自動控制原理 第3版 PPT課件 第2章

自動控制原理（第3版）孟華主編機械工業(yè)出版社普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級規(guī)劃教材第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動控制原理2第2章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1概述2.2控制系統(tǒng)微分方程的建立2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.5控制系統(tǒng)的信號流圖2.6控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制原理32.1概述數(shù)學(xué)模型:描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。動態(tài)模型：描述系統(tǒng)動態(tài)過程的方程式稱為動態(tài)模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)注意：（1）根據(jù)研究目的和精確性要求，忽略一些次要因素，使系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型簡化，便于數(shù)學(xué)上的處理。（2）根據(jù)所采用的分析方法，建立相應(yīng)形式的數(shù)學(xué)模型(微分方程、傳遞函數(shù)等)，有時還要考慮便于計算機求解。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的途徑：理論推導(dǎo)法（演繹法）——通過系統(tǒng)本身機理(物理、化學(xué)規(guī)律)分析確定模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實驗測試法（歸納法）——根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，由測量得到的大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。自動控制原理4建立系統(tǒng)(或部件)微分方程式的一般步驟：(1)在條件許可下，適當(dāng)簡化，忽略一些次要因素；(2)根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出部件的原始方程式；(3)列出原始方程式中中間變量與其它變量的關(guān)系式；(4)從所有方程式中消去中間變量，僅保留系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量；(5)最后，將微分方程表示成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出變量在左，輸入變量在右，導(dǎo)數(shù)階次從高到低排列。2.2

控制系統(tǒng)微分方程的建立自動控制原理5舉例1R-L-C電路

要求：列出uc(t)與ur(t)的關(guān)系方程式

（1）根據(jù)克希霍夫定律可寫出原始方程式（2）消去中間變量i后，得輸入輸出微分方程式

或（線性定常二階微分方程式）2.2.1

典型控制系統(tǒng)舉例自動控制原理6舉例2彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)

（1）列出原始方程式。根據(jù)牛頓第二定律，有要求：寫出系統(tǒng)在外力f(t)作用下的運動方程式（2）消去中間變量

B——阻尼系數(shù)

f2(t)=Ky(t)

K——彈性系數(shù)

代入上式并整理（線性定常二階微分方程式）自動控制原理7舉例3電樞控制的直流電動機

電樞電壓控制的直流電動機線路原理圖和結(jié)構(gòu)圖（1）列寫原始方程式。電樞回路方程式：

輸入—電樞電壓ua輸出—軸角位移q

或角速度w擾動—負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML根據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)定律，寫出運動方程式：（2）Md和ia是中間變量。由于電動機轉(zhuǎn)矩與電樞電流和氣隙磁通的乘積成正比，又因磁通恒定，有

，聯(lián)立求解，整理后得

自動控制原理8（續(xù)上頁）若輸出為電動機軸的轉(zhuǎn)角q，則有

（三階線性定常微分方程）——機電時間常數(shù)(秒)

——電動機電樞回路時間常數(shù)(秒)，一般比Tm小或自動控制原理9舉例4磁場控制的直流電動機

設(shè)電樞電流Ia=常數(shù),氣隙磁通F(t)=Kfif(t),激磁回路電感Lf為常值。（1）激磁回路方程式：或（2）轉(zhuǎn)矩平衡方程式：（3）消去中間變量j,Md

：，自動控制原理10舉例5電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)原理圖及結(jié)構(gòu)圖

w為輸出，ur為參考輸入，ML為擾動輸入（1）列各部件方程式：（2）消去中間變量，得：自動控制原理11舉例6流體過程

輸入量Qi（供水量）

輸出量H（液面高度）（一階非線性微分方程式）

（1）設(shè)流體是不可壓縮的。根據(jù)物質(zhì)守恒定律，可得

（2）求出中間變量Qo與其他變量關(guān)系（3）消去中間變量Qo，就得輸入輸出關(guān)系式自動控制原理12非線性特性線性化示意圖：

2.2.2非線性微分方程的線性化設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y=f(x)。取某平衡狀態(tài)為工作點，對應(yīng)有y0=f(x0)。當(dāng)x=x0+Dx時，有y=y0+Dy。設(shè)函數(shù)y=f(x)在（x0，y0）點連續(xù)可微，則將它在該點附近用泰勒級數(shù)展開略去高次冪項，則有令Dy=y-y0=f(x)-f(x0)，Dx=x-x0，K=(df(x)/dx)x0，則線性化方程為Dy=KDx略去增量符號D，便得到y(tǒng)=Kx自動控制原理13鐵芯線圈電路工作原理鐵芯線圈磁通變化時產(chǎn)生的感應(yīng)電勢：

根據(jù)基爾霍夫定律寫出電路微分方程

2.2.2非線性微分方程的線性化（續(xù)）將φ(i)在i0附近用泰勒級數(shù)展開當(dāng)i-i0

足夠小時，略去高階導(dǎo)數(shù)項自動控制原理14的增量方程式：令Δφ=φ(i)-φ(i0)，Δi=i-i0，K=(dφ(i)/di)i0，便可得到磁通φ與電流i之間的增量線性化方程

2.2.2非線性微分方程的線性化（續(xù)）省略偏量符號Δ得：整理得：自動控制原理15

2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的概念

RC電路如下：根據(jù)克?；舴蚨桑闪袑懳⒎址匠滔ブ虚g變量i(t)，得

對上式進(jìn)行拉氏變換

求出Uc(s)的表達(dá)式若uc(0)=0

或式中T=RC

自動控制原理16若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時，進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程

傳遞函數(shù)定義:

線性(或線性化)定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2.3.1傳遞函數(shù)的概念(續(xù))自動控制原理172.3.1傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m一般低于或等于分母的階數(shù)n，即m≤n

，且所有系數(shù)均為實數(shù)。(2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。(3)一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。(5)

傳遞函數(shù)只能表示輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系，至于系統(tǒng)中的中間變量無法反映出來。(4)

若下式中s=0，則

稱為傳遞系數(shù)(或靜態(tài)放大系數(shù))。

(6)一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的函數(shù)關(guān)系。自動控制原理182.3.1典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（1）比例環(huán)節(jié)G(s)=K

（3）積分環(huán)節(jié)

T——慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)

當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，則輸出為t/T，它隨著時間直線增長。

（2）慣性環(huán)節(jié)自動控制原理19（4）微分環(huán)節(jié)

G(s)=Ts

（理想微分環(huán)節(jié)）（實際微分環(huán)節(jié)）

（5）比例—微分環(huán)節(jié)

wn=1/T為無阻尼自然振蕩頻率

z為阻尼比，0＜z＜1（6）振蕩環(huán)節(jié)（7）延滯環(huán)節(jié)2.3.1典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)(續(xù))自動控制原理202.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2.4.1結(jié)構(gòu)圖的概念拉氏變換

RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程式為自動控制原理21控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立步驟（1）建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程。在建立微分方程時，應(yīng)分清輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。（2）對各元件或部件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。（3）按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各部件結(jié)構(gòu)圖連接起來，置系統(tǒng)輸入變量于左端，輸出變量于右端。

自動控制原理22例1

繪制無源電路的結(jié)構(gòu)圖。ur為網(wǎng)絡(luò)輸入，uc為網(wǎng)絡(luò)輸出。

因為(ur－uc)為R1與C并聯(lián)支路的端電壓，i1+i2=i，R2i=uc，所以2.4.2控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立

自動控制原理23例2

兩級RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖

（2）連接相關(guān)信號線，得到最終結(jié)構(gòu)圖（1）根據(jù)原始方程建立局部結(jié)構(gòu)圖

由于后一級RC電路是前一級的負(fù)載，所以在結(jié)構(gòu)圖中它們相互影響。自動控制原理24

為了消除負(fù)載效應(yīng)，可以在兩級RC電路之間插入隔離放大器。帶有隔離放大器的兩級RC網(wǎng)絡(luò)自動控制原理25例3位置隨動控制系統(tǒng)

系統(tǒng)各部分微分方程經(jīng)拉普拉斯變換后的關(guān)系式及相應(yīng)的局部結(jié)構(gòu)圖如下

自動控制原理26

將每個子方程的結(jié)構(gòu)圖按照相互關(guān)系，正確地連接起來，得到下圖例3位置隨動控制系統(tǒng)（續(xù)）自動控制原理272.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換

(1)結(jié)構(gòu)圖的基本組成形式

1）串聯(lián)連接

2）并聯(lián)連接自動控制原理283）反饋連接

按照信號傳遞的關(guān)系可寫出：

消去E(s)和B(s)，得因此此處的加號對應(yīng)于負(fù)反饋；減號對應(yīng)于正反饋。2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理29(2)綜合點與引出點的移動

1)綜合點的前后移動a.綜合點前移的等效變換b.綜合點后移的等效變換2)相鄰綜合點之間的移動

2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理303)引出點的前后移動

b.引出點前移的等效變換

4)相鄰引出點之間的移動a.引出點后移的等效變換

2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理31(3)結(jié)構(gòu)圖變換舉例

例1位置隨動系統(tǒng)2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理32

例2簡化結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

。2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理33例3化簡兩級RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。

2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

自動控制原理34例4化簡多交叉系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換(續(xù))

在應(yīng)用上述結(jié)構(gòu)圖變換方法進(jìn)行化簡時需注意信號流向。自動控制原理35簡化結(jié)構(gòu)圖求總傳遞函數(shù)的一般步驟(1)確定輸入量與輸出量，如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(分別作用在系統(tǒng)的不同部位)，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對于有多個輸出量的情況，也應(yīng)分別處理。(2)若結(jié)構(gòu)圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運用等效變換法則，首先將交叉消除，化為無交叉的單回路結(jié)構(gòu)。(3)對于回路可由里向外變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。自動控制原理362.4.4信號流圖1.信號流圖定義：由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)信號流圖的常用術(shù)語：節(jié)點：在圖中用小圓圈表示，表示變量（或信號）支路：是連接相鄰兩個節(jié)點之間的定向線段，它有一定的增益(即傳遞函數(shù))，稱為支路增益輸入節(jié)點：只有輸出支路沒有輸入支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點輸出節(jié)點：只有輸入支路沒有輸出支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點稱為混合節(jié)點通路：從某一節(jié)點開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點所構(gòu)成的路徑稱為通路前向通路：是指從輸入節(jié)點開始并終止于輸出節(jié)點且與其它節(jié)點相交不多于一次的通路回路：如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路不接觸回路：如果一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點，則稱為不接觸回路自動控制原理372.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖例試將下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為信號流圖。自動控制原理382.4.5梅遜公式梅遜公式

式中，P

——信號流圖的總增益；Δ——稱為特征式，∑Li——所有回路的回路增益之和；

∑LiLj——所有兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和；

∑LiLjLk——所有三個互不接觸回路的回路增益乘積之和；

n——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點所有前向通路的條數(shù)；

Pk——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點第k條前向通路的增益；

Dk——在Δ中，將與第k條前向通路相接觸的回路增益除去后所余下的部分，稱為余子式。自動控制原理39應(yīng)用舉例一自動控制原理404個回路：1個兩兩互不接觸回路：3條前向通路和相應(yīng)余子式：總增益：應(yīng)用舉例二自動控制原理41應(yīng)用舉例三求所示信號流圖的增益圖中共有三個回路：

L1=-G1G2G3G4H2，L2=-G1G6H2，L3=-G3H1回路中L2與L3不接觸：L2L3=(-G1G6H2)(-G3H1)

特征式：D=1-L1-L2-L3+L2L3

=1+G1G2G3G4H2

+G1G6H2

+G3H1

+G1G3G6H1H2

三條前向通路，n=3第一條：P1=G1G2G3G4，Δ1=1，第二條：P2=G5G3G4，Δ2=1第三條：P3=G1G6，Δ3=1+G3H1由梅遜公式可得信號流圖的增益（傳遞函數(shù)）自動控制原理42應(yīng)用舉例四

要求：繪制三級RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，并求其傳遞函數(shù)Uc/Ur。（1）繪制結(jié)構(gòu)圖。用復(fù)阻抗與電壓、電流關(guān)系，可以直接繪出網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖：

（2）求傳遞函數(shù)。該結(jié)構(gòu)圖有5個反饋回路，回路傳遞函數(shù)均相同，即有6組兩兩互不接觸回路，為Ⅰ-Ⅱ、Ⅰ-Ⅲ、Ⅰ-Ⅴ、Ⅱ-Ⅲ、Ⅲ-Ⅳ及Ⅳ-Ⅴ：

有1組三個互不接觸的回路，即Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ：

自動控制原理43特征式為

前向通路只有一條：

前向通路與各反饋回路均有接觸，余子式：Δ1=1則由梅遜公式可求得總傳遞函數(shù)：應(yīng)用舉例四（續(xù)）自動控制原理442.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖

r(t)——輸入信號n(t)——擾動信號（1）r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

輸出函數(shù)的拉氏變換令n(t)=0，結(jié)構(gòu)圖變?yōu)椋鹤詣涌刂圃?5（2）n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)干擾作用下輸出函數(shù)的拉氏變換令r(t)=0，結(jié)構(gòu)圖變?yōu)椋?.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（續(xù)）（3）系統(tǒng)的總輸出

自動控制原理46（4）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)定義代表被控量c(t)的測量輸出b(t)與輸入r(t)之差為系統(tǒng)的誤差e(t)，即

或

r(t)作用下的誤差傳遞函數(shù)E(s)/R(s)n(t)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)E(s)/N(s)

系統(tǒng)的總誤差

E(s)=We(s)R(s)+Wen(s)N(s)2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（續(xù)）自動控制原理47（5）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0如果系統(tǒng)中控制裝置的參數(shù)設(shè)置能滿足

|G1(s)G2(s)H(s)|>>1及|G1(s)H(s)|>>1則系統(tǒng)的總輸出表達(dá)式2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（續(xù)）（6）閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

將閉環(huán)回路在B(s)處斷開，從輸入R(s)到B(s)處的傳遞函數(shù)，它等于此時B(s)與R(s)的比值。亦即前向通路傳遞函

數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)的乘積：自動控制原理48例2-15已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。其中2.6控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB描述解：%MATLAB程序2-3num1=[10];den1=[141];sys1=tf(num1,den1);num2=[1];den2=[15];sys2=tf(num2,den2);num3=[1];den3=[10];sys3=tf(num3,den3);numh=[11];denh=[12];sysh=tf(numh,denh);sys4=parallel(sys2,sys3);%先求出G2G3并聯(lián)后的傳遞函數(shù)，賦給變量sys4。sysg=series(sys1,sys4);%前向回路傳遞函數(shù)為sysgsysg=minreal(sysg);%消去公因子sys=feedback(sysg,sysh,-1)%加入負(fù)反饋，得到輸出對輸入傳遞函數(shù)運行上面M文件，求出例2-15控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2s^2+9s+10----------------------------------------s^4+11s^3+41s^2+54s+15自動控制原理491傳遞函數(shù)的多項式之比形式例

已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

將其用MATLAB表示為多項式之比形式，并展開為部分分式。2.6控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB描述（續(xù)）解

用以下命令將閉環(huán)傳遞函數(shù)表示為多項式之比形式：>>num1=[14];num2=[11];den=[1560];>>num=conv(num1,num2);>>sys=tf(num,den)結(jié)果為：