人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第33講 拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）（原卷版）

第08講拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）一、知識點歸納知識點一：曲線方程的定義一般地，如果曲線SKIPIF1<0與方程SKIPIF1<0之間有以下兩個關系：①曲線SKIPIF1<0上的點的坐標都是方程SKIPIF1<0的解；②以方程SKIPIF1<0的解為坐標的點都是曲線SKIPIF1<0上的點．此時，把方程SKIPIF1<0叫做曲線SKIPIF1<0的方程，曲線SKIPIF1<0叫做方程SKIPIF1<0的曲線．知識點二：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為SKIPIF1<0；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．知識點三：求軌跡方程的方法：1、定義法：如果動點SKIPIF1<0的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2、直譯法：如果動點SKIPIF1<0的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點SKIPIF1<0滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點SKIPIF1<0所滿足的幾何上的等量關系，再用點SKIPIF1<0的坐標SKIPIF1<0表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3、參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點SKIPIF1<0運動的某個幾何量SKIPIF1<0，以此量作為參變數(shù)，分別建立SKIPIF1<0點坐標SKIPIF1<0與該參數(shù)SKIPIF1<0的函數(shù)關系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而通過消參化為軌跡的普通方程SKIPIF1<0.4、代入法（相關點法）：如果動點SKIPIF1<0的運動是由另外某一點SKIPIF1<0的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示出相關點SKIPIF1<0的坐標，然后把SKIPIF1<0的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點SKIPIF1<0的軌跡方程。5、點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點SKIPIF1<0的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等關系式，由于弦SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的坐標滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，由此可求得弦SKIPIF1<0中點的軌跡方程.二、題型精講方法01直接法【典例1】（2023秋·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知圓心在SKIPIF1<0軸上移動的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸分別相交于SKIPIF1<0兩個動點，則點SKIPIF1<0的軌跡方程為.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點距離之比值為常數(shù)SKIPIF1<0的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到SKIPIF1<0的距離是點P到SKIPIF1<0的距離的2倍．求點P的軌跡方程；【變式1】（2023·高三課時練習）已知兩定點A（1，1）、B（-1，-1），動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點P的軌跡是.【變式2】（2023秋·高二課時練習）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，O為坐標原點，動點P與兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0．求動點P的軌跡W的方程．方法02相關點法【典例1】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？计谥校┮阎娣e為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，SKIPIF1<0，則動點P的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸上運動，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.則點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0方程是；【典例3】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學考試）已知SKIPIF1<0的斜邊為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求：(1)直角頂點SKIPIF1<0的軌跡方程；(2)直角邊SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學校考階段練習）已知定點SKIPIF1<0和曲線SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程為．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P是橢圓SKIPIF1<0上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點SKIPIF1<0的軌跡方程為．【變式3】（2023春·河北·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的上?下頂點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的動點，記SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的斜率.點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是定值，并求出該定值；(2)求動點SKIPIF1<0的軌跡方程.方法03定義法【典例1】（2023秋·全國·高二期末）一動圓SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，且與已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，則動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【變式1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）一動圓與圓SKIPIF1<0外切，同時與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為．【變式2】（2023·高二課時練習）如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式SKIPIF1<0，那么點M的軌跡是．方法04參數(shù)法【典例1】（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）已知斜率為SKIPIF1<0的動直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡長度為．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，平行于SKIPIF1<0軸的兩條直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，交SKIPIF1<0的準線于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的兩倍，求SKIPIF1<0中點的軌跡方程.【變式1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0到準線的距離為2，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡方程為.【變式2】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為C的左右焦點.點SKIPIF1<0為橢圓上一點，且SKIPIF1<0.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點M滿足SKIPIF1<0，求M的軌跡方程.方法05點差法【典例1】（2023·全國·高三專題練習）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．（2）一組平行直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交，求弦的中點的軌跡方程．【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知雙曲