矩陣在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

PAGEPAGEII矩陣在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用摘要矩陣是高等代數(shù)的一個非常重要的組成部分，通過例題給出了矩陣在數(shù)學(xué)計算中的一些應(yīng)用，包括算由幾個向量所生成的子空問的維數(shù)，利用矩陣的秩來判定一個方程組是否有解，通過對二次型的矩陣進(jìn)行合同變換，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。關(guān)鍵詞：矩陣；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

目錄摘要 I1引言 12正交矩陣的基本知識 12.1正交矩陣的定義與判定 12.2正交矩陣的性質(zhì) 13矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 33.1正交矩陣的應(yīng)用 33.1.1正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用 33.1.2正交矩陣在化學(xué)中的應(yīng)用 93.1.3正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用 123.1.4正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用 153.2矩陣?yán)碚撛谛辛惺接嬎阒械膽?yīng)用 183.3矩陣在線性方程組理論中應(yīng)用 223.4矩陣在二次型理論中的應(yīng)用 25參考文獻(xiàn) 27致謝 28PAGE101引言矩陣不僅是各數(shù)學(xué)分支，而且也是許多學(xué)科的重要數(shù)學(xué)工具，就其本身的研究而言，矩陣?yán)碚撘彩蔷€性代數(shù)中極富創(chuàng)造性的領(lǐng)域。現(xiàn)實(shí)世界中大量的各種各樣的問題都可歸結(jié)為矩陣問題，并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的，表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的。這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，因而也就使矩陣成為線性代數(shù)的一個主要的研究對象。2正交矩陣的基本知識2.1正交矩陣的定義與判定定義2.1：級實(shí)數(shù)矩陣滿足（或,或），則稱為正交矩陣。判定2.1-1：矩陣是正交矩陣;判定2.1-2：矩陣是正交矩陣;判定2.1-3：矩陣是正交矩陣;備注：判定一個是方陣是否為正交矩陣往往用定義，即（或,或），也可以驗(yàn)證的行向量或列向量是否是兩兩正交的單位向量。當(dāng)已知的正交矩陣求證其他的結(jié)論時，要用正交矩陣的定義及有關(guān)性質(zhì)。2.2正交矩陣的性質(zhì)若是正交矩陣，則有以下性質(zhì)：性質(zhì)1：,則可逆,且其逆也為正交矩陣;性質(zhì)2：,，也是正交矩陣,即有；性質(zhì)3：是正交矩陣；性質(zhì)4：是正交矩陣的充分必要條件是；性質(zhì)5：若也是正交矩陣,則,,,,都為正交矩陣。證明:性質(zhì)1顯然,所以也是正交矩陣。性質(zhì)2,顯然為正交矩陣。因?yàn)?當(dāng)時,,即;當(dāng)時。,即。所以為正交矩陣。性質(zhì)3由正交矩陣定義2.1與判定2.1-1，顯然，，所以也是正交矩陣。性質(zhì)4是正交矩陣，顯然，即有由是正交矩陣，，顯然是正交矩陣。性質(zhì)5由可知,故為正交矩陣。同理推知,,,均為正交矩陣。正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點(diǎn),還有例如它的特征值的模為1,且屬于不同特征值的特征向量相互正交;如果是它的特征值,那么也是它的特征值,另外正交矩陣可以對角化,即存在復(fù)可逆矩陣,使其中為的全部特征值,即。這些性質(zhì)證明略。3矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1正交矩陣的應(yīng)用3.1.1正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用在線性代數(shù)中我們通常用施密特方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基，現(xiàn)在可以用正交矩陣中的一種特殊矩陣求標(biāo)準(zhǔn)正交基初等旋轉(zhuǎn)矩陣即Givens矩陣。定義3.1設(shè)向量則稱n級矩陣為Givens矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣，也可記作。Givens矩陣在向量下，有以下三個性質(zhì)：性質(zhì)1Givens矩陣是正交矩陣；性質(zhì)2設(shè)則有；性質(zhì)3任意矩陣右乘，只改變的第列和列元素;任意矩陣左乘，只改變的第行和行元素。證明：性質(zhì)1由，則，故是正交矩陣。性質(zhì)2由定義知，右乘向量,有故右乘向量，只改變向量第個和個元素，其他元素不變。性質(zhì)3由性質(zhì)2和矩陣乘法即可證得結(jié)論即任意矩陣右乘，只改變的第列和列元素;任意矩陣左乘，只改變的第行和行元素。引理1任何階實(shí)非奇異矩陣,可通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣,且其對角線元素除最后一個外都是正的。定理1設(shè)是階正交矩陣若,則可表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積,即;若,則可以表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣,即,其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣。（其中）證明：由于是階正交矩陣，根據(jù)引理1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使這里是階上三角陣，而且的對角線上的元素除最后一個外都是正的，所以有（1）由是正交矩陣和（1）式得即（2）設(shè)=其中，則=由上式得所以（3）于是由（1）（3）式得當(dāng)時，；當(dāng)時，。記，是初等旋轉(zhuǎn)矩陣，故定理1結(jié)論成立。引理2設(shè)其中是階正交矩陣，是階上三角陣，是零矩陣。則由上結(jié)論可得以下定理：定理2設(shè)，則可以通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣，把變?yōu)榈男问?，其中是階上三角陣，是矩陣。證明：由引理2知，其中是階正交矩陣，是階上三角陣，又根據(jù)定理1知：其中是Givens矩陣。(I)當(dāng)時，(II)當(dāng)時，于是有顯然，是階上三角陣，當(dāng)時與除最后一行對應(yīng)元素絕對相等符號相反外，其余元素對應(yīng)相等。當(dāng)時時，，所以由(I)、(II)知本定理的結(jié)論成立。設(shè)，，……，是歐氏空間的子空間的一組基，記是秩為的的矩陣。若滿足定理2的條件，則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣，使（4）且所以（5）由（4）（5）兩式知，對、做同樣的旋轉(zhuǎn)變換，在把化為的同時，就將化成了，而的前個列向量屬于子空間。綜上所述可得化歐氏空間的子空間的一組基：為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法為：（1）由已知基為列向量構(gòu)成矩陣；（2）對矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換，化為，同時就被化為正交矩陣，這里是階上三角陣；（3）取的前個列向量便可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。顯然，上述方法是求子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法。下面，我們通過實(shí)例說明此方法的應(yīng)用。例求以向量，，為基的向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解矩陣對分塊矩陣依次左乘，， ＝,==得=則，取，，則就是由得到的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.1.2正交矩陣在化學(xué)中的應(yīng)用原子軌道的雜化是在一個原子中不同原子軌道的線性組合。在結(jié)構(gòu)化學(xué)原子軌道雜化理論中，原子中能級相近的幾個原子軌道可以相互混合，從而產(chǎn)生新的原子軌道。雜化過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，為新的雜化軌道，為參加雜化的舊軌道，為第個雜化軌道中的第個參加雜化軌道的組合系數(shù)。在雜化過程中，軌道數(shù)是守恒的，并且雜化軌道理論有三條基本原則：（1）雜化軌道的歸一性雜化軌道滿足；（2）雜化軌道的正交性；（3）單位軌道貢獻(xiàn)每個參加雜化的單位軌道，在所有的新雜化軌道中該軌道成分之和必須為一個單位，即=1。由雜化軌道原理，原子軌道的雜化，實(shí)際是由一組相互正交的單位基向量，通過線性變換轉(zhuǎn)化成為另一組相互正交的單位基向量。在線性代數(shù)中由一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣，那么原子軌道的雜化，就可以轉(zhuǎn)化為求出正交矩陣，作線性替換的過程。（A）雜化軌道。以甲烷分子的結(jié)構(gòu)為例，激發(fā)態(tài)碳原子的電子組態(tài)為：，這樣在形成分子時，激發(fā)態(tài)碳原子的一個2原子軌道和3個原子軌道進(jìn)行雜化形成4個等同的雜化軌道。設(shè)在激發(fā)態(tài)碳原子中四個能量相近的原子軌道、、、是一組相互正交的基向量，再通過線性變換將它們轉(zhuǎn)化成另一組相互正交的基向量、、、，那么線性變換系數(shù)矩陣A必為正交矩陣。=A為正交矩陣，分別是、、、在四個坐標(biāo)軸[的分量。在等性雜化中，四個基向量、、、在四個坐標(biāo)軸上的分量是相等的，即由四個能量相近的原子軌道、、、進(jìn)行雜化時形成四個等同的雜化軌道，在四個雜化軌道上，原子軌道和成份完全相同。根據(jù)這些理論，我們來求正交矩陣A。 =(取正值)因?yàn)槭堑刃噪s化軌道。=1 =（取正值）取符合條件的，，即取， 可以寫出四個雜化軌道的雜化軌道式為：（B）雜化軌道一個和一個原子軌道雜化形成兩個雜化軌道。同樣，線性變換的系數(shù)矩陣是正交矩陣。根據(jù)等性雜化理論，（取正值） 雜化軌道式為：3.1.3正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用任意剛體運(yùn)動都對應(yīng)一個正交矩陣,三維空間一條曲線經(jīng)過剛體運(yùn)動,其曲率和撓率是不變的,稱它們?yōu)檫\(yùn)動不變量。下面,我們來考察曲線作剛體運(yùn)動時的量。設(shè)曲線與曲線只差一個運(yùn)動,從曲線到曲線的變換為(3.3-1)其中是三階正交矩陣,是常數(shù)。對(3.1-1)兩邊求n階導(dǎo)數(shù)得從而有(3.3-2)因?yàn)锳是正交矩陣,所以也有(3.3-3)另一方面,由一階,二階,三階導(dǎo)數(shù),可作成矩陣兩邊取行列式,由得現(xiàn)在取可類似地討論。因?yàn)?3.3-4)(3.3-5)(3。3-2)代入(3。3-4)的右邊得（3.3-6）因(3.3-4)與(3.3-5)右邊相等,有(3.3-5)右邊與(3.3-6)式右邊相等得由正交矩陣的性質(zhì)2知,且由將上面三式左右分別平方相加=++=寫成矢函數(shù),即得于是我們可推得這里的分別是曲線的曲率與撓率。3.1.4正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用全體階正交矩陣作成的集合,記為,從代數(shù)和拓?fù)涞慕嵌葋砜?我們可以證明它構(gòu)成一拓?fù)淙?并且進(jìn)一步證明它是不連通的緊致lie群.(1)構(gòu)成拓?fù)淙涸谧C明構(gòu)成拓?fù)淙褐?先介紹一下相關(guān)的概念.定義2.2.1[3]設(shè)是任一集合,是的子集構(gòu)成的子集族,且滿足:結(jié)合與空集屬于;中任意個集的并集屬于;中任意有窮個集的交集屬于;稱是上的一個拓?fù)?集合上定義了拓?fù)?稱是一個拓?fù)淇臻g.定義2.2.2[3]如果是一個拓?fù)淇臻g,兵賦予群的機(jī)構(gòu),使得群的乘法運(yùn)算;求逆運(yùn)算;是連續(xù)映射,就稱為拓?fù)淙?根據(jù)上面的定義,我們分三步來實(shí)現(xiàn)證明全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成拓?fù)淙?<1>全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淇臻g.<2>全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一群.<3>全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙?證明<1>設(shè)表示所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合,以表示的一個代表元素.我們可以把等同于維歐氏空間,也就是將對應(yīng)于的點(diǎn).是點(diǎn)集的子集族,則和都屬于,中任意個集的并集屬于,中有窮個集的交集也屬于,可以驗(yàn)證構(gòu)成一拓?fù)淇臻g,從而成為一拓?fù)淇臻g.是所有實(shí)元素的階正交矩陣,所以是的子集合,于是由的拓?fù)淇梢哉T導(dǎo)出這個子集合的拓?fù)?從而構(gòu)成的一個子拓?fù)淇臻g.<2>10由于矩陣的乘法滿足集合律,所以2030所以正交矩陣作成的集合對于乘法運(yùn)算可構(gòu)成一群.<3>對于<1>中的拓?fù)淇臻g的拓?fù)?定義矩陣乘法設(shè),則乘積的個元素是現(xiàn)在具有乘積空間(個因子)的拓?fù)?對于任何滿足的,我們有投影映射,將和的乘積映為它的第個元素.現(xiàn)在是和的元素的多項(xiàng)式,因此連續(xù),投影映射是連續(xù)的,從而證明映射是連續(xù)的.因?yàn)榫哂械淖涌臻g拓?fù)?是的一個子拓?fù)淇臻g,且由正交矩陣的性質(zhì)<3>及上面的討論知,映射也是連續(xù)的.中的矩陣可逆,定義求逆映射,.由于合成映射,將映為的第個元素,由正交矩陣的性質(zhì)<2>,,所以,即,的行列式及的代數(shù)余子式都是內(nèi)元素的多項(xiàng)式,且,所以為連續(xù)的,而投影映射為連續(xù)的,所以求逆映射為連續(xù)的.至此,又是一個拓?fù)淇臻g,并且構(gòu)成群,對群的乘法與求逆運(yùn)算都是拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射,因而所有階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙?稱它為正交群.(2)是緊致lie群在證明之前我們知道以下有關(guān)的定義和定理.定義2.2.3[4]設(shè)為拓?fù)淙?的拓?fù)錇榫S實(shí)(或復(fù))解析流形,且映射為解析流形到上的解析映射,則稱為維lie群.定理2.2.1[4]歐氏空間內(nèi)的有界閉集是緊致子集.證明(所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合),對應(yīng)維歐氏空間的點(diǎn),可作為維歐氏空間.的行列式為元素的解析函數(shù),為中的開子集.這時,按誘導(dǎo)拓?fù)淇梢灾罏榻馕隽餍?且關(guān)于矩陣的乘法和求逆運(yùn)算均解析,故為維lie群.為的閉子集,按誘導(dǎo)拓?fù)錇樽恿餍?為lie群.為了證明緊致,根據(jù)定理內(nèi)容,只要證明等同于時,相當(dāng)于內(nèi)的有界閉集.設(shè),由于有對于任意的,定義映射則為系列各集合的交集由于都是連續(xù)映射,所以上述每個集合都是閉集.因此是的有界閉集,這就證明了的緊致性.在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是緊致的lie群,我們稱為緊lie群,所以是緊lie群.(3)是不連通的定義2.2.4[3]設(shè)是一個拓?fù)淇臻g,中存在著兩個非空的閉子集和,使和成立,則稱是不連通的.證明我們再設(shè)是所有行列式為1的正交矩陣構(gòu)成的集合,為所有行列式為-1的正交矩陣構(gòu)成的集合.因?yàn)槭沁B續(xù)映射,而我們知道單點(diǎn)集是的閉集,,在連續(xù)映射下,任何一個閉集的原象也是閉集,所以也為閉集,為的閉集,同理,我們也可以證明是閉集,因?yàn)?而和是閉集,有不連通的定義我們可以直接證明是不連通的.3.2矩陣?yán)碚撛谛辛惺接嬎阒械膽?yīng)用在行列式的計算過程中，應(yīng)用矩陣這一重要工具，可以使行列式的計算更簡便。下面我們可以通過下面幾個精彩的例題加以體會。例1設(shè)，計算行列式解:=令，，因?yàn)?，故即可逆。則又，這里是二階單位陣，注：此類題甚多，都可通過矩陣這一橋梁簡便得計算出行列式得值。下面在來看一道有關(guān)行列式不等式的證明題。例2設(shè)S為n階非零實(shí)反對稱陣，求證：。證：==因?yàn)閷?shí)半正定陣，故存在正交陣使而=例3的特征根之模長均小于1，求證：證：首先沒有零特征值，否則可逆陣使=1為的特征根，這與題設(shè)矛盾設(shè)，，。即，故即注：將矩陣對角化，可簡化行列式的計算。例4設(shè)為階方陣，為的伴隨矩陣，證明：（1）（2）證：（1），當(dāng)時，有。當(dāng)時，，故成立。（2）時，若，就記(行列式的值是一實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的0次冪等于1)，這時結(jié)論成立，若，當(dāng)然結(jié)論也成立，因而我們設(shè)時，，故若，有，，即原結(jié)論成立。注：在解答第二問的過程中，巧妙的應(yīng)用矩陣?yán)碚摽墒诡}目的解答豁然清晰。在許多有關(guān)計算行列式的問題中，巧妙的運(yùn)用矩陣?yán)碚撛诮獯疬^程中會收到意想不到的效果，是計算行列式的重要的工具。3.3矩陣在線性方程組理論中應(yīng)用若矩陣的m個行向量分別為。則下列運(yùn)算稱為矩陣A的初等行運(yùn)算或初等行變換：(i)互換矩陣的任意兩行，記為，稱其為型初等行變換；(ii)一行元素同乘一個非零常數(shù)記為，稱其為型初等行變換；(iii)將第p行元素同乘一個非零常數(shù)后，加給第q行，記為，稱其為型初等行變換。我們利用矩陣的初等行運(yùn)算往往可以解決一些許多問題，例如矩陣方程求解、矩陣求逆和矩陣的行（列）空間的基向量構(gòu)造等問題，而這些問題的解決常常都需要應(yīng)用矩陣的初等行運(yùn)算把矩陣化為階梯型矩陣。下面請看一個簡單的例題，使我們能更深刻的直觀的體會到矩陣的行初等變換的作用。例5利用初等行變換，將矩陣化為階梯型矩陣。解：利用定義的初等行變換，易將上矩陣化簡為此即為階梯型矩陣，而且從該矩陣中，我們很容易可知該矩陣的秩為3.我們下面來討論如何利用初等行變換，對矩陣方程求解。對于一個矩陣方程，其增廣矩陣為階矩陣。若對增廣矩陣使用初等行變換，使得最左邊變成一個單位矩陣，則變換后的增廣矩陣的第列即給出原矩陣方程的解，這種方法稱為高斯消去法。例6用高斯消去法解線性方程組解：設(shè)其增廣矩陣為，對實(shí)施初等行變換有即通過高斯消去法得到方程組的解為一般地，線性方程組用矩陣形式可記為的形式。其中,，對于線性方程組有如下結(jié)論：1.當(dāng)線性方程組有解；2.當(dāng)時，有無窮多組解；3.如果方程組（是n階方陣）有唯一解，則A必是可逆矩陣；4.方陣為不可逆矩陣方程組有非零解；5.當(dāng)時，必有個線性無關(guān)的解。例7取什么值時，線性方程組有解？在有解的情形，求一般解。解：當(dāng)或時，，，方程組無解。當(dāng)且時，，方程組有無窮多解。同解方程組為一般解為例8設(shè)齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩為，證明：方程組的任意個線性無關(guān)的解都是它的一個基礎(chǔ)解系。證：設(shè)為方程組得一個基礎(chǔ)解系。是方程組的任意個線性無關(guān)的解向量，那么，向量組的秩仍為，都是向量組的極大線性無關(guān)組，所以等價，所以也是方程組得基礎(chǔ)解系。例9求證：方程有解的充分必要條件為從一定推出證明：設(shè)的解為，故，設(shè)因?yàn)?，與兩方程組同解，與的秩相等，從而與的秩相等，因而有解。3.4矩陣在二次型理論中的應(yīng)用將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時，可通過矩陣的初等變換法，先寫出二次型對應(yīng)的矩陣,然后對作初等變換，把化成對角陣，同時，在判斷一個二次型是正定的，負(fù)定，或不定型時，等價于判斷是何種類型的矩陣。為何種矩陣，可通過我們掌握的一系列等價命題加以判斷。例10化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。解：作非退化的線性替換可得標(biāo)準(zhǔn)形。下面我們來看一道很有特色的題目，利用通過分塊矩陣的處理，從而較容易的判定一個矩陣的正定性。例11設(shè)。求證：矩陣。證時，結(jié)論顯然成立。時，令，則所以為正定矩陣，從而為正定矩陣。所以為正定，從而正定，即正定例12設(shè)為階正定陣，試證：其中為A的主對角元素。證：設(shè)，其中為A的n-1階順序主子陣，A正定，正定，存在，于是兩邊取行列式得正定，正定，，由上式，同理。參考文獻(xiàn)[1]宋國際.論正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用[J].河北旅游職業(yè)學(xué)院學(xué)報,2010,01:58-60.[2]郭志博,張燕.正定矩陣在最優(yōu)化的凸規(guī)劃和函數(shù)極值點(diǎn)問題中的應(yīng)用[J].科技信息,2010,10:121+123.[3]鄧化宇.鄰接矩陣在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].科技信息,2010,23:177+158.[4]王濤.矩陣在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2010,03:101-103.[5]朱用文,王燕,侯汝臣.正定矩陣在函數(shù)極值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2010,21:249-250.[6]羅均平,于偉,李冬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