2021高考數(shù)學模擬測試卷（八）

2021年高考數(shù)學模擬測試卷（八）

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合，然后利用交集的定義可求出集合

【詳解】

,因此,

故選：A.

【點睛】

本題考查交集的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.若

【答案】D

【解析】

分析：三個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的比值都是，因此三者可化為的形式，該函數(shù)為

上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到三個對數(shù)的大小關(guān)系.

上是單調(diào)增函數(shù).

,所以

即.故選D.

點睛：對數(shù)的大小比較，要觀察不同對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系，還要關(guān)注對數(shù)本身的底數(shù)與其數(shù)的

關(guān)系，從而找到合適的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)值的大小.

3.設(shè)有下面四個命題

：若復(fù)數(shù)滿足，則

：若復(fù)數(shù)滿足，則

：若復(fù)數(shù)滿足,則；

：若復(fù)數(shù)，則

其中的真命題為

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

令，貝岫得，所以，故正確

當時，因為，而知，故不正確；

當時，滿足，但，故不正確；

對于，因為實數(shù)的共軌復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確，故選B.

點睛:分式形式的復(fù)數(shù)，分子、分母同乘以分母的共筑復(fù)數(shù)，化筒成的形式

進行判斷，共輒復(fù)數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可.

4.如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

問折者高幾何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈尺），現(xiàn)被風折斷，尖端落在地上，竹

尖與竹根的距離三尺，間折斷處離地面的高是（）

A.2.55尺B.4.55尺C.5.55尺D.6.55尺

【答案】B

【解析】

【分析】

將問題三角形問題，設(shè)出另一直角邊，則可求出斜邊的長，最后利用勾股定理可求出另一直角邊.

【詳解】

已知一直角邊為3尺，另兩邊和為10尺，設(shè)另一直角邊為尺，則斜邊為尺，由勾股定理

可得：，可得尺.

故選：B

【點睛】

本題考查了數(shù)學閱讀能力，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.

5.函數(shù)在區(qū)間附近的圖象大致形狀是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

通過求特殊點的坐標，結(jié)合函數(shù)值的正負判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

過點，可排除選項4〃又，排除C

故選：B

【點睛】

本題考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題.

6.在普通高中新課程改革中，某地實施“3+1+2”選課方案.該方案中“2”指的是從政治、地

理、化學、生物4門學科中任選2門，假設(shè)每門學科被選中的可能性相等，那么政治和地里至少有

一門被選中的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本題可從反面思考，兩門至少有一門被選中的反面是兩門都沒有被選中，兩門都沒被選中包含1個

基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.

【詳解】

設(shè)兩門至少有一門被選中，則兩門都沒有選中｝,包含1個基本事件，

則，所以，故選D.

【點睛】

本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中合理應(yīng)用對立事件和古典概型及其概率的計

算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.若向量滿足，且，則向量的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

由，平方求出，代入向量夾角公式，求出的夾角余弦值，即可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)的夾角為

故選:B

【點睛】

本題考查向量的模長和向量的夾角計算,著重考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

8.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中

的太極衍生原理數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)

文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號

平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，如圖所示的程

序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設(shè)計的，那么在兩個判斷框中，可以先后填入（）

A.是偶數(shù)？，?B.是奇數(shù)？，?

C.是偶數(shù)？，?D.是奇數(shù)？，?

【答案】D

【解析】

根據(jù)偶數(shù)項是序號平方再除以，奇數(shù)項是序號平方減再除以，可知第一個框應(yīng)該是“奇

數(shù)”，執(zhí)行程序框圖，

結(jié)束，所以第二個框應(yīng)該填,故

9.以分別表示等差數(shù)列項和，若,則的值為

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時,,即可把轉(zhuǎn)化為求解.

【詳解】

因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，選B.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于兩點.若

,則的方程為（

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得，，可得橢圓的方程.

【詳解】

解：

又

又

在軸上.

在△

在4中，由余弦定理可得

根據(jù)，可得，解得

所以橢圓的方程為：

故選：.

【點睛】

本題考查了橢圓的定義及余弦定理，屬中檔題.

11.設(shè)函數(shù)若關(guān)于X的方程恰好有六個不同的

實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為

A.(2—2)B.(—2—2,2—2)

C.(,+8)D.(2-2,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出的圖像，利用圖像，利用換元法，將方程恰好有六

個不同的實數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，由此列不等式

組，解不等式組求得的取值范圍.

【詳解】

畫出的圖像如下圖所示，令，則方程轉(zhuǎn)化為

,由圖可知，要使關(guān)于的將方程恰好有六個不

同的實數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，所以

,解得

故選：A

【點睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)根于判別式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方

法，屬于中檔題.

12.過球表面上一點引三條長度相等的弦、、，且、、兩兩夾角都

為，若，則該球的體積為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分析四面體是正四面體，各條棱長均為，依據(jù)正四面體外接球半徑的求

法即可得解.

【詳解】

由題：在四面體中，，

所以均為等邊三角形，且邊長均為，

所以四面體是正四面體，棱長為，如圖：

根據(jù)正四面體特征，點在底面正投影是底面正三角形的中心，外接球球心在線段上，

設(shè)外接球半徑為，取中點

過點的截面圓的半徑，

在^中，，

則球心到截面的距離

在^中，，，

解得，

所以球的體積

故選：A

【點睛】

此題考查求正四面體外接球的體積，通過幾何體的特征，確定一個截面，尋找球心，根據(jù)三角形關(guān)

系求出半徑即可求解，平常的學習中有必要積累常見幾何體外接球半徑的求法.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.曲線在點處的切線方程為

【答案】

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點處的切線的斜率，然后利用點斜式可寫出所求切線的方程.

【詳解】

依題意得，因此曲線在處的切線的斜率等于，

所以函數(shù)在點處的切線方程為

故答案為：

【點睛】

本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

14.記￡為等比數(shù)列｛為｝的前〃項和.若，則$=..

【答案】.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到.

題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.

【詳解】

詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知

,即

解得，

所以

【點睛】

準確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及事的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生

易出現(xiàn)運算錯誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算

,避免繁分式計算.

15.甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、

乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把乘以2后再減去

12,；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把除以2后再加上12,這樣就得到一個新的實

數(shù)，對實數(shù)仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)，當時，甲獲勝，否

則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是

【答案】

【解析】

【分析】

按要求操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)，列舉得到新的實數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的

概率為，解出外的結(jié)果.

【詳解】

國的結(jié)果有四種，每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，

1.芻-2包-12f2(2跖-12)-12=44-36=①,

2.2歷-12f12=@[+6=?,

3.12f+1218=的

4.12f2(12)-12=當+12=如

Va1+18>^1,a+36>&,

要使甲獲勝的概率為，

即%>&的概率為，

...4當-36＞團,18W4,

或4a,-36Wa”18>a,,

解得MW12或罰224.

故選：D.

【點睛】

本題考查新定義問題，考查概率綜合，意在考查學生的讀題審題能力，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題

16.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與圓

相切于點，且直線與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的

離心率為.

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合雙曲線第一定義，再將所有邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中，化簡

求值即可

【詳解】

如圖，由題可知，，則

又，，，

又，

作，可得，，則

在，，即

又,化簡可得,同除以，得

解得

雙曲線的離心率為

【點睛】

本題考查了利用雙曲線的基本性質(zhì)求解離心率的問題，利用雙曲線的第一定義和中位線定理將所有

邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解題關(guān)鍵，一般遇到此類題型，還是建議結(jié)合圖形來進行求

解，更直觀更具體

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第

17-21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.如圖所示，在中，NB,的對邊分別為a,b,c,已知

2bsinAcos5+asin5=0,a=1,c=2.

(1)求6和sinC；

BD也

(2)如圖，設(shè)〃為4c邊上一點,,求△的面積.

co-77Z8O

【答案】(Db=布,—；(2)且.

74

【解析】

【分析】

(1)通過正弦定理邊化角，整理化簡得到cosB的值，再利用余弦定理，求出b,根據(jù)正弦定

理，求出sinC；(2)根據(jù)正弦定理得到sinNC3O=l,即NC5Z>=一,根據(jù)勾股定理得到

2

BD=?，根據(jù)三角形面積公式，求出的面積.

2

【詳解】

(1)因為2bsinZcos8+Qsin8=0,

hc

所以在中，由正弦定理^

sinBsinC

得2sinBsinAcos6+sin4sin8=0,

因為sinZsin3wO,所以2cosB+l=0,

所以cosB=-,，

2

27r

又0<4<〃，所以6二——，

3

由余弦定理得，

62=a2+c2-laccosB-l+4-2xlx2xf--j=7,

所以b=J7,

在中，由正弦定理-----=-----

sinCsinB

所以sinC=^2SmT

人=-7F-

BDsinC

（2）在△45。中，由正弦定理得,

~CDsinNCBD

用4BDsinC73

因為——=-7=,所以

CDV7sinZCBD正

/yr

因為sinC=q,所以sin/C8￡>=l,

7

而NC6￡>e（0,乃）

TT

所以NC8O=X,

2

由---=~f=>設(shè)BD=JJf,CD=1>

CD幣

所以（后）2+12=（而）2,所以/=；,

所以BD=叵,

2

2兀714

因為Z.ABD=NABC—ZDBC=-------=一,

326

所以SLn'x/BxBOsinN/BOuLxZx@xJn3.

'22224

【點睛】

本題考查正弦定理邊角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡單題.

18.如圖，三棱錐〃T%中，AB=AC=2,BC=2?DB=DC=3,E,F分別為DB,A?的中

點，且NERC=90°.

(1)求證：平面。48_L平面/8C；

(2)求二面角。-綏力的余弦值.

【答案】(D證明見解析；(2)—孑畫.

28

【解析】

【分析】

(1)取8c的中點G,可得BC1AG,BC1DG,從而得到BC±平面￡UG,得到

BC工DA,由。/〃EE,EFA.CF,得到ZMLCF，從而得到D4_L平面/8C,所以平面

0/3，平面4BC；(2)以為原點，建立空間直角坐標系，利用余弦定理和勾股定理，得到

_U.IU

/84c=120°，。/=逐，得到DCE的法向量〃］，平面FCE的法向量〃2，根據(jù)向量夾角的余

弦公式，得到二面角。一CE—尸的余弦值

【詳解】

(1)如圖取8C的中點G，連接ZG,DG，

因為Z8=ZC=2,所以8cl.4G,

因為￡>3=￡>C,所以8C，￡>G,

又因為4GnOG=G,所以BCL平面D4G,

D4u平面D4G

所以8CJ.O4.

因為，F(xiàn)分別為DB，的中點，所以Z14〃￡7L

因為NEFC=90°.即EF1CF,

則D4LCF.

又因為8CnCE=C，

所以D4_L平面N8C,

又因為DAu平面DAB,

所以平面平面/8C.

(2)因為D4_L平面Z8C,則以為坐標原點，

過點與垂直的直線為軸，為軸，力。為軸,

建立如下圖所示的空間宜角坐標系.

因為/8=ZC=2,BC=273,DB=DC=3,

在A48c中，

℃AB1+AC2-BC24+4-121

cosABAC=----------------------=—~~-~~—=-->

2ABAC2x2x22

所以4ZC=120°.

在RtAZ)/8中，DA=M"=V5，

所以點40,0,0),Z)(0,0,V5),C(0,2,0),5(73,-1,0)，

設(shè)平面。CE的法向量為*=(x“必,zJ,

加=(0,2,-石),OE=［坐，—＜，—g

DC-?,=0

所以《即<V31V5

DE-?1=0-X]一—y.--------z,=0

222

可取成=(JB,右,2).

設(shè)平面FCE的法向量為0=(%,%,Z2),

可取鼠=(5,JJ,0)，

——y/\5x5+y/Sx-Ji+2x0q、/7n

011cos<,“2>=//=Z/u

/岳:+舊+22乂舊+428

因為二面角。一CE—E為鈍二面角，所以二面角。一CE—E的余弦值為—宏電.

28

【點睛】

本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，面面垂直的判定，利用空間向量求二面角的夾角余弦值，屬于中

檔題.

19.已知動圓過定點P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程；

⑵過點⑵0)的直線1與動圓圓心C的軌跡交于A,B兩點,求證：方.歷是一個定值.

【答案】(1)/二口；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)圓心的坐標為(X,y),得出|CP「=|CM『=|MT「+pq2,代入點的坐標，即可得到曲線

C的軌跡方程；

(2)設(shè)直線方程x=0+2,聯(lián)立方程組，得到%+外,y％,再向量的數(shù)量積的運算，即可得到

結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)動圓的圓心C(x,y),線段MN的中點為T,則|MT|=&4,

2

由題意得@|2=?|2=m1'「+|1'(；|2,.守+&-4)2=42+/,.守=8*,

即動圓圓心C的軌跡方程為y'8x.

(2)證明：易知直線1的斜率不為0,

設(shè)直線1的方程為x=ky+2,A(x”y,),B(X2,y2).

聯(lián)立?+2’消去x整理得y2-8ky-16=0,△=64k-+64>0,可得yi+y,=8k,y,y,=-16.

(yz=8x,

又瓦?=a，y)，存(x?,y：>),

，22

■'-OA?OB~x,x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=ky1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k+16k'+4-16=-12,

>'-OA,裾是--個定值?

【點睛】

本題主要考查拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,通過聯(lián)立直

線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標函數(shù)”

的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百

出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

20.已知函數(shù)/(x)=orcosx-l在0,g上的最大值為受￡-].

_6J6

(1)求的值；

(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點.

【答案】(1)a=2(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)后利用xe0,￡可得導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性，再利用最大值為叵-1進行求解

L6J6

即可.

\TT\\TC\

(2)求導(dǎo)分析單調(diào)性后，根據(jù)零點存在定理求解/(O),/-不的正負即可.

【詳解】

(1)f(x)=〃(cosx-xsinx),

71

因為xw0,—，所以cosx>sinx20,又1>x20,

6

所以l?cosx>xsinx,gRcosx-xsinx>0.

兀

當a〉0時，/'(x)>0,所以在區(qū)間0,-上遞增,

6

咤管一1二冬一1‘解得

所以

JT

當。<0時，/'(x)<0,所以在區(qū)間0,二上遞減,

6

所以/(X)max=/(°)=T，不合題意―

當4=0,/(X)=-1,不合題意.

綜上，4=2.

(2)設(shè)g(x)=cosx—xsinx,

則g(x)=-2sinx一冗cosx<00<x<—,

、2)

所以g(x)在(0,5)上單調(diào)遞減，又g(O)=l八茜仁'一'”,

所以存在唯一的x°e(0,9,使得g(x0)=0

當0<x<x0時，8(力〉0,即/'(')=28(》)>0,所以/3在(0,/)上單調(diào)遞增；當

x0<x<|時，g(x)<0,即//(x)=2g(x)<0,所以/(X)在(O,x。)上單調(diào)遞減

又/(0)=—1<0,/團=嚀—1>OJ團=—1<0,

所以在(o,：)與上各有一個零點，

綜上，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點.

【點睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點、函數(shù)的最值與值域等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、

運算求解能力、抽象概括能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形

結(jié)合思想等,考查的數(shù)學素養(yǎng)主要有邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等

21.某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中〃7(〃zeN)瓶中有細菌，現(xiàn)需要把含有細

菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；

方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果不含有細菌，則瓶溶

液全部不含有細菌；若檢驗結(jié)果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數(shù)總共

為“+1.

(1)假設(shè)〃=5,〃?=2,采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；

(2)現(xiàn)對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為P(04pMl).

若采用方案一.需檢驗的總次數(shù)為若采用方案二.需檢驗的總次數(shù)為〃.

(力若J與"的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式P=/(〃)；

(")若p=l_e—，且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):In2n0.69,ln3?1.10,ln5?1.61,ln7=1.95

【答案】⑴奈⑵(i)P=l—⑴)8

【解析】

【分析】

(1)對可能的情況分類：〈1＞前兩次檢驗出一瓶含有細菌第三次也檢驗出一瓶含有細菌，＜2＞前三

次都沒有檢驗出來，最后就剩下兩瓶含有細菌；(2)(/)根據(jù)￡4)=￡(〃)，找到與的函數(shù)關(guān)

系；(3)根據(jù)EC)〉E(〃)得到關(guān)于的不等式式，構(gòu)造函數(shù)解決問題.

【詳解】

解：(1)記所求事件為，“第三次含有細菌且前2次中有一次含有細菌”為事件5,“前

三次均不含有細菌”為事件

則N=8UC，且民C互斥，

所以尸())=尸(8)+尸(。)=4々4+￡=4+-!-=2

4451010

⑵⑺￡1(4)=〃，

〃的取值為1,〃+1,

P⑦=1)=(1―尸)",尸(〃=〃+1)=1-(1-P)z,,

由￡?)=￡(〃)得〃=〃+1—〃(1—尸)"，

￡

所以p=l—]J'(〃eN*)；

1n

([/)?二]_eZ，加以￡(〃)=〃+1e兄，

nYl

所以(〃+i)所以

x

設(shè)/(x)=Inx--(x>0),

當X€(0,4)時，/(x)>0,/(x)在(0,4)上單調(diào)遞增；

當xe(4,+8)時，/'(X)<0,/(彳)在(4,+8)上單調(diào)遞減

9

又/(8)=ln8-2>0,/(9)=ln9――<0,

4

所以的最大值為8

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的均值以及隨機事件的概率計算，難度較難.計算兩個事件的和事件的概

率，如果兩個事件互斥，可將結(jié)果寫成兩個事件的概率之和；均值(或期望)的相關(guān)計算公式要熟

記..

(二)選考題：共10分.請考生在22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.

22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在極坐標系中，曲線C的極坐標方程是夕=--------------，在以極點為原點0,極軸為x軸正半

4cos8+3sin。

x=cos0

軸（兩坐標系取相同的單位長度）的直角坐標系Xa中，曲線G的參數(shù)方程為1.八（?為參

y=sin”

數(shù)）.

（1）求曲線G的直角坐標方程與曲線。的普通方程；

（2）將曲線0經(jīng)過伸縮變換卜=2岳后得到曲線的若材，N分別是曲線，和曲線G上的動

[y=2歹

點，求I版VI的最小值.

【答案】（1）C的直角坐標方程為4x+3y—24=0,0的普通方程為V+爐=1；

「）24-2歷

-5'

【解析】

【分析】

（1）由極坐標與直角坐標的互化公式，化簡即可求得4的直角坐標方程，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)

系式，消去參數(shù)，即可求得G的普通方程；

（2）將曲線Q經(jīng)過伸縮變換得到曲線CC,的參數(shù)方程為[”：=20c°sa（a為參數(shù)），設(shè)“

[y=2sina

（2J5cosa,2sina）,利用點到直線的距離公式，求得d有最小值，即可求解.

【詳解】

24

（1）由題意，曲線a的極坐標方