2019山西中考數(shù)學專題訓練-綜合與實踐5類10道

——綜合與實踐類型一類比探究型（不含圖形變化）★1.綜合與實踐問題背景如圖①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，于是eq\f(BC,AB)＝eq\f(2BD,AB)＝eq\r(3).遷移應用(1)如圖②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD.①求證：△ADB≌△AEC；②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式．拓展延伸(2)如圖③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF.試判斷△CEF的形狀；（3）如圖③，若AE＝5，CE＝2，求BF的長．第1題圖(1)①證明：由題意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC；②解：CD＝eq\r(3)AD＋BD；【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝eq\r(3)AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝eq\r(3)AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，∴DC－DB＝eq\r(3)AD，即CD＝eq\r(3)AD＋BD.（2）解：△EFC為等邊三角形.理由如下：如解圖，連接BE，作BG⊥AE于點G.設CE與BF相交于點N，第1題解圖∵C、E關于BM對稱，∴BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴AB＝BC＝BE，又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2，∴∠GBF＝∠2＋∠3＝eq\f(1,2)∠ABC＝60°，∵在四邊形GBNE中，∠GEN＝360°－∠EGB－∠ENB－∠GBN＝120°，∴∠FEN＝60°，又∵EF＝FC，∴∠EFC＝60°，∴△EFC為等邊三角形；（3）解：∵AE＝5，CE＝2，∴EG＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(5,2)，EF＝CE＝2，∴GF＝EG＋EF＝eq\f(9,2)，∵∠BGF＝90°，∠GFB＝30°，∴BF＝eq\f(GF,cos30°)＝3eq\r(3).★2.綜合與探究問題背景在綜合實踐課上，老師讓同學們根據(jù)如下問題情境，寫出兩個教學結論：如圖①，點C在線段BD上，點E在線段AC上．∠ACB=∠ACD=90°，AC=BC；DC=CE，M，N分別是線段BE，AD上的點．“興趣小組”寫出的兩個教學結論是：①△BCE≌△ACD；②當CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線時，△MCN是等腰直角三角形．解決問題（1）請證明“興趣小組”所寫的兩個結論的正確性．類比探究受到“興趣小組”的啟發(fā)，“實踐小組”的同學們寫出如下結論：如圖②，當∠BCM=∠ACN時，△MCN是等腰直角三角形．（2）“實踐小組”所寫的結論是否正確？請說明理由．感悟發(fā)現(xiàn)“奮進小組”認為：當點M，N分別是BE，AD的三等分點時，△MCN仍然是等腰直角三角形請你思考：（3）“奮進小組”所提結論是否正確？答：．（填“正確”、“不正確”或“不一定正確”．）反思上面的探究過程，請你添加適當?shù)臈l作，再寫出使得△MCN是等腰直角三角形的數(shù)學結論．（所寫結論必須正確，寫出1個即可，不要求證明）圖①圖②備用圖第2題圖證明：在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵CM，CN分別是△BCE和△ACD的中線，∴BM=BE，AN=AD，∴BM=AN，在△BCM和△ACN中，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴CM=CN，∠BCM=∠ACN∵∠BCM+∠MCE=90°，∴∠ACN+∠MCE=90°，∴MC⊥CN．∴△MCN是等腰直角三角形．（2）解：實踐小組”所寫的結論正確．理由：∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，在△BCM和△CAN中，∴△BCM≌△ACN（ASA），∴CM=CN，∵∠BCM+∠MCE=∠ACB=90°，∴∠ACN+∠MCE=90°，∴MC⊥CN．∴△MCN是等腰直角三角形．（3）解：不一定正確．【解法提示】當BM=BE，AN=AD時，△MCN仍然是等腰直角三角形．當BM=BE，DN=AD時，△MCN不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：當CM，CN分別是△BCE，△ACD的高時，△MCN是等腰直角三角形；當CM，CN分別是△BCE，△ACD的角平分線時，△MCN是等腰直角三角形；理由：只要證明△BCM≌△ACN（AAS），即可推出∠BCM=∠ACN，推出∠MCN=90°，∵CM=CN，∴△MCN是等腰直角三角形．類型二圖形平移型★3.綜合與實踐問題情境：如圖①，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D.獨立思考：(1)試探究四邊形AEE′D的形狀；深入探究：(2)如圖②，在(1)的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D，試探究四邊形AFF′D的形狀；拓展延伸：(3)在(2)的條件下，求出四邊形AFF′D的兩條對角線的長;(4)若四邊形ABCD為正方形，請仿照上述操作，進行一次平移，在圖③中畫出圖形，標明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結論，直接寫出你的結論.圖①圖②圖③第3題圖解：(1)四邊形AEE′D是矩形；理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝CE′，∴EE′＝BC＝AD，且AD∥EE′，∴四邊形AEE′D是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴四邊形AEE′D是矩形．(2)四邊形AFF′D是菱形，∵已知AD＝5，S?ABCD＝15，∴AE＝eq\f(S?ABCD,AD)＝eq\f(15,5)＝3，∵將△AEF平移至△DE′F′，∴AF＝DF′，AF∥DF′，∴四邊形AFF′D是平行四邊形．在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝eq\r(AE2＋EF2)＝eq\r(32＋42)＝5.∴AF＝AD＝5，∴四邊形AFF′D是菱形．(3)如解圖①，連接AF′，DF，第3題解圖①∵E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt△DE′F中，DF＝eq\r(E′D2＋E′F2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt△AEF′中，AF′＝eq\r(AE2＋EF′2)＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).答案不唯一.如解圖②，在BC上取一點E，連接AE,然后將△ABE平移至△DCE′位置.結論：四邊形AEE′D為平行四邊形第3題解圖②★4.綜合與實踐數(shù)學活動—移動中探究線段關系問題情境：數(shù)學課上，老師出示了一個問題：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝BC，點E，F(xiàn)分別在AC，BC上，∠EDF＝90°，求DE與DF的數(shù)量關系．獨立思考：(1)①請根據(jù)以上信息，解答老師提出的問題；②若CF=1,CE=2,請直接寫出CD的長.(3)探索求證：如圖②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝BC，延長BC到點F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點G在邊BA的延長線上，求證：DE＝DF，DE⊥DF；(4)拓展延伸：如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠B＝30°，延長BC到點F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點G在邊BA的延長線上，直接寫出線段DE與DF之間的位置關系和數(shù)量關系．第4題圖(1)①解：∵∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∠CDF＋∠FDB＝90°，∴∠EDC＝∠FDB.由題可知△ACB是等腰直角三角形，CD是AB邊上的中線，∴∠ECD＝∠B＝45°，CD＝BD，在△EDC和△FDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDC＝∠FDB，,CD＝BD，,∠ECD＝∠B，))∴△EDC≌△FDB(ASA)．∴DE＝DF；【一題多解】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝45°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝∠CDF＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF；②解：CD的長為;【解法提示】①知△ADE≌△CDF，∴BF=CE=2,∴BC=CF+BF=3,∵AC=BC,∠ACB=90°，∴CD=.(3)證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴DA＝DB＝DC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAE＝∠DCF＝135°，又∵∠GAE＝45°，∠AEG＝∠ACF＝∠ACB＝90°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AE＝EG，由平移可知CF＝EG＝AE，在△DAE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝DC，,∠DAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△DAE≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF，∴∠FDE＝∠CDA＝90°，∴DE⊥DF；(4)解：DE⊥DF，DF＝eq\r(3)DE.【解法提示】由CD⊥AB，AC⊥BC，∠B＝30°，可得∠ACD＝30°，則有eq\f(CD,AD)＝eq\r(3)，由平移可知∠FGE＝90°，F(xiàn)C＝GE，則有∠AGE＝90°－60°＝30°，eq\f(GE,AE)＝eq\f(CF,AE)＝eq\r(3).∴eq\f(CF,AE)＝eq\f(CD,AD)＝eq\r(3).又∵∠FCD＝∠EAD＝∠CDB＋∠B＝120°，∴△CFD∽△AED，∴eq\f(DF,DE)＝eq\r(3)，即DF＝eq\r(3)DE，同(2)可證得DE⊥DF.類型三圖形旋轉型★5.綜合與實踐問題情境：綜合實踐課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉”為主題進行數(shù)學活動，如圖①，在三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C.操作發(fā)現(xiàn)：(1)創(chuàng)新小組將圖①中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針旋轉角度α，得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉角度α，得到△AFG，連接DF，得到圖②，試判斷四邊形AFDE的形狀；(2)實踐小組將圖①中的△ABC以點B為旋轉中心，逆時針旋轉90°得到△DBE，再將△ABC以點A為旋轉中心，順時針旋轉90°得到△AFG，連接DF，DG，AE，得到圖③，發(fā)現(xiàn)四邊形AFDB為正方形，①請你證明這個結論；②若AB=4,∠ABC=60°，求BE的長;拓展探究：(3)請你在實踐小組操作的基礎上，再寫出圖③中的一個特殊四邊形，并證明你的結論．第5題圖(1)解：四邊形AFDE是平行四邊形；理由：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉角度α得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉角度α得到的，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四邊形AFDE是平行四邊形；(2)①證明：∵△DBE是由△ABC繞點B逆時針旋轉90°得到的，△AFG是由△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的，∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠FAB＝180°，∴DB∥AF，∴四邊形AFDB是平行四邊形，∵DB＝AF，∴四邊形AFDB是菱形，∵∠DBA＝90°，∴菱形AFDB是正方形；②解：如解圖，過點D作DH⊥BE于點H,由旋轉知，△DBE≌△ABC,∴BD=DE=AB=AC,∠ABC=∠DBE=60°,∴在Rt△DBH中，BH=2，∴BE=2BH=4;第5題解圖(3)解：四邊形AEDG是平行四邊形．證明：∵四邊形ABDF是正方形，∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，又∵∠DBE＝∠AFG，∴∠EBA＝∠GFD，在△ABE和△DFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DF，,∠EBA＝∠GFD，,BE＝GF，))∴△ABE≌△DFG(SAS)；∴AE＝DG，又∵DE＝AG，∴四邊形AEDG是平行四邊形．★6.綜合與實踐獨立思考：(1)已知正方形ABCD，如圖①，點E和F分別是邊AB和AD邊上的點，且AE＝AF，則線段DF與BE之間有怎樣的關系？請直接寫出結論；合作交流：（2）如圖②，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉α，當0°＜α＜90°時，連接BE、DF，此時(1)中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉α，當α＝90°時，連接BE、DF，若AE＝5，則當直線DF垂直平分EB時，直接寫出AD的值；(4)如圖④，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉α，當90°＜α＜180°時，連接BD、DE、FB，得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF的各邊中點所組成的四邊形是什么特殊的四邊形？直接寫出結論．第6題圖解：(1)DF＝BE，且DF⊥BE.【解法提示】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD⊥AB，∵AE＝AF，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(2)(1)中的結論成立．證明如下：第6題解圖①如解圖①，延長DF交AB于點H，交BE于點G，由題意可知∠DAF＝∠BAE，在△DAF與△BAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝BA,∠DAF＝∠BAE，,AF＝AE))∴△DAF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE，∵∠ADF＋∠DHA＋90°＝∠ABE＋∠BHG＋∠HGB，且∠DHA＝∠BHG，∴∠HGB＝90°，即∠DGB＝90°，即DF⊥BE，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(3)AD＝5eq\r(2)＋5.【解法提示】連接BD，如解圖②，∵直線DF垂直平分BE，∴AD＋AE＝BD，BD＝eq\r(2)AD，∴AE＝(eq\r(2)－1)AD，∵AE＝5，∴AD＝5eq\r(2)＋5.(圖②圖③第6題解圖(4)正方形．【解法提示】連接BE、DF，如解圖③，與(2)同理得出BE＝DF，BE⊥DF，結合中位線的性質可知，順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是正方形．類型四圖形折疊型★7.綜合與實踐：數(shù)學活動：“標準紙”尺寸的研究問題情境：A4紙是我們學習、工作中最常用的紙張之一，小明通過網(wǎng)絡搜索得到“A4紙是由國際標準化組織的ISO216定義的，其長寬比是eq\r(2)∶1，規(guī)格為210mm×297mm，如圖①所示，A0紙是面積為1m2，長寬比為eq\r(2)∶1的紙張，接下來的A1，A2，A3等紙張尺寸，都是定義成將編號少一號的紙張沿著長邊對折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我們定義：長與寬之比為eq\r(2)∶1的矩形紙片稱為“標準紙”．如圖①所示A組紙都是“標準紙”．第7題圖操作判斷：(1)如圖②所示，矩形紙片ABCD(AD＝eq\r(2)AB)是一張“標準紙”，將紙片折疊一次，使點B與點D重合，再展開，折痕EF交AD于點E，交BC于點F，交BD于點O，分別連接BE和DF，判斷四邊形BFDE是哪種特殊的四邊形，并說明理由；探究發(fā)現(xiàn)：(2)如圖③所示，在(1)的基礎上，展開紙片后，將紙片再折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕MN交AD邊于點M，交BC邊于點N，交BD也是點O，然后將四邊形ENFM剪下，探究紙片ENFM是否為“標準紙”，說明理由；第7題圖③(3)通過以上操作探究，請你寫出一個有關“標準紙”的結論，例如“標準紙”長和寬的比值為eq\r(2)∶1.解：(1)四邊形BFDE是菱形；證明：當點B與點D重合時，折痕EF垂直平分BD，∴OB＝OD，∠BOF＝∠DOE＝90°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE.在△BOF和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OBF＝∠ODE，,OB＝OD，,∠BOF＝∠DOE，))∴△BOF≌△DOE(ASA)，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形；(2)紙片ENFM是“標準紙”；理由如下：由(1)可知，OE＝OF，同理可證，OM＝ON，∴四邊形ENFM是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠DOE＝90°，∠ODE＝∠ADB，∴tan∠ODE＝eq\f(OE,OD)＝eq\f(AB,AD).∵AD＝eq\r(2)AB，∴OE＝eq\f(\r(2),2)OD，∴EF＝eq\f(\r(2),2)BD，同理可得，MN＝eq\f(\r(2),2)AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝MN.∴四邊形ENFM是矩形，∴∠EMF＝90°.∴tan∠FEM＝eq\f(MF,ME)＝eq\f(OD,OE)＝eq\r(2)，∴MF＝eq\r(2)ME，∴紙片ENFM是“標準紙”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“標準紙”形狀都相似；②圖③中四邊形ENFM的面積是四邊形ABCD面積的一半；③A0紙與A1紙的面積之比為2∶1；④A3紙與A2紙的周長之比為1∶eq\r(2).★8.綜合與實踐：折疊中的數(shù)學．已知在矩形紙片ABCD中，AB＝24cm，BC＝10cm.任務一：先將矩形紙片上下對折，然后左右對折，再沿對角線對折，展開得到圖中的折痕四邊形EFGH(如圖①)，求菱形EFGH的面積．任務二：如圖②，將矩形紙片ABCD先沿對角線AC對折，再將紙片折疊使點A與點C重合得折痕EF，則四邊形AECF必為菱形，請加以證明．任務三：請通過一定的操作，構造一個菱形EFGH(不同于任務一中的特殊圖形)，使菱形的四個頂點分別落在矩形ABCD的四條邊上(即點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，且不與矩形ABCD的頂點重合)．第8題圖（1）請簡述操作的方法，并在圖③中畫出菱形EFGH.(2)求菱形EFGH的面積的取值范圍．解：任務一：如解圖①，由折疊性質可得：HF＝AB＝24cm，GE＝BC＝10cm.∴S菱形EFGH＝eq\f(1,2)HF·GE＝eq\f(1,2)×24×10＝120cm2，∴菱形EFGH的面積為120cm2.第8題解圖①第8題解圖②任務二：證明：如解圖②，設兩折痕的交點為O，由折疊性質可得：EF⊥AC，OA＝OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB.∴∠ECO＝∠FAO.在△EOC和△FOA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ECO＝∠FAO,OC＝OA,∠EOC＝∠FOA))，∴△EOC≌△FOA(ASA)．∴OE＝OF，∵OE＝OF，OC＝OA，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形．任務三：(1)如解圖③，將矩形紙片分別沿著對角線AC，BD折疊，設兩折痕的交點為O，展開后沿經(jīng)過點O的直線FH折疊，展開后再沿經(jīng)過點O且與FH垂直的直線EG折疊，而后展開得到的折痕四邊形EFGH就是符合要求的菱形．第8題解圖③(2)∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是菱形，∴∠GDH＝∠GOH＝90°，∴O，G，D，H四點共圓，∴∠GHO＝∠GDO，∴tan∠GHO＝tan∠GDO，∴eq\f(OG,OH)＝eq\f(BC,DC)＝eq\f(10,24)＝eq\f(5,12)，設OG＝5k，則OH＝12k，∴FH＝24k，GE＝10k，∴S菱形EFGH＝eq\f(1,2)FH·GE＝120k2，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(242＋102)＝26，∴OA＝eq\f(1,2)AC＝13.當OH⊥AD時，OH＝eq\f(1,2)AB＝12，∴12＜OH＜13，∴12＜12k＜13，∴1＜k＜eq\f(13,12)，∴1＜k2＜eq\f(169,144)，∴120＜120k2＜eq\f(845,6)，即菱形EFGH的面積大于120cm2且小于eq\f(845,6)cm2.拓展類型★9.如圖，等邊三角形ABC中，點D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？（2）如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；（3）若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，若不成立請說明理由．圖①圖②圖③第9題解圖解：（1）EN與MF相等，證明：如解圖①，連接DE、DF，∵△ABC和△DMN為等邊三角形，∴DM=DN，∠MDN=60°，∵點D、E、F分別為邊AB，AC，BC的中點，∴△DEF是等邊三角形，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，，∴△DMF≌△DNE，∴EN=MF；第9題圖解①（2）成立，證明：如解圖②，連接DE，DF，EF．第1題解圖②∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點，∴DE，DF，EF為三角形ABC的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，∴△DM