利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的綜合分析與探討

PAGEPAGEII目錄1引言 12導(dǎo)數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用 12.1用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題 12.2用導(dǎo)數(shù)解決公切線問(wèn)題 22.3漸近線的求法 23導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用 33.1用導(dǎo)數(shù)解決求數(shù)列最值問(wèn)題 33.2用導(dǎo)數(shù)解決某些特殊的數(shù)列求和問(wèn)題 44.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用 44.1求函數(shù)極限 44.2判斷函數(shù)單調(diào)性 44.3求函數(shù)的最值、極值 54.4函數(shù)的圖像 55.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用 8結(jié)語(yǔ) 8參考文獻(xiàn) 9

利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的綜合分析與探討摘要：本文研究了導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題,采用了文獻(xiàn)研究法，本文總體從導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決幾何問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決數(shù)列問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決函數(shù)問(wèn)題三方面介紹導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，對(duì)于學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)有著積極的作用。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；切線；數(shù)列；函數(shù)；不等式ComprehensiveanalysisandDiscussiononsolvingproblemsbyusingderivativeAbstract：Thispaperstudiesthederivativetosolvetheproblem,byusingthemethodofliterature,thisarticlefromtheoverallderivativeinthemiddleschoolmathematicstosolvegeometricproblems;derivativetosolvetheseriesofproblemsinmiddleschoolmathematicsinmiddleschoolmathematics,derivativesolvingfunctionproblemsthreeaspectsabouttheapplicationofderivativeinhighschoolmathematics,itplaysapositiveroleinlearningderivative.Keywords:Networkenvironment;ideologicalandpoliticaleducationinCollegesanduniversities;networknewmediaPAGE101引言導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的核心部分,在中學(xué)數(shù)學(xué)中也具有相當(dāng)重要的作用,已經(jīng)成為高考的一個(gè)必考點(diǎn),同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)在解決一些有關(guān)曲線的切線和漸近線；解決數(shù)列求和、求數(shù)列最值、理解函數(shù)性態(tài)；解決不等式證明等問(wèn)題中有著不可替代的價(jià)值,可以提高解題效率和精確性.與此同時(shí),在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)能力，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)與解析幾何的交匯點(diǎn)，有著重要的工具作用.是我們學(xué)習(xí)的必需工具之一，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.現(xiàn)已是高考重點(diǎn)考察的基礎(chǔ)知識(shí)，主要以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，例如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值、極值和單調(diào)性問(wèn)題及曲線問(wèn)題等，除此之外，導(dǎo)數(shù)還有其他用途，比如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等問(wèn)題.2導(dǎo)數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用主要是利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某一點(diǎn)的切線或者是求兩條曲線的公切線或是求某條曲線的漸近線.解決此類問(wèn)題應(yīng)緊緊抓住切線過(guò)切點(diǎn)且切點(diǎn)在曲線上,同時(shí)運(yùn)用時(shí)緊緊抓住曲線在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該曲線在這一點(diǎn)的切線的斜率.在求曲線的漸近線時(shí)嚴(yán)格按照曲線漸近線的求法,利用極限方法求得漸近線.2.1用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題例1（2012年全國(guó)高考福建理20）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解因?yàn)?，故所以，函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.2.2用導(dǎo)數(shù)解決公切線問(wèn)題例2（2012年全國(guó)高考廣東文20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為且點(diǎn)在上.設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線相切，求直線的方程.解因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓直線的斜率顯然可知，設(shè)直線的方程為，將此式帶入中，得到又因?yàn)橹本€與橢圓C1相切，故，整理可得①把直線的方程帶入中，可得故可知整理可得②綜合①②可得故直線方程為：或2.3漸近線的求法例3曲線的方程為,求曲線的漸近線.分析：求函數(shù)圖像的漸近線遵循漸近線的求法,其中可用導(dǎo)數(shù)求極限.解因?yàn)?所以沒(méi)有水平漸近線.由于,所以是的一條垂直漸進(jìn)線.又因?yàn)?且,所以有斜漸近線.3導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用3.1用導(dǎo)數(shù)解決求數(shù)列最值問(wèn)題例4在數(shù)列中,,若對(duì)任意的整數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：解決此類問(wèn)題最重要的是把數(shù)列當(dāng)作函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的方法求得數(shù)列的單調(diào)區(qū)間,然后運(yùn)用數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),即自變量的取值必須是正整數(shù),從而取得數(shù)列的最值,并運(yùn)用最值解決問(wèn)題.解由于,所以由,可得.令,即,于是.由>0可得>或<,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以.所以的取值范圍為.3.2用導(dǎo)數(shù)解決某些特殊的數(shù)列求和問(wèn)題例5為數(shù)列的前項(xiàng)和,其中,求.解由,又有.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,則==.兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：,于是.4.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用4.1求函數(shù)極限例7求.分析：這是型的不定型極限,解決時(shí)化為型或是型,并運(yùn)用洛必達(dá)法則求解.解是型,于是.所以所求極限值為0.4.2判斷函數(shù)單調(diào)性例8（2009安徽卷文）已知函數(shù)，a＞0，（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。分析：由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問(wèn)就根據(jù)第一問(wèn)中所涉及到的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在上的值域。解(1)由于令①當(dāng),即時(shí),恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函數(shù).②當(dāng),即時(shí)由得或或或又由得綜上①當(dāng)時(shí),在上都是增函數(shù).②當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),在上都是增函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),由(1)知在上是減函數(shù).在上是增函數(shù).又函數(shù)在上的值域?yàn)?.3求函數(shù)的最值、極值例10（2010·山東高考文科·Ｔ8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為（）(A)13萬(wàn)件(B)11萬(wàn)件(C)9萬(wàn)件(D)7萬(wàn)件解,令得或（舍去），當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C.4.4函數(shù)的圖像運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)和方程根的分布等的綜合研究，實(shí)際上就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題呢？例1已知函數(shù)f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說(shuō)明理由。解：（Ⅰ）略（II）∵函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∵x>0∴函數(shù)(x)=g(x)－f(x)=－8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。∵=2x－8+隨x變化如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)’(x)+0-0+(x)增極大值減極小值增∴x極大值=(1)=1-8+m=m-7，x極小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15∵當(dāng)x→0+時(shí)，(x)→，當(dāng)x時(shí)，(x)∴要使(x)=0有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，必須且只須∴7<m<15－6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為（7，15—6ln3）.（分析草圖見(jiàn)下圖1）圖1圖2圖3引申1：如果“有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)”變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€(gè)不同的交點(diǎn)”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3或m<7時(shí)，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有一個(gè)不同的交點(diǎn)（分析草圖見(jiàn)圖2和圖3）。引申2：如果“有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)”變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3或m=7時(shí)，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（分析草圖見(jiàn)圖4和圖5）。圖4圖5從上題的解答我們可以看出，用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，有以下幾個(gè)步驟：①構(gòu)造函數(shù)(x)=f(x)－g(x)②求導(dǎo)③研究函數(shù)(x)的單調(diào)性和極值（必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）④畫(huà)出函數(shù)(x)的草圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列不等式⑤解不等式。解題的關(guān)鍵是會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)研究問(wèn)題。例2已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5其中是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（Ⅰ）對(duì)滿足的一切的值，都有g(shù)(x)<0求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)a=-m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖像與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）f(x)=x3+3ax-1，①當(dāng)時(shí)，f(x)=x3-1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，令h(x)=f(x)-3=x3-3m2x-4，h’(x)=3x2+3a=3x2-3m2h(x)隨x變化如下表：（h’(x)h(x)增極大減極小增∴h(x)極小值=h(|m|)=-2m2|m|-4<-4又∵h(yuǎn)(x)在上單調(diào)遞增,當(dāng)x時(shí)，h(x)∴當(dāng)x>|m|時(shí)函數(shù)y=h(x)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)x<-|m|時(shí)，恒有h(x)≤h(-|m|)由題意得h(-|m|)<0即2m2|m|-4<0解得綜上，的取值范圍是（分析草圖見(jiàn)圖6）圖6當(dāng)然，題目并不是千篇一律的，也有些變式，但是基本方法沒(méi)有變化。例3已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是且f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式； （II）是否存在實(shí)數(shù)m，使得方程在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解：（Ⅰ）f(x)=2x2-10x(過(guò)程略)（II）方程等價(jià)于方程2x3-10x2+37=0 設(shè)h(x)=2x3-10x2+37 則h’(x)=6x2-20x=2x(3x-10)當(dāng)h’(x)>0,h(x)是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，h’(x)<0,h(x)是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，h’(x)>0,h(x)是增函數(shù)。（見(jiàn)圖7）圖7h(-2)=-19，h(-1)=25方程h(x)=0在區(qū)間(-2,-1),內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)和內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 所以存在惟一的自然數(shù)m=3，使得方程在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。5.導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用不等式是數(shù)學(xué)的重要部分，它遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支學(xué)科.證明他們的方法很多，因此更是具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)于某些不等式不易證明時(shí)，可根據(jù)給出不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)加以在證明，往往可以達(dá)到事半功倍的效果，定會(huì)覺(jué)得豁然開(kāi)朗.例11（2011年高考浙江卷文科21)（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)結(jié)語(yǔ)本文是在我學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)之后,根據(jù)前人對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的研究和自己學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn),對(duì)導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用作一個(gè)總結(jié).文章是在專家學(xué)者對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的某個(gè)模塊做了研究的基礎(chǔ)上作的整理歸納,所以本文總體從導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決幾何問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決數(shù)列問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決函數(shù)問(wèn)題三方面介紹導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)上的應(yīng)用,其中每一方面又分為幾個(gè)小點(diǎn),每小點(diǎn)都是從例題入手,直接體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,并作簡(jiǎn)單的運(yùn)用分析.文章的結(jié)尾部分附上某些摘錄或是某個(gè)知識(shí)的注釋,幫助讀者解讀.參考文獻(xiàn)[1]陶祖繼.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(09):45-46.[2]李亞琴.利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題[J].考試周刊,2017(15):32-33.[3]陳國(guó)偉,孫雅彬.“構(gòu)造”誠(chéng)可貴“原理”價(jià)更高——例談?dòng)脤?dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的構(gòu)造函數(shù)法[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版(教學(xué)參考),2017(Z1):38-40.[4]劉帥,王婷婷,周仁元,張久軍,趙琪.數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與探索[J/OL].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究:1-6[2017-12-26]./10.16534/13-9000/g.20161214.002.[5]趙思林,李世和.導(dǎo)數(shù)解決多元問(wèn)題的幾種策略[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版(教學(xué)參考),2016(10):54-57.[6]梅磊.例談導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題[J].高中生學(xué)習(xí)(試題研究),2016(09):30-31.[7]張國(guó)強(qiáng),宋顥.引導(dǎo)高職學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題淺議[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2016,37(S1):198-199.[8]宿晶.構(gòu)造函數(shù)在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用策略和技巧[J].數(shù)理化解題研究,2016(16):15-17.[9]劉智娟.淺談利用導(dǎo)數(shù)解決方程問(wèn)題[J].高中數(shù)理化,2016(07):10-11.[10]李月光.利用導(dǎo)數(shù)解決和切線相關(guān)問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué)),2016(02):90.[11]趙淑云.例談如何利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題[J].理科考試研究,2015,22(15):13.[12]劉樹(shù)娜.淺談應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題[J].考試與評(píng)價(jià),2015(08):75.[13]李可欣.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2015(09):30-32.[14]于海青.如何利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[J].理科考試研究,2015,22(01):7-8.[15]王大成.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一類數(shù)列求和問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué)),2014(12):90.[16]俞世平.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2014(21):8-9.[17]于海青.如何利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[J].求知導(dǎo)刊,2014(04):127.[18]吳沛東.高中生在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決中的學(xué)習(xí)調(diào)查與對(duì)策研究[D].貴州師范大學(xué),2