自動(dòng)控制原理 第3版 PPT課件 第3章

自動(dòng)控制原理（第3版）

孟華主編機(jī)械工業(yè)出版社普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級(jí)規(guī)劃教材第3章時(shí)域分析法自動(dòng)控制原理2第3章時(shí)域分析法3.1概述3.2瞬態(tài)響應(yīng)3.3穩(wěn)定性3.4穩(wěn)態(tài)誤差分析3.5應(yīng)用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)時(shí)域分析自動(dòng)控制原理3線性定常系統(tǒng)的主要性能分析動(dòng)態(tài)性能系統(tǒng)的輸出在輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)情況。表征輸出響應(yīng)在階躍信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間等。穩(wěn)定性自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的前提是系統(tǒng)穩(wěn)定。不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能正常工作。判斷方法：勞斯判據(jù)、Nyquist判據(jù)、李雅普諾夫第二方法等。Routh,Hurwitz,Nyquist,Bode,Nichols,andLyapunovstabilitycriterion控制系統(tǒng)一般都存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)有關(guān)。3.1概述自動(dòng)控制原理4瞬態(tài)響應(yīng):在輸入信號(hào)作用下,其輸出量從初始狀態(tài)到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之間隨時(shí)間變化的過程。（1）預(yù)先規(guī)定一些特殊的試驗(yàn)輸入信號(hào)

（2）比較標(biāo)準(zhǔn)——性能指標(biāo)

比較控制系統(tǒng)對(duì)規(guī)定輸入信號(hào)的響應(yīng)3.2瞬態(tài)響應(yīng)——控制系統(tǒng)對(duì)這些試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)——控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)——規(guī)定的一些特殊輸入信號(hào)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)t自動(dòng)控制原理5（1）單位階躍函數(shù)0t用于描述指令突然轉(zhuǎn)換、合閘、負(fù)荷突變等

3.2.1典型輸入信號(hào)（2）單位斜坡函數(shù)10t用于描述指令隨時(shí)間線性變化的斜坡信號(hào)自動(dòng)控制原理6（3）拋物線函數(shù)0t1/21用于描述機(jī)動(dòng)的指令輸入信號(hào)（4）單位脈沖函數(shù)0用于描述對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)的瞬間沖擊作用3.2.1典型輸入信號(hào)（續(xù)）自動(dòng)控制原理7（5）正弦函數(shù)0t主要用于頻域分析,有時(shí)也用于時(shí)域分析3.2.1典型輸入信號(hào)（續(xù)）自動(dòng)控制原理8調(diào)整時(shí)間Settlingtime單位階躍響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)上升時(shí)間Risetime峰值時(shí)間Peaktime10t這些點(diǎn)已被確定0.05或0.02超調(diào)量Overshoot0.5延遲時(shí)間Delaytime自動(dòng)控制原理9-（1）一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.2.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

自動(dòng)控制原理10(1)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(續(xù))T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632自動(dòng)控制原理11（2）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)98.2%95%99.3%86.5%B0tT2T3T4T5T63.2%A（2）一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（續(xù)）自動(dòng)控制原理12（3）一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

自動(dòng)控制原理13-二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式或稱標(biāo)準(zhǔn)方程。3.2.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)自動(dòng)控制原理14如電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)圖中，角速度

與電樞電壓ua之間傳遞函數(shù)為如R-Ｌ-Ｃ電路圖中，其傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理15二階系統(tǒng)特征方程：[s]0000特征方程的根：0特征方程的根Therootsofcharacteristicequations自動(dòng)控制原理160[s]二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)自動(dòng)控制原理17衰減振蕩自動(dòng)控制原理18自動(dòng)控制原理19自動(dòng)控制原理20自動(dòng)控制原理210不振蕩二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)自動(dòng)控制原理220不振蕩動(dòng)態(tài)過程更長(zhǎng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)自動(dòng)控制原理23[s]0單調(diào)發(fā)散二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)此類系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自動(dòng)控制原理240發(fā)散振蕩二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)此類系統(tǒng)不穩(wěn)定。自動(dòng)控制原理25

可以看到不同ζ值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族由圖知在一定ζ值下，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。與ζ值在一定范圍內(nèi)的欠阻尼系統(tǒng)相比，過阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，動(dòng)作很緩慢，所以一般的控制系統(tǒng)大都設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線自動(dòng)控制原理26二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)自動(dòng)控制原理27自動(dòng)控制原理28上升時(shí)間峰值時(shí)間調(diào)整時(shí)間10t這些點(diǎn)已被確定0.05或0.02超調(diào)量0.5延遲時(shí)間3.2.4時(shí)域性能指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)σ%

自動(dòng)控制原理291、欠阻尼二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

0[s]3.2.5瞬態(tài)響應(yīng)分析自動(dòng)控制原理303.2.5瞬態(tài)響應(yīng)分析（續(xù)）得：自動(dòng)控制原理313.2.5瞬態(tài)響應(yīng)分析（續(xù)）自動(dòng)控制原理32（4）調(diào)整時(shí)間tsc(t)的包絡(luò)線為3.2.5瞬態(tài)響應(yīng)分析（續(xù)）自動(dòng)控制原理33標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)自動(dòng)控制原理34

根據(jù)以上分析，可以看出欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能完全取決于阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩頻率ωn

。如何選取ζ和ωn使系統(tǒng)滿足設(shè)計(jì)要求，應(yīng)從如下幾點(diǎn)考慮：（1）當(dāng)ωn一定，要減小tr和tp，必須減少ζ值，要減少ts則應(yīng)增大ζ、ωn

值，而且ζ值有一定范圍，不能過大。（2）增大ωn

，能使tr，tp和ts都減少。（3）最大超調(diào)量σp只由ζ決定，ζ越小，σp越大。所以，一般根據(jù)σp的要求選擇ζ值，在實(shí)際系統(tǒng)中，ζ值一般在0.5-0.8之間。而對(duì)各種時(shí)間性能指標(biāo)的要求，則可通過ωn的選取來滿足。參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響

自動(dòng)控制原理35例角位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖

設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)均已確定，只有放大器增益Ka可調(diào)，經(jīng)等效變換后得開環(huán)傳遞函數(shù)為試計(jì)算Ka=200時(shí)的tp，ts和σp%

。如果增益提高到1500或降低到10，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有何影響？舉例解:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)當(dāng)Ka=200時(shí)，ωn=31.6，ζ=34.5/（2ωn

）=0.545，得:

自動(dòng)控制原理36(2)Ka=1500時(shí)，得ωn=86.2s-1，ζ=0.2；得:tp=0.037s，ts=0.17s

，σp%=52.7%?？梢钥闯觯岣咴鲆媸鬼憫?yīng)初始段加快，但振蕩強(qiáng)烈，平穩(wěn)性明顯下降。而由于ζ小，ωn大，調(diào)節(jié)時(shí)間并無多大變化。(3)Ka=10時(shí)，得ωn=7.07s-1，ζ=2.44，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)無超調(diào)。二階系統(tǒng)兩個(gè)特征根為

因s2的絕對(duì)值遠(yuǎn)大于s1，二階系統(tǒng)近似為一階慣性環(huán)節(jié)此時(shí)，響應(yīng)雖無超調(diào)，但過程緩慢。舉例（續(xù)）自動(dòng)控制原理37

分析上例,改變放大器增益Ka對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性的影響發(fā)現(xiàn)，為提高響應(yīng)速度而加大開環(huán)增益，結(jié)果是阻尼比減小，使振蕩加??；反之，減小增益能顯著改善平穩(wěn)性，但響應(yīng)過程又過于緩慢。僅僅改變系統(tǒng)原有部件參數(shù)難于全面滿足性能指標(biāo)。此時(shí)可以通過適當(dāng)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，改善系統(tǒng)的品質(zhì)。（1）誤差的比例+微分控制

開環(huán)傳函等效阻尼比閉環(huán)傳函改善二階系統(tǒng)性能的措施自動(dòng)控制原理38t改善二階系統(tǒng)性能的措施（續(xù)）從物理概念上說明比例—微分控制對(duì)系統(tǒng)性能的影響自動(dòng)控制原理39（2）輸出量的速度反饋控制

輸出速度反饋控制系統(tǒng)沒有微分控制作用，與比例+微分控制相比，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)平穩(wěn)性更好，但快速性改善作用不強(qiáng)。其中，Kt稱為速度反饋系數(shù)。改善二階系統(tǒng)性能的措施（續(xù)）自動(dòng)控制原理40當(dāng)線性定常系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出也為原來輸出的導(dǎo)數(shù)。在零初始條件下，當(dāng)線性定常系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的積分時(shí)，則系統(tǒng)的輸出為原來輸出的積分。3.2.6線性定常系統(tǒng)的重要特性

由于單位脈沖信號(hào)是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以單位脈沖響應(yīng)也是單位階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。由于單位斜坡信號(hào)和單位拋物線信號(hào)分別是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分，所以單位斜坡響應(yīng)和單位拋物線響應(yīng)也應(yīng)是單位階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分。這樣只要知道系統(tǒng)對(duì)某一種典型信號(hào)的響應(yīng)，對(duì)其它典型信號(hào)的響應(yīng)也可推知。這是線性定常系統(tǒng)獨(dú)具的特性。自動(dòng)控制原理41高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成如下的形式：寫成零、極點(diǎn)的形式:

設(shè)輸入為單位階躍,則輸出為:

3.2.7高階系統(tǒng)的近似分析自動(dòng)控制原理42設(shè)系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，則:

由上式可見，高階系統(tǒng)的響應(yīng)是由慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）的單位階躍響應(yīng)構(gòu)成。

（1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由pj和ζnj、ωnj

決定。（2）各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)決定于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布。（3）系統(tǒng)的零、極點(diǎn)共同決定了瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。3.2.7高階系統(tǒng)的近似分析（續(xù)）自動(dòng)控制原理431、閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點(diǎn)數(shù)值上相近，則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消去，稱之為偶極子相消。2、系統(tǒng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部愈是遠(yuǎn)離虛軸，則該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在瞬態(tài)響應(yīng)中衰減得愈快。 反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)著瞬態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項(xiàng)，該極點(diǎn)對(duì)（或極點(diǎn)）對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。 工程上當(dāng)極點(diǎn)A距虛軸的距離大于5倍的極點(diǎn)B距虛軸的距離時(shí)，分析時(shí)可忽略極點(diǎn)A。 找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析，相應(yīng)的性能指標(biāo)都可以按二階系統(tǒng)進(jìn)行近似估計(jì)。零極點(diǎn)的性質(zhì)自動(dòng)控制原理44例已知四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)c(t)。解傳遞函數(shù)變?yōu)?觀察上圖可知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)(s+20.03)和一個(gè)極點(diǎn)(s+20)距離很近，遠(yuǎn)離其它零極點(diǎn)。對(duì)消此零極點(diǎn)得近似的單位階躍響應(yīng)為

上式s1=,Re[s2,3]=。s1距虛軸的距離是s2,3距虛軸距離的5倍以上。將高階系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng)舉例自動(dòng)控制原理453.3穩(wěn)定性3.3.1穩(wěn)定性的基本概念

穩(wěn)定stable

不穩(wěn)定unstableMbcodf自動(dòng)控制原理46穩(wěn)定性嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，最早是由俄國學(xué)者李雅普諾夫在1892年建立的。它是具有普遍性意義的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還適用于時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。這里只討論單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。只是從激勵(lì)和響應(yīng)的關(guān)系上分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)是否能回到原平衡點(diǎn)。系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離原來的平衡狀態(tài)。如果擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則是不穩(wěn)定的。3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動(dòng)控制原理47

r(t)作用下的響應(yīng)分量與系統(tǒng)的初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)分量之和擾動(dòng)輸入n(t)作用下的響應(yīng)分量

3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動(dòng)控制原理48t>t2時(shí),系統(tǒng)可能經(jīng)過一定的時(shí)間回到原來的平衡工作點(diǎn),也可能隨著時(shí)間的增加而無限偏離原來的平衡工作點(diǎn)。t平衡點(diǎn)偏離平衡點(diǎn)恢復(fù)平衡點(diǎn)tt3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）若n(t)=0后，有若n(t)=0后，有就稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。就稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)自動(dòng)控制原理49對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性定義的附加說明：當(dāng)經(jīng)過一定時(shí)間后，系統(tǒng)既不回到原平衡點(diǎn)又不無限偏離原平衡點(diǎn)，而表現(xiàn)為在原平衡點(diǎn)附近的一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)做等幅振蕩或收斂于一個(gè)新的有限平衡點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是在李雅普諾夫穩(wěn)定性意義下臨界穩(wěn)定的。3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）自動(dòng)控制原理50線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件：設(shè)系統(tǒng)原平衡點(diǎn)為c0(t)=0?，F(xiàn)在加入擾動(dòng)輸入n(t)=δ(t)，即N(s)=1。擾動(dòng)引起的輸出c(t)=cn(t)=g(t),C(s)=Cn(s)=L-1[g(t)]。設(shè)擾動(dòng)輸入引起系統(tǒng)輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)為輸出的拉普拉斯變換為3.3.1穩(wěn)定性的基本概念（續(xù)）Aj、Bj和Cj由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。自動(dòng)控制原理51線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件（續(xù)）(1)若-lj<0，-sj<0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但由于存在復(fù)數(shù)根(w

j≠0)，系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩；(2)若-lj<0，-sj<0，且w

j=0，則系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，系統(tǒng)響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減；(3)若-lj或-sj只要有一個(gè)是正數(shù),t→∞時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)散,不穩(wěn)定；(4)只要-sj中有一個(gè)為零（即虛根），當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，其輸出為等幅振蕩，這時(shí)稱系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（不穩(wěn)定）。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部?；蛘f閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部（位于左半s平面）。自動(dòng)控制原理52(1)系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且a0>0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，即ai>0(i=0,1,2,…,n)。3.3.2勞斯判據(jù)(2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)1)要求a0>0。2)穩(wěn)定的充分條件：勞斯陣列中第一列所有項(xiàng)>0

。自動(dòng)控制原理53

一直計(jì)算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號(hào)，若全部大于0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面根的個(gè)數(shù)。構(gòu)造勞斯陣列表自動(dòng)控制原理54例3-3系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)特征方程所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,列表得勞斯陣列第一列沒改變符號(hào)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。s412415s38320s2s1s0事實(shí)上，上式可化簡(jiǎn)為特征根為-1，-3，-2+j，都具有負(fù)的實(shí)部,系統(tǒng)穩(wěn)定。201526015自動(dòng)控制原理55

例3-4

已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由系統(tǒng)特征方程,滿足必要條件,列表得s5125

s4316

s359

（各系數(shù)均已乘3)

s2

-1115

（各系數(shù)均已乘5/2）

s1174

（各系數(shù)均已乘11）

勞斯陣列表第一列有負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列數(shù)的符號(hào)改變了兩次(5→－11→174），所以，系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正實(shí)根。

自動(dòng)控制原理56勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個(gè)元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；

Thereisazero

in

the

firstcolumn,butsomeotherelementsof

therowcontainingthezerointhefirstcolumnarenonzero.

2、某一行所有元素均為零。Thereisazerointhefirstcolumn,andtheotherelementsoftherowcontainingthezeroarealsozero.自動(dòng)控制原理571、某一行第一個(gè)元素為零試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例3-5

：011

第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。replacethiszerowithasmallpositivenumber,ε,自動(dòng)控制原理582、某一行所有元素均為零

系統(tǒng)必然存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱的根。即存在等值反號(hào)的實(shí)根、共軛虛根或偶數(shù)對(duì)共軛復(fù)根。系統(tǒng)必然非漸進(jìn)穩(wěn)定。[S][S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。自動(dòng)控制原理59

例3-6系統(tǒng)特征方程為

解

勞斯陣列表為

s3

14s2

1040s1

s0從上表第一列可以看出，各數(shù)均未變號(hào)，所以沒有特征根位于右半平面,即系統(tǒng)穩(wěn)定。由輔助方程式10s2+40=0知道有一對(duì)共軛虛根為±j2。

0020040↓求導(dǎo)數(shù)輔助多項(xiàng)式10s2+40構(gòu)成新行20s+0自動(dòng)控制原理60

例3-7特征方程式為

s

5124-25

s

4248-50

s

3

s

2

s

1

s

0

解勞斯陣列表如下：00輔助多項(xiàng)式2s4＋48s2－50＝096824-50338/3-50構(gòu)成新行8s3＋96s＝0得:s1,2=±1;s3,4=±j5。它們均對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，其中一個(gè)根在S平面右半平面。勞斯陣列表第一列變號(hào)一次，故有一個(gè)根在右半平面。由輔助方程式自動(dòng)控制原理613.

勞斯判據(jù)的應(yīng)用

應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，也可檢驗(yàn)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。通過求解系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)，分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

令

即把虛軸左移s1，得以z為變量的新的特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個(gè)根位于新虛軸(垂直線s=-s1)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s1。穩(wěn)定裕量s1

(1)穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)自動(dòng)控制原理62例3-7檢驗(yàn)特征方程式

檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線s=-１的右邊。

解令s=z-1，代入特征方程式，得新的勞斯陣列表為z

312z

2512z

1-2/5z

012從上表中可看出，第一列符號(hào)改變2次，故有二個(gè)根在垂直線s=-1（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量達(dá)不到1。自動(dòng)控制原理63(2)

分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

系統(tǒng)的特征方程式為s3

150s2

15

50Ks1

s0

若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充分條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，即K>0和15-

K>0，所以

0<K<15

其穩(wěn)定的臨界值為15。單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為50K列寫勞斯陣列表為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定限制。但為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，有時(shí)則要求較大的K值，兩者是矛盾的。為了滿足這兩方面的要求，可采取校正的方法來處理。

自動(dòng)控制原理64例3-8

某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，K與T之間的關(guān)系。

解由上式得系統(tǒng)的特征方程式為s

32T

（K+1）s

2

T+2Ks1s0K

勞斯陣列表為要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足K>0、T>0及>0則系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為K>0、0<T<自動(dòng)控制原理653.3.3赫爾維茨判據(jù)

穩(wěn)定的必要和充分條件是a0>0的情況下，赫爾維茨行列式對(duì)角線上所有子行列式Δi(i=1，2，…,n)均大于零。赫爾維茨行列式由特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構(gòu)成：主對(duì)角線上為特征方程式自a0寫至an的系數(shù)，每行以主對(duì)角線上系數(shù)為準(zhǔn)，若向左系數(shù)注腳號(hào)碼依次下降，向右系數(shù)注腳號(hào)碼則依次上升。注腳號(hào)碼若大于n或小于零時(shí)，此系數(shù)為零。

自動(dòng)控制原理66

例3-9

設(shè)系統(tǒng)特征方程式為試用赫爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解從特征方程式看出所有系數(shù)為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件。計(jì)算赫爾維茨行列式

所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。自動(dòng)控制原理673.4穩(wěn)態(tài)誤差分析

在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，不僅要求系統(tǒng)具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，還應(yīng)具有令人滿意的穩(wěn)態(tài)控制精度。

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，它體現(xiàn)了系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，實(shí)際輸出與希望輸出之間的偏差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，又受到外輸入信號(hào)作用的影響，同時(shí)，系統(tǒng)靜特性不穩(wěn)定和參數(shù)變化等因素也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差。自動(dòng)控制原理68

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，即H(s)=1，有E’(s)=E(s)，所以E(s)可以反映E’(s)，且便于測(cè)量。定義在輸入端的誤差：定義在輸出端的誤差：兩種誤差之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系3.4.1穩(wěn)態(tài)誤差的概念

自動(dòng)控制原理69

誤差時(shí)域表達(dá)式為e(t)

=r(t)－b(t)，令t→∞時(shí)，得穩(wěn)態(tài)誤差

或

穩(wěn)態(tài)誤差ess可以用求s→0時(shí)sE(s)的極限替代，通常E(s)的解析表達(dá)式比e(t)的解析表達(dá)式更容易得到。3.4.2穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

誤差的拉普拉斯變換為其中，Gk(s)=G1(s)G2(s)H(s)

系統(tǒng)誤差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，還決定于輸入信號(hào)的形式及作用點(diǎn)。在參考輸入和擾動(dòng)輸入共同作用下，系統(tǒng)的誤差包括參考輸入引起的誤差和擾動(dòng)輸入引起的誤差。自動(dòng)控制原理70（1）參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差N(s)=0時(shí)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則所以，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸入信號(hào)。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為自動(dòng)控制原理71

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可以表示為式中，N為開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，K為開環(huán)增益。系統(tǒng)常按其開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)量分類：Thenumberofintegrationsiscalledtypenumberofsystem

當(dāng)N=0時(shí)，稱為0型系統(tǒng)Type0system，或有差系統(tǒng)；

當(dāng)N=1時(shí)，稱為Ⅰ型系統(tǒng)TypeⅠsystem

，或一階無差系統(tǒng)型；當(dāng)N=2時(shí)，稱為Ⅱ型系統(tǒng)TypeⅡsystem

，或二階無差系統(tǒng)型；

增加型號(hào)數(shù)可使精度提高，但對(duì)穩(wěn)定性不利，一般N≤2。自動(dòng)控制原理721)階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=A﹒1(t)（A為階躍函數(shù)的幅值）靜態(tài)位置誤差系數(shù)對(duì)于0型系統(tǒng)，對(duì)于Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)，典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差自動(dòng)控制原理73

2)斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入為斜坡函數(shù)r(t)=B﹒t時(shí)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)

典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（續(xù)）自動(dòng)控制原理743)拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入為拋物線函數(shù)r(t)=1/2C﹒t2時(shí)，

加速度誤差系數(shù)

對(duì)于0型系統(tǒng)，

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，

對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，

對(duì)于Ⅱ型以上系統(tǒng)，

典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差（續(xù)）自動(dòng)控制原理75解系統(tǒng)(a)為I型系統(tǒng)，其Ka=0，不能緊跟r(t)的3t2分量，所以

自動(dòng)控制原理76例3-10兩個(gè)系統(tǒng)如圖，當(dāng)參考輸入r(t)=4＋6t＋3t2時(shí)，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)(b)為II型系統(tǒng)，其Ka=K=10/4，所以

(a)Ⅰ型系統(tǒng)(b)Ⅱ型系統(tǒng)自動(dòng)控制原理77例3-11系統(tǒng)如圖，設(shè)

，且誤差定義為試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由G(s)可以看出：v=1，K=1。穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)可以無誤差地的跟蹤階躍輸入，而跟蹤斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為常值V0/K。則系統(tǒng)在作用下的總誤差為自動(dòng)控制原理78

（2）主擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差

在擾動(dòng)信號(hào)的作用下系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差:R(s)=0時(shí)，系統(tǒng)誤差表達(dá)式為

單位階躍函數(shù)n(t)=1(t)輸入時(shí)在擾動(dòng)作用點(diǎn)以前的系統(tǒng)前向通道G1(s)的靜態(tài)放大系數(shù)愈大，則由擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差就愈小。對(duì)于無差系統(tǒng)，N≥１，G1(0)=∞，擾動(dòng)不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由此產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為零。自動(dòng)控制原理79階躍輸入作用下的位置誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差綜上：n(t)作用與r(t)作用相比，誤差規(guī)律不同。

隨動(dòng)系統(tǒng)舉例自動(dòng)控制原理80

令擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)為擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為了降低或消除主擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前前向通道的放大系數(shù)或在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前引入積分環(huán)節(jié)的辦法來實(shí)現(xiàn)。隨動(dòng)系統(tǒng)舉例（續(xù)）自動(dòng)控制原理81（3）系統(tǒng)靜特性變化引起的誤差

由于環(huán)境條件改變，元件發(fā)熱、摩損、老化、特性漂移等各種原因引起的系統(tǒng)參數(shù)或靜特性的變化，都將導(dǎo)致輸出變化，從而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。這些系統(tǒng)內(nèi)部的變化（系統(tǒng)的內(nèi)部擾動(dòng)）所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，有時(shí)很嚴(yán)重，尤其是在要求的較高場(chǎng)合，必須考慮這種誤差。

假定參考輸入一定，那么圖示的非單位反饋系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)有G(0)和H(0)變化時(shí)，有自動(dòng)控制原理82所以：

1)反饋系數(shù)變化或不準(zhǔn)確，將使系統(tǒng)輸出發(fā)生同樣大?。ㄏ鄬?duì)值）的變化或誤差，所以為使系統(tǒng)具有一定的精度，檢測(cè)元件或反饋通道環(huán)節(jié)應(yīng)該準(zhǔn)確恒定；

2)前向通道環(huán)節(jié)發(fā)生變化而引起的誤差，差不多是與G(0)H(0)成反比的，由于G(0)H(0)較大，故G(0)變化對(duì)系統(tǒng)輸出影響不大，對(duì)它的準(zhǔn)確度和恒定性的要求可以大大降低，這正是負(fù)反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)。（3）系統(tǒng)靜特性變化引起的誤差（續(xù)）

自動(dòng)控制原理83

3.4.3降低穩(wěn)態(tài)誤差的主要措施

降低穩(wěn)態(tài)誤差的措施有：

(1)保證元件有一定的精度和性能穩(wěn)定性，尤其是反饋通道元件。有時(shí)還應(yīng)考慮實(shí)際的環(huán)境條件，采取必要的誤差補(bǔ)償?shù)却胧?/p>

(2)在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的前提下，增大系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)或增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，保證對(duì)參考輸入的跟隨能力；增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道放大系數(shù)或增加擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道的積分環(huán)節(jié)數(shù)，以降低擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)改變了閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。所以必須同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。如果作用于系統(tǒng)的主要干擾可以測(cè)量時(shí)，可以采用復(fù)合控制來降低系統(tǒng)誤差，或消除擾動(dòng)影響。自動(dòng)控制原理84

下圖表示了一個(gè)按輸入反饋——按擾動(dòng)順饋的復(fù)合控制系統(tǒng)。G(s)為被控對(duì)象傳遞函數(shù)，Gc(s)為控制器傳遞函數(shù)，Gn(s)為干擾通道的傳遞函數(shù)，GN(s)為順饋控制器的傳遞函數(shù)。如果擾動(dòng)量可以測(cè)量，且Gn(s)是已知的，則可通過適當(dāng)選擇GN(s)，消除擾動(dòng)所引起的誤差。采用復(fù)合控制降低誤差C(s)對(duì)N(s)的傳遞函數(shù)為，令，所以選擇自動(dòng)控制原理85

由于順饋控制是開環(huán)控制，精度受限，且對(duì)參考輸入引起的響應(yīng)沒有作用。所以為了滿足系統(tǒng)對(duì)參考輸入響應(yīng)的要求，以及為了消除或降低其它擾動(dòng)的影響，在復(fù)合控制系統(tǒng)中還需借助反饋和適當(dāng)選取Gc(s)來滿足要求。

為了提高系統(tǒng)對(duì)參考輸入的跟綜能力，也可按參考輸入順饋來消除或降低誤差。令，所以選擇。采用復(fù)合控制降低誤差（續(xù)）自動(dòng)控制原理86例3-12系統(tǒng)如圖設(shè)K1、K2、T1、T2、均為已知正值。當(dāng)輸入量r(t)=t2/2時(shí)，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù)a和b。解閉環(huán)特征方程如果系統(tǒng)穩(wěn)定且與待求參數(shù)a，b無關(guān)自動(dòng)控制原理87合理的選擇順饋控制環(huán)節(jié)的參數(shù)滿足欲使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零則待定參數(shù)為3.5應(yīng)用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)時(shí)域分析1.二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo)計(jì)算例

已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB求其單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，繪制出響應(yīng)曲線，并對(duì)單位階躍響應(yīng)求其性能指標(biāo)。自動(dòng)控制原理88解%MATLAB程序3-2num=[4];den=[122];[num1,den1]=feedback(num,den,1,1,-1);sys=tf(num1,den1);%求出閉環(huán)傳遞函數(shù)T=0.01;%定義采樣周期t=0:T:10;%定義求解時(shí)間deltu=4/(10/(4*T));[y1,t]=impulse(sys,t);%y1脈沖響應(yīng)[y2,t]=step(sys,t);%y2為階躍響應(yīng)fv=dcgain(sys);%fv是階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值

tr=1;whiley2(tr)<fv+0.001;tr=tr+1;end;%找到第一次超出穩(wěn)態(tài)值的點(diǎn)rise_time=(tr-1)*