人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第06講 1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（含解析）

第06講1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會(huì)用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值②會(huì)用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.1、能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間中的距離與夾角（三角函數(shù)值）的求解.2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升平面向量、空間向量的知識相結(jié)合的綜合能力，準(zhǔn)確將平面向量、空間向量的概念，定理等內(nèi)容與平面幾何、空間立體幾何有機(jī)的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數(shù)，數(shù)與量有機(jī)的結(jié)合起來，為提升數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).知識點(diǎn)01：點(diǎn)到線面距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.【即學(xué)即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，由圓錐的幾何性質(zhì)可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.知識點(diǎn)02：用向量法求空間角1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.【即學(xué)即練2】（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，為體對角線上一點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，，，所以，，因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：A.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）【即學(xué)即練3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┤鐖D，在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為______．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)與平面所成角的大小為，則，與平面所成角的正弦值為.故答案為：3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；【即學(xué)即練4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正方體中，二面角的大小為______.【答案】【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，則，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，所以，又因?yàn)槠矫?，則為平面的一個(gè)法向量，則，所以二面角的大小為，故答案為：.題型01利用空間向量求點(diǎn)線距【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為．故選：A．【典例2】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_____________．【答案】【詳解】易知，則，，故點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：.【典例3】（多選）（2023春·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)在軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為的直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】設(shè)，則，又直線的方向向量為，所以點(diǎn)直線的距離，所以，則或.故選：AB【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，因?yàn)闉檎叫蔚闹行模茫?，，設(shè)平面的法向量為，利用，則，取，解得，有，且平面，則直線平面，設(shè)直線的到平面距離為，取直線上一點(diǎn)，與平面上一點(diǎn)，則，利用空間中點(diǎn)面距離公式有：.故選：A【變式2】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正方體中，為平面的中心，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】/【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋?，，所?所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.題型02利用空間向量求點(diǎn)面距【典例1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，所以，．設(shè)是平面的法向量，

則，令，得．故點(diǎn)到平面的距離為．故選：B【典例2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）由于平面ABC，，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，所以故（2）由題意可知是，的中點(diǎn)，所以,設(shè)平面的法向量為，則,故，取，則所以點(diǎn)E到平面的距離為【典例3】（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）在直角梯形中，，為中點(diǎn)，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面，如圖（2）．(1)求證：；(2)若為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）在中，，且O為中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面平面，所以平面，且平面，所以.（2）在直角梯形中，，所以，則，∴，又∵O、M分別為、的中點(diǎn)∴，∴以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，可得，平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，可得，則點(diǎn)M到平面的距離．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)，，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，因?yàn)樵撜襟w的棱長為2，所以，，∴平面，點(diǎn)G到平面的距離即為點(diǎn)E或F到平面的距離．方法1：等體積法∵為等邊三角形，∴，，設(shè)F到平面的距離為d，∵，∴，解得．方法2：向量法建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，∴．故選：D【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）證明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE?平面ABE，∴BE∥平面DCF．（2）如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．

∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，則△ADB∽△BCD?，∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，，,．設(shè)平面DCF的法向量為，則，∴，令x＝1，y＝2，z＝0．∴.∴．∴B到平面DCF的距離為2．【變式3】（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取線段的中點(diǎn)，連接，記，連接，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，由題意可知四邊形是矩形，則是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）取棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)椋S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，故點(diǎn)到平面的距離．

題型03轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為___________.【答案】【詳解】以D為原點(diǎn)，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題，則，，因?yàn)??分別是??的中點(diǎn)，所以，，，則，所以，所以平面，所以點(diǎn)E到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，因?yàn)?，所以，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，又向量，所以點(diǎn)E到平面的距離為，即直線到平面的距離為.故答案為：【典例2】（2023·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)、分別為棱，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BC，底面ABC，所以且，所以以為原點(diǎn)，所在直線為軸建系如圖，因?yàn)?，，D、E分別為棱PA，PC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，所以,設(shè)平面的法向量為，所以所以，令，則，因?yàn)?，平面BDE，所以平面BDE.（2）,直線MN到平面BDE的距離即為在平面BDE法向量上的投影，設(shè)與的夾角為，則有所以，所以直線MN到平面BDE的距離為.【典例3】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn)∵是的中位線，∴，平面,平面.∴平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系由（1）得，直線到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離d，因?yàn)?，，，，所以，且，，設(shè)平面的法向量為，由于可得，故取，得，因此直線到平面的距離．【變式1】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為______．【答案】/【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，而平面，平面，故平面，故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.設(shè)平面的法向量為，又，故，取，則，而，故到平面的距離為，故答案為：.【變式2】（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點(diǎn)到平面的距離.（2）由（1）可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由，所以到平面的距離為.題型04利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）【典例1】（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖

建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，則，所以異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，，，分別為，BD，的中點(diǎn)，則與FG所成的角的余弦值為______.

【答案】【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，，所以，即與FG所成的角的余弦值為.故答案為：【典例3】（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面，又因?yàn)?，平?所以，，所以是二面角的平面角，因?yàn)槎娼堑拇笮?5°，所以.取AB中點(diǎn)O，連結(jié)，在梯形中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，從而在三角形中，，，所以，所以，即，所以.又因?yàn)椋矫?，，所以平?（2）以О為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，平面ABC內(nèi)過О平行于BC的直線為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值為.【變式1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，，，方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，，，，所以，，設(shè)異面直線AC，BM所成角為，則．故選：D．【變式2】（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.【答案】(1)見詳解(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑危?，又平面，平面所以，又，平面，平面，所以平?（2）設(shè)因?yàn)椋砸詾樽鴺?biāo)原點(diǎn),射線分別為軸,軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則，所以，設(shè)與所成角，所以，即與所成角的余弦值為.題型05利用向量方法求兩異面直線所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·高二單元測試）三棱錐中，兩兩垂直且相等，點(diǎn)分別是線段和上移動(dòng)，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由兩兩垂直且相等,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，不妨取．則，．設(shè)，，．則，解得，．．設(shè)，，則，又，．設(shè)，則，所以，由，則，，則，當(dāng)時(shí)，，同時(shí)達(dá)到最小值，此時(shí)取得最小值，所以有最大值，此時(shí),；時(shí)，，同時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)取得最大值，所以有最小值，此時(shí)，；綜上可得：和所成角余弦值的取值范圍是．

故選：C.【典例2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，與所成角的余弦值的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，設(shè)，，設(shè)與所成角為，則，設(shè)，則有，由存在，則，解得，即的最大值為，所以與所成角的余弦值的最大值為.故選：C【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知平面，四邊形是矩形，為定長，當(dāng)?shù)拈L度變化時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是______．【答案】【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，則以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角的為，則，因?yàn)槎ㄖ担S著的增大而增大，所以，則，所以，也即，所以異面直線與所成角的取值范圍是，故答案為：.【變式1】（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，為直線上的異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體邊長為2，可得設(shè)所以，設(shè)異面直線與所成的角為，則.單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，取得最大值為，單調(diào)遞減,所以此時(shí)最小值為，則故選：C【變式2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，且，則，，所以，當(dāng)，夾角余弦值最小為，當(dāng)，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C題型06已知異面直線所成角求參數(shù)【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，為等邊三角形，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，若異面直線與所成角的余弦值為，則的值可能為（

）A． B．1 C． D．【答案】AC【詳解】由為等邊三角形，取BD的中點(diǎn)O，連接,則又平面平面BCD，且平面平面所以平面BCD，由過作與平行的直線為軸，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，所以．設(shè)，則，，則，解得或，故或．故選：AC【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長為____________【答案】【詳解】因?yàn)槠矫婺?，所以兩兩垂?以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,因?yàn)?設(shè)，又，則，又，從,設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為,即直線與所成角的余弦值的最大值為，而直線與所成角的范圍為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時(shí)直線與所成角最小，又因?yàn)椋?，故答案為：【變?】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段的長度可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，因?yàn)榕c為異面直線，所以，，，則，異面直線與成的角，，，，，解得，，線段長的取值范圍是．故選：AB．題型07利用向量方法求直線與平面所成角【典例1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故選：B.【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點(diǎn).(1)證明：直線平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，連接，，長方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；（2）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.【典例3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面MBD.（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【變式1】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，則，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)與平面所成的角為，.因?yàn)椋?，，則，所以.因?yàn)?，所以，所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.【變式2】（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求直線與面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在直角梯形中，，，則，而，于是，，有，則，因?yàn)槠矫?，平面，即有，而平面，因此平面，又平面，所以平面平?（2）M為PC的中點(diǎn)，，則.以A為原點(diǎn)，射線分別為軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，.設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線PB與面PCD所成角為，則.題型08利用向量方法求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點(diǎn)，且.

(1)求證：；(2)若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，，又是以為直徑的圓上一點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，平面，，又，為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，在圓臺中，平面，，又因?yàn)樵趫A臺中，圓圓，，所以四邊形為平行四邊形，且，在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，又，.

（2）如圖以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，，，，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，則，所以的取值范圍為，即，又，所以，所以直線與平面所成角的取值范圍.【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，若，．

(1)證明：平面平面；(2)若分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，設(shè)為直線與平面所成角，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，為直角三角形且，

又底面是矩形，則，

，且均含于面QAD內(nèi)平面，

又平面，平面平面；（2）在平面內(nèi)，取中點(diǎn)為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，由題意可得平面，且平面，則，直線兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，

設(shè)，則，，又，則，

，，

與平面所成角的正弦值的取值范圍為．【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面是邊長為2的正方形，點(diǎn)在棱上，.

(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取AD中點(diǎn)O，連接OP，連接OC交BD于點(diǎn)F，連接EF.

在中，因?yàn)?，所以，又平面平面，面面，面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以?因?yàn)椋?，，所以平面，因?yàn)槊妫云矫嫫矫?（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OP為x，z軸，過O平行于AB的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，設(shè)，因?yàn)椋?，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以.設(shè)直線DE與平面所成角為，，所，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)樵谏弦彩菃握{(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，直線DE與平面所成角最大，此時(shí).綜上，直線DE與平面所成角最大時(shí)，四棱錐的體積為.【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考期末）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)在線段上．

(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，若為的中點(diǎn)，則，可得，設(shè)異面直線與所成角，則.故異面直線與所成角的余弦值為.（2）若動(dòng)點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，可得，解得，即，則，由題意可知：平面的法向量為，

設(shè)與平面所成角為，則，對于開口向上，對稱軸為，可得當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以的最大值為，因?yàn)椋逝c平面所成角的正弦最大值為.【變式2】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）如圖，圓錐，為頂點(diǎn)，是底面的圓心，為底面直徑，，圓錐高，點(diǎn)在高上，是圓錐底面的內(nèi)接正三角形.(1)若PO=，判斷和平面是否垂直，并證明；(2)點(diǎn)在高上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)和平面所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】(1)平面，證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以是正三角形，則，易知底面圓，而底面圓，所以，又在中，，所以，因?yàn)槭钦切?，所以，且，，所以，，同理可證，又，平面，所以平面；（2）如圖，因?yàn)椋砸渣c(diǎn)為原點(diǎn)，平行于方向?yàn)閤軸，以方向?yàn)閥軸，以方向?yàn)閦軸，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線和平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，與平面所成角的正弦值最大，故.題型09已知直線與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┮阎睦忮F的底面為平行四邊形，，，，平面，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，由余弦定理得，即，則有，所以，又平面ABCD，以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，，得，，，，，，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則，令，則，，所以，直線PD與平面PAC所成角為，所以

，則有，解得，則.故選：C.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┰谌庵校矫嫫矫?，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)椋?，平面，，所以平?（2）取的中點(diǎn)O，連接，四邊形為菱形，且，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以，又因?yàn)?，與相交，所以平面.取中點(diǎn)D，連結(jié)，以O(shè)為原點(diǎn)，，，為空間基底建立直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，，所以.設(shè)，可得點(diǎn)，.由題意解得或（舍），即.【典例3】（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點(diǎn)?分別是?的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【詳解】（1）證明：連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是正三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，又，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，得設(shè)直線與平面所成角為，化簡得：，則故存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí).【變式1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，平面平面，為正三角形，，分別是棱上的點(diǎn)，且滿足．(1)求證：；(2)是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明過程見解析；(2)存在，.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭菆AO的直徑，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，而平面，所以；?）連接，因?yàn)椋?，因?yàn)闉檎切?，的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，而平面，所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以有，所以，，假設(shè)存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，所以有，或（舍去），即存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.【變式2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面為梯形的多面體中.，，，,，且四邊形為矩形．

(1)求證：；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點(diǎn)的位置并加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)Q為線段EN的中點(diǎn)或在線段EN上距離點(diǎn)E的處，證明見解析【詳解】（1）由題意知，，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，故有，易得，BD＝2，，在△ABD中，∵，∴BD⊥AD．因?yàn)樗倪呅蜝DEN為矩形，則BD⊥DE，又，平面ADE，平面ADE，故BD⊥平面ADE．因?yàn)槠矫鍭DE，所以BD⊥AE．（2）存在點(diǎn)Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°，此時(shí)點(diǎn)Q為線段EN的中點(diǎn)或在線段EN上距離點(diǎn)E的處．證明如下：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，所以，，設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面QAD的法向量為，則即令y＝1，則，z＝－2λ，故，因?yàn)橹本€BE與平面QAD所成的角為60°，所以，解得或，故存在點(diǎn)Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°，此時(shí)點(diǎn)Q為線段EN的中點(diǎn)或在線段EN上距離點(diǎn)E的處．題型10利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角（定值）【典例1】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫?，且，所以平?因?yàn)槭抢馍系闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離，四邊形是菱形，，，則中，，，，∵，∴三棱錐的體積為.（2）取棱的中點(diǎn)，連接，則有，因?yàn)?，則.兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.

因是棱上的中點(diǎn)，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）如圖，圓是的外接圓，平面，是圓的直徑，，，且.

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意及圖證明如下，在圓中，為直徑，∴，∵平面,平面,平面,∴，，平面,面，∴平面,又平面,∴平面平面.（2）由題意及（1）得，在中，在中，，，∴，∵，∴建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∵，∴，則，在面中，其一個(gè)法向量為，在面中，設(shè)其一個(gè)法向量為，則，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，，設(shè)面與面所成角為，【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫矫妫裕驗(yàn)?，，所以．所以，所以．又因?yàn)椋矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．（2）解法一：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以，平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為【變式2】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為菱形，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以.因?yàn)镋D平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，平面BDEF，所以平面BDEF；又平面BDEF，所以.設(shè)FB=1，由題意得ED=2，.因?yàn)镕B//ED，且面，則FB平面ABCD，而平面ABCD，故，，所以，，.

因?yàn)?，所?

因?yàn)?，平面ACF，所以EO平面ACF.

又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中點(diǎn)G，連接OG，所以O(shè)G//ED，OG底面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由?）中所設(shè)知，，所以，,所以.所以，，，設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為，則，所以；平面AEC的一個(gè)法向量為，則，所以；所以，由圖形可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為.題型11利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角（最值或范圍）【典例1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)..

(1)證明：；(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，又底面，所以，，又因?yàn)?，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，，，，，，，，設(shè)，所以，，因?yàn)椋?，?（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取得最大值，所以，所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時(shí)點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn).【典例2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且滿足，面ABCD.(1)當(dāng)時(shí)，證明：//平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最??？【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?/，則，若，即，可得，所以//，平面，平面，故//平面.（2）連接，由題意可得：，在中，由余弦定理，即，可得，則，且面ABCD，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，解得，即，可得，設(shè)平面BFE的法向量為，則，令，則，即，由題意可得：平面的法向量，設(shè)平面BFE與平面PBD所成的二面角為，則，由題意可知：，則有：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，則，關(guān)于的二次函數(shù)開口向上，對稱軸，當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，即，可得；綜上所述：.所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，取到最小值.即當(dāng)時(shí)，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最小.【變式1】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)平面，且，底面為梯形，，則四棱錐的體積最大值為.（2）連接，因?yàn)?，所以，所以為的平面角，即，過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，過作于點(diǎn)，由題意得平面，設(shè)，因?yàn)?，所以，，，所以，，所以，所以，，設(shè)平面PAM的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，則，令，可得，設(shè)兩平面夾角為，則令，，所以，所以，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．【變式2】（2023春·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為正方形，，，平面平面，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，平面與平面所成的二面角為為銳角，則當(dāng)取最小值時(shí)，=__________．【答案】/0.4【詳解】解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，故以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，所以，因?yàn)?，，又，且、均在平面?nèi)，所以平面，所以易得是平面的一個(gè)法向量，而，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大，即分母取最小值，又，當(dāng)時(shí)，分母最小，故時(shí)，最大，故答案為：．題型12已知平面與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.(1)求證：；(2)若，探索在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由題意知平面平面，所以.過在平面內(nèi)作直線交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?又平面，所以.因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所?（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，又平面，且平面，所以，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，所以，解得（負(fù)根舍），所以在棱存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，且.【典例2】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）在PD上找中點(diǎn)G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得，解得：，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足：,解得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)．【變式1】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn).(1)證明：；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，滿足條件【詳解】（1）證明：由題意，，，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，因?yàn)?，所?（2）由題意，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得，，解得，所以存在點(diǎn)，滿足條件.【變式2】（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（如圖3），且平面平面．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)是線段上一點(diǎn)，滿足，試問：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖所示，又平面平面，且平面平面由平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由題知，即，由（1）知，且平面，所以以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的法向量，由，令得，且，又易得平面的法向量為，由，故存在實(shí)數(shù)使得平面與平面的夾角的余弦值為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,∴,,∴,故選：.2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為（

）A．10 B．3C． D．【答案】D【詳解】由題意得，，則到平面的距離為.故選：D.3．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┮阎獌善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由兩平面的法向量分別為，，可得，設(shè)兩平面所成的二面角為，其中，可得.即兩平面所成的二面角的正弦值為.故選：B.4．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如圖在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，P是底面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線平面平行，則線段的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，平面的法向量為，則，令得，故，由，則，考慮平面內(nèi)，由兩點(diǎn)間距離公式得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C5．（2023秋·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面PAD的法向量為，則令，得.因?yàn)榈闹匦腉的坐標(biāo)為，即，所以，故點(diǎn)G到平面PAD的距離為.故答案為：C6．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【詳解】平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.

7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，，其余各條棱長均為1，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖（1）所示，四棱錐中，，其余各條棱長均為1，所以點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面四邊形的外接圓的圓心，即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，如圖（2）所示根據(jù)四邊形的對稱性，可得為外接圓的直徑，所以，設(shè)四邊形的半徑為，在直角中，可得，設(shè)，可得，所以，可得，在中，由余弦定理可得，設(shè)，且，可得，，則，設(shè)異面直線與直線所成角的范圍為，其中，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：C.8．（2023春·浙江金華·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)，銳二面角的大小為.當(dāng)增大時(shí)，（

）

A．增大 B．先增大后減小 C．減小 D．先減小后增大【答案】C【詳解】由題意，三棱錐是正四面體，以的重心為原點(diǎn)，BC邊的中線PG為x軸，OA為z軸，過O點(diǎn)平行于BC的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

設(shè)三棱錐P-ABC的棱長為，則有：

，，，，設(shè)是平面ABD的一個(gè)法向量，則有，即，令，解得，顯然是平面PBC的一個(gè)法向量，；顯然當(dāng)時(shí)（x的取值范圍是），最大，當(dāng)或時(shí)，都變大，即變??；故選：B.二、多選題9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為1 B．平面EFGC．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【答案】AB【詳解】A選項(xiàng)，，所以，A選項(xiàng)正確.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,，所以，由于平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.平面的一個(gè)法向量為，，所以與平面不平行，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.平面的法向量為，設(shè)平面于平面的夾角為，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中（

）A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為C．與平面所成角的正切值 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，即，與的夾角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，平面的法向量可取，二面角的平面角為，則，所以，故B正確；因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，則，故C正確；因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題11．（2023春·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線與平面所成角的正弦值為_____________.

【答案】【詳解】如圖所示:將多面體放置于正方體中,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,

因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,且,則四邊形為平行四邊形,所以,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,又平面,所以直線與平面所成角即為,設(shè)正方體的棱長為,則,所以,即直線與平面所成角的正弦值為.故答案為:.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，N是棱的中點(diǎn).當(dāng)平面與底面所成的銳二面角最小時(shí)，___________.【答案】【詳解】如圖設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為令，，則平面的法向量的一個(gè)法向量為設(shè)平面與底面所成的銳二面角為所以當(dāng)時(shí)，有最大，則有最小，所以故答案為：四、解答題13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫?，且，所以平?因?yàn)槭抢馍系闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離，四邊形是菱形，，，則中，，，，∵，∴三棱錐的體積為.（2）取棱的中點(diǎn)，連接，則有，因?yàn)?，則.兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.

因是棱上的中點(diǎn)，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.14．（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點(diǎn).

(1)若M為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)?，，且為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)镸，N分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?）取中點(diǎn)，作交于，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

、、、、.所以，.設(shè)平面的法向量，又因?yàn)槠矫?，所以，取，，，則.又因?yàn)?，所?所以直線和平面所成角正弦值為.B能力提升1．（2023春·湖北·高二鄖陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）襄陽一橋全稱“襄陽江漢大橋”，于1970年正式通車，在和襄陽城長達(dá)53年的相處里，于襄陽人來說一橋早已無可替代.江漢大橋由主橋架?上下水平縱向聯(lián)結(jié)系?橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中AB=BH，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)直線AH與直線IG所成角為，則，故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.

故選：D.2．（2023春·浙江·高二期中）在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段（不與點(diǎn)重合）上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)二面角的平面角為時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，根據(jù)點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)得，設(shè)，由得，，即，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，由二面角的平面角為，所以，所以，解得.故選：C.3．（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是線段DN上的動(dòng)點(diǎn)，則MP的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，，所以，∵點(diǎn)在平面上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵在上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D4．（多選）（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在棱長為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對于任意點(diǎn)，到的距離的取值范圍為D．對于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形【答案】ABC【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)Q到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，