!||z|=()

A.1B.75C.73D.5

11.設(shè)(l+i)a=l+初，其中a,。是實(shí)數(shù)，則,+2同=()

A.1B.2C.73D.V5

12.方程2(x-I)sin?x+l=0在區(qū)間［-2,4］內(nèi)的所有解之和等于()

A.4B.6C.8D.10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,l)和點(diǎn)8(-3,4),若點(diǎn)。在NAQB的平分線上，且|3|=3面，則向量反

的坐標(biāo)為.

14.若火(x-2)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則實(shí)數(shù)。的值為.

15.在三棱錐P-ABC中，AB=5,BC=3,C4=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

y<x

m

16.若實(shí)數(shù)x，J滿足約束條件x+y24,設(shè)z=3x-2)，的最大值與最小值分別為〃7,%貝!!一=.

x<3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知A是拋物線E：，=2px(p>0)上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)3(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x=l于M,

N兩點(diǎn).

(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程；

(2)若OVpVL拋物線E與圓(*-5)2+必=9在x軸上方的交點(diǎn)為尸，Q,點(diǎn)G為尸。的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直

線OG斜率的取值范圍.

18.(12分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán)，由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷共

100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)

據(jù)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于

60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.

理科方向文科方向總計(jì)

男110

女50

總計(jì)

(1)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文

科方向”的人數(shù)為若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求J的分布列、期望石傳)和方差。抬).

參考公式：爛二證而"其中〃=

參考臨界值:

P（K2>k）

00.100.050.0250.0100.0050.001

卜02.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

19.(12分)設(shè)a,b,c,d都是正數(shù)，且戶5+/,y=y]c+d-求證：xy>^ac+bd')[ad+bc').

20.(12分)已知函數(shù)〃力=(廠+一二)，其中“eH.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/'(x)在(1"(1))的切線方程；

(2)求證：“力的極大值恒大于0.

21.(12分)max{〃?,〃}表示，”，〃中的最大值，如max卜,JT5}=,己知函數(shù),f(x)=max{x2—i,21nx},

22

g(x)=max<x+lnx,-^+(a2-^jx+2a+4a>.

(1)設(shè)〃(x)=/(x)-3卜-;卜求函數(shù)網(wǎng)力在(0』上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)試探討是否存在實(shí)數(shù)ae(-2,+oo),使得g(x)<,x+4a對(duì)xe(a+2,”)恒成立？若存在，求”的取值范圍;

若不存在，說(shuō)明理由.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，側(cè)棱Q4_L底面ABC。，AD//BC,4)=1,PA=AB=BC=2,M

是棱PB的中點(diǎn).

(1)求證：AM〃平面PCD；

(2)若NA5C=9(r,點(diǎn)N是線段8上一點(diǎn)，且QN=gz)C,求直線MN與平面PCD所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，求直線y=依-1關(guān)于直線y=-l的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨

界點(diǎn)，進(jìn)一步確定k的取值范圍即可

【詳解】

可求得直線y=區(qū)-1關(guān)于直線y=T的對(duì)稱直線為y=的-1(機(jī)=-火)，

當(dāng)x〉O時(shí)，f(x)=x]nx-2x,r(x)=lnx-l,當(dāng)x=e時(shí)，r(力=0,則當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/,(x)<0,/(x)

單減，當(dāng)xe(e,M)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單增；

當(dāng)XWO時(shí)，〃司=爐+]》，/(x)=2x+j,當(dāng)》=一“尸(x)=0,當(dāng)》<一\時(shí)，/(X)單減，當(dāng)一；。<0時(shí),

/(X)單增；

根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖:

3i

當(dāng)y=—l與/(x)=x2+]X(x<0)相切時(shí)，得△=(),解得加=一耳；

y=xlnx-2x

當(dāng)y=/nx—l與/(x)=xlnx-2x(x>0)相切時(shí)，滿足<y=〃ix—l

m=lnx-1

解得x=i,機(jī)=T,結(jié)合圖像可知，?-"),即

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題

2.C

【解析】

將四面體。鉆C沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后最短路徑就是△40。的邊OO',在八40。中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體。LBC沿著。4劈開(kāi)，展開(kāi)后如下圖所示：

最短路徑就是AAOO'的邊00'.

易求得ZOAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,0B=^6知AB=&C

33

AC=-V3,BC=ylOB2+OC2=-46

33

AB?+A[2-BC?

=>cosABAC—

2ABAC

16+16_8

3333

444

2x耳'耳

由余弦定理知OO'-=AO2+AO'2-2AO-AO'-cosZOAO'

3—、歷

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+ZBAC)=―—

?**OO'2=5+6,=OO'=75+721

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，并記為三棱錐

P-ABC.S^AC=S^AB=V13,SDAC=后，50尤=2,故最大面的面積為夜.選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的識(shí)別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí)，一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).

4.C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函數(shù)，：?f(?x+l)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=l對(duì)稱.

9

.當(dāng)xNl時(shí),=—1為減函數(shù),Vf(log32)=f(2-loga2)=f(jOg2)

k2y

I27

且Tog赤-=log[=log4log34V]og2<3,/.b>a>c,

故選C

5.D

【解析】

討論X的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【詳解】

當(dāng)x20時(shí)，y=sinx+x,則y'=cosx+l20,

所以函數(shù)在［0,2句上單調(diào)遞增，

令g(x)=cosx+l,貝?。輌'(x)=—sinx,

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，

當(dāng)工?0,句時(shí)，g'(x)=-sinx<0,故切線的斜率變小，

當(dāng)肛2可時(shí)，g'(x)=—sinx〉0,故切線的斜率變大，可排除A、B；

當(dāng)x<0時(shí)，y=-sinx+x,則y'=-cosx+li0,

所以函數(shù)在0］上單調(diào)遞增，

令/z(x)=-cosx+1,〃'(x)=sinx,

當(dāng)xe［-2肛一句時(shí)，//(x)=sinx>0,故切線的斜率變大，

當(dāng)xe［-乃,()］時(shí)，〃'(％)=sinx<0,故切線的斜率變小，可排除C,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

6.B

【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為3的正四棱

錐，利用體積公式，即可求解。

【詳解】

由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,

高為3的正四棱錐，

所以幾何體的體積為V=KT—%E=4X4X5—；X4X4X3=64,故選B。

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間

幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面

積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。

7.A

【解析】

設(shè)E為50中點(diǎn)，連接AE、CE,過(guò)A作AOLCE于點(diǎn)。，連接得到NADO即為直線與平面所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到NC4E即為直線AC與平面所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)E為〃。中點(diǎn)，連接AE、CE,

由題可知CELBD,所以平面AEC,

過(guò)A作AOJ_CE于點(diǎn)0,連接。。，則A0_L平面BOC,

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，

所以sin/AOO=^=42,可得AO=3夜，

2AD

在AAOE中可得。石=3,

又0C=LBD=3,即點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，此時(shí)有AC,平面BCQ,

2

過(guò)C作CE_LAE與點(diǎn)品

又平面AEC,所以所以平面A3D,

從而角ZC4E即為直線AC與平面ABD所成角，sinZC4￡=—=-4==—,

A￡3733

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解，在解題的過(guò)程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

8.C

【解析】

每一次成功的概率為二=:=:，二服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

【詳解】

每一次成功的概率為二=：=%二服從二項(xiàng)分布，故二（二）=（x3=/.

故選：Z.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

9.D

【解析】

22

由雙曲線的方程4=1的左右焦點(diǎn)分別為6，E,P為雙曲線C上的一點(diǎn)，。為雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn)，

a~b~

且P,Q都位于第一象限，且2/=師［函?0Q=O,

可知P為QF2的三等分點(diǎn)，且西」弧，

點(diǎn)。在直線灰-政=0上，并且［0。|=以則Q（a,與，鳥9,0）,

設(shè)「（斗，必），則2（,xi-a,yi-b）=（c-xl,-yi）,

M.2a+c2b??.2a+c2b.

解得％=—^―，X=W，n

代入雙曲線的方程可得@"+c）2一［=］,解得e=￡=JR-2,故選D.

4a24a

點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：①求出4，。，代入公式e=￡；②只需要

a

根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于〃,仇。的齊次式，轉(zhuǎn)化為“，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得je的取值范圍）.

10.A

【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出z,求出z的模即可.

【詳解】

地5i5z(3+4z)-4+3/

解：z=------=--------------------，

3-4/255

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得。,沙，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：(l+i)a=l+bi,

即a+ai=l+bi,所以a=1,6=1

貝!J\a+2例=|l+2i|=JF+22=逐

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

畫出函數(shù)丁=4!1?和y=-的圖像，y=sin心和均關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，計(jì)算得到答案.

Z(X—1)Z(x—1)

【詳解】

1_

2(x-I)sin〃x+l=0,驗(yàn)證知x=l不成立,故sin萬(wàn)尤=

2(x-1)

1

畫出函數(shù)》=$也也和y=-的圖像,

2(x-l)

易知：y=sinu和y=一■^匕j均關(guān)于點(diǎn)(1，°)中心對(duì)稱，圖像共有8個(gè)交點(diǎn),

故所有解之和等于4x2=8.

故選：C.

本題考查了方程解的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-3,9)

【解析】

點(diǎn)。在NAQB的平分線可知反與向量絲+絲共線，利用線性運(yùn)算求解即可.

\OA\\OB\

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)C在NAO8的平線上，

所以存在4w(0,+00)使OC=丸(―X(0,1)+X[-=(一,

110Al\OB\)I55八55)

而|反|=’(—l/Ly+i'aA=3710,

可解得4=5,

所以云=(—3,9),

故答案為：(-3,9)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于中檔題.

14.-3

【解析】

依題意可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為7；+1=/江2.（一2］即可得到方程，解得即可；

IX）

【詳解】

（2V（2Y

解「,二項(xiàng)式以X，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為5=3C52.-女=—804=240,

<xjkX）

，解得Q=—3.

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

47r

15.--

3

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為〃，”是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=1.三個(gè)側(cè)面與底面所

成的角均為60°,APAB，APBC,APAC的高PD=尸石=尸產(chǎn)=2，PH=6設(shè)內(nèi)

切球的半徑為R,（g（3+4+5）x2+gx3x4）xH=3x；xgx3x4x6=66

:.R=B,內(nèi)切球表面積S=4萬(wàn)A?=4工.

33

4萬(wàn)

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

16.-

2

【解析】

1T1

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線版-2），=0到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得一的比值.

n

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x-2），過(guò)點(diǎn)（3,1）時(shí)，二取得最大值7；過(guò)點(diǎn)（2,2）時(shí)，z取得最小值

-m7

2,所以——=二.

n2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫

出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行

域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

(應(yīng))

17.(1)=4無(wú).⑵0,—

I2)

【解析】

(1)設(shè)A的坐標(biāo)為A(xo,yo),由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x=l的距離.由半個(gè)弦長(zhǎng)，圓心到直線的

距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得P的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；

(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點(diǎn)G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達(dá)式，換

元可得斜率的取值范圍.

【詳解】

(1)設(shè)A(xo,jo)且yo2=2pxo,則圓心C(外工,￡),

22

圓C的直徑|4陰=J(x0-2)+y0,

圓心C到直線X=1的距離d=|血土2—1|=|E|,

22

因?yàn)閨MN|=2,所以(絲上)2+/=(網(wǎng))2,即1+至=(/2)一+.%-，4=2pxo,

2244

整理可得(2〃-4)xo=O,所以0=2,

所以拋物線的方程為：V=4x；

(2)聯(lián)立拋物線與圓的方程八'=2,2整理可得了2-2(5-p)x+16=0,△>0,

l(x-5)2+/=9

設(shè)尸(X],J1),。(X2,丁2),則Xl+X2=2(5-p),X1X2=16,

所以中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG=5-p,%=4至+=《9P-p?,

所以癡=也"P—(0<P<l),

5-P

A__z_/u、、mil>[20+r——1201~,1—1—1

令f=5-p(fG(44,，))，JU!]koG-.I---------/11(—),、

Vt-Vt2t5t4

6

解得OVkoGV旺,

2

所以直線OG斜率的取值范圍(0,三).

2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有；(2)分布列見(jiàn)解析，.

525

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在［60,80)、［80,1()()］之間的學(xué)生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K?的值，結(jié)合

參考臨界值表可得到結(jié)論；

(2)從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率P.由題意8(3,〃)，求出分布列，根據(jù)公式

求出期望和方差.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在［60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為().0125x20x200=50,在［80,100］之間的學(xué)生人數(shù)為

0.(X)75x20x200=30,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為

理科方向文科方向總計(jì)

男8030110

女405090

總計(jì)12080200

又小片黯哉嘰…35.

所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).

QA7

（2）易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為，=——=—.

2005

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.

19.證明見(jiàn)解析

【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式（。2+/）12+儲(chǔ)）,（時(shí)+M『展開(kāi)、作差、化簡(jiǎn)可得,（ad—be720,可證得

yja2+b2-\lc2+d22ac+Z?d>0成立，同理可證明Jt?+/?\]c2+d22加+be>0，由此不等式得證?

【詳解】

證明:因?yàn)椋?+1/2）=a2c2+erd2+c2b2+b2d2,

^ac+bd\=a2c2+2abcd+b2d?,

所以+〃2）（c2+d，—+=a2d2-2ahcd4-c2h2

=^ad-bc^>0,

...(/+〃乂/+"2)4"+仇/)2成立，又a、c、b、d都是正數(shù)，

,da2+/?yl(r+d2>ac+bd>Q>①

同理Ji?」+/?4?+/Nad+bc>0,

xy>yj(ac+bd)(ad+/?c).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的

關(guān)鍵;屬于中檔題。

20.(1)y^-x(2)證明見(jiàn)解析

e

【解析】

(1)求導(dǎo)，代入。=0,求出在x=l處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；

(2)分類討論得出極大值即可判斷.

【詳解】

⑴/'(無(wú))=-?2-(。-2)-+2(7=—(x+a)(x-2),

當(dāng)a=0時(shí)，/,(1)=-,/(1)=-，

ee

則/(x)在(1,/⑴)的切線方程為y=：x；

(2)證明:令/(x)=O,解得x=2或x=-。，

①當(dāng)a=—2時(shí)，/'(x)WO恒成立，此時(shí)函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞減，

二函數(shù)”X)無(wú)極值；

②當(dāng)a>—2時(shí)，令尸(力>0,解得—a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或x>2,

???函數(shù)/(x)在(一。,2)上單調(diào)遞增，在(—，―a),(2,卡功上單調(diào)遞減，

〃-I-4

'/(X)極大值=/⑵=>0;

③當(dāng)a<-2時(shí)，令/'(x)>0,解得2<x<-a,令/'(x)<0,解得x<2或x>—。，

函數(shù)/(%)在(2,-a)上單調(diào)遞增，在(-8,2),(-。,內(nèi))上單調(diào)遞減,

???/（?極大值二”-加子〉。，

綜上，函數(shù)/（X）的極大值恒大于0.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

21.（1）2個(gè)；（D存在，（空口，2］?

4

【解析】

試題分析：（D設(shè)F（x）=x2-l_2hx，對(duì)其求導(dǎo)，及最小值，從而得到廣（X）的解析式，進(jìn)一步求值域即可；（D

分別對(duì)aW0和a>0兩種情況進(jìn)行討論，得到g8的解析式，進(jìn)一步構(gòu)造h（力，通過(guò)求導(dǎo)得到最值，得到滿足條件

的a的范圍.

試題解析：⑴設(shè)/力二/一1一21nx,E'（x）=2x-Z="^~DC'+1）.....................1分

XX

令尸（x）>0,得x>l,*x）遞增；令尸（x）<0,得0<x<l,*x）遞減,.................1分

???尸（》*=*1）=°，，尸（“2°，即1221nx，.?./（力=%2—1.....................3分

設(shè)6（%）=3卜一；）》一1）2,結(jié)合了（力與G（x）在（0,1］上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0,1］上有兩個(gè)交點(diǎn)，即

〃（%）在（0,1］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1..............................................5分

（或由方程/（x）=G（x）在（0,1］上有兩根可得）

（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)。€（-2,+00）,使得g（x）<；x+4a對(duì)xe（a+2,+?）恒成立,

x+lnx<—x+4。

,2/、

則｛(3，對(duì)工￡(。+2,+8)恒成立,

—f+1/—x++4。<—X+4。

I22

Inx——x<4a

即｛2,對(duì)%￡(〃+2,+oo)恒成立..................................6分

(工+2乂工_叫>0

①設(shè)“(尤)=lnx_gx,“'(x)==2—九

2x

令”'(x)>0,得0<xv2,H(x)遞增；令"'(x)<0,得1>2,H(x)遞減,

:."（x）m,、=〃（2）=ln2—1,

當(dāng)0<a+2<2即一2<。<0時(shí)，4a>ln2-l,；,a>in2~l,Va<0,1叱一］,。

4I4

故當(dāng)aernjL。］時(shí),lnx-；x<4a對(duì)xe（a+2,+oo）恒成立........................8分

當(dāng)a+222即aNO時(shí)，”（x）在（。+2,心）上遞減，.\〃（x）<”（a+2）=ln（a+2）—ga—1.

?.?（ln（a+2）-L-l］=—'--1<0,.?.H（?+2）<H（0）=ln2-l<0,

I2Ja+22

故當(dāng)時(shí)，111%一；兀<44對(duì)%€(。+2,欣)恒成立............................10分

②若(x+2)(x-/)>0對(duì)xe(a+2,+oo)恒成立，則a+22a”?一1