統(tǒng)計學(xué)-第5章 概率與概率分布

第5章概率與概率分布作者：中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計學(xué)第5章概率與概率分布§5.1隨機(jī)事件及其概率§5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則§5.3離散型隨機(jī)變量及其分布§5.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布學(xué)習(xí)目標(biāo)定義試驗、結(jié)果、事件、樣本空間、概率描述和使用概率的運(yùn)算法則定義和解釋隨機(jī)變量及其分布計算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計算離散型隨機(jī)變量的概率和概率分布計算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率(正態(tài)分布概率)§5.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件的幾個基本概念事件的概率概率計算的幾個例子隨機(jī)事件的幾個基本概念試驗

(experiment)在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果事件的概念事件(event)：隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)必然事件(certainevent)：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件與樣本空間基本事件(elementaryevent)一個不可能再分的隨機(jī)事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例如：點(diǎn)數(shù)大于2，奇數(shù)點(diǎn)樣本空間(eampleSpace)一個試驗中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗中，

{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，

{正面，反面}事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的包含)AB

B

A

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或A

B或B

A事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的并或和)

事件A和事件B中至少有一個發(fā)生的事件稱為事件A與事件B

的并。它是由屬于事件A或事件B的所有的樣本點(diǎn)組成的集合，記為A∪B或A+BBA

A∪B事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的交或積)AB

A∩B

事件A與事件B同時發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB事件的關(guān)系和運(yùn)算

(互斥事件)AB

A

與B互不相容

事件A與事件B中，若有一個發(fā)生，另一個必定不發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥的，否則稱兩個事件是相容的。顯然，事件A與事件B互斥的充分必要條件是事件A與事件B沒有公共的樣本點(diǎn)，B∩A

為空事件的關(guān)系和運(yùn)算

(逆或?qū)α⑹录?A

A

一個事件B與事件A互斥，且它與事件A的并是整個樣本空間，則稱事件B是事件A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)所組成的集合，記為A事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的差)

A-BAB

事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差，它是由屬于事件A而不屬于事件B的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，記為A-B

事件的關(guān)系和運(yùn)算

(事件的性質(zhì))

設(shè)A、B、C為三個事件，則有交換律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)例如，盒中有10個編了號的零件，從中任取一個，事件A表示“抽到奇數(shù)號”；事件B表示“抽到編號小于6”；事件C表示“抽到編號小于9的偶數(shù)號”；則

=A+B=AB=AC=A-B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}{1，2，3，4，5，7，9}{1，3，5}

{7，9}事件的概率事件的概率

(probability)事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率定義概率的古典定義

如果某一隨機(jī)試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n

的比值，記為概率的古典定義

(例題分析)【例】某鋼鐵公司所屬三個工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中隨機(jī)抽取1人，問：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計煉鋼廠煉鐵廠軋鋼廠4000320090018001600600620048001500合計8500400012500概率的古典定義

(例題分析)解：(1)用A表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則

(2)

用B表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則概率的古典定義

(例題分析)一箱產(chǎn)品共有60件（其中有3件次品），求抽出的兩件中恰有一件次品的概率。概率的古典定義

(例題分析)一箱產(chǎn)品共有60件（其中有3件次品），求抽出的兩件中恰有一件次品的概率。解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此解：樣本空間中基本事件總數(shù)為從60件產(chǎn)品中任抽兩件有種抽法。設(shè)A=任抽兩件恰有一件為次品，則A中包含的基本事件數(shù)為。因此概率的統(tǒng)計定義

在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為事件的概率

例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗的次數(shù)正面/試驗次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125概率的統(tǒng)計定義

(例題分析)【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過規(guī)定指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，試問該廠第一天用電量超過指標(biāo)的概率。解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗，試驗A表示用電超過指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計定義有主觀概率定義對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗人為確定概率是一個決策者對某事件是否發(fā)生，根據(jù)個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷§5.2概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則概率的性質(zhì)概率的加法法則條件概率與獨(dú)立事件概率的性質(zhì)非負(fù)性對任意事件A，有0

P1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P(

)=1；P(

)=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有P

(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)

法則一兩個互斥事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設(shè)A和B為兩個互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(例題分析)【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一名職工，計算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率解：用A表示“抽中的為煉鋼廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機(jī)抽取一人為煉鋼廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為概率的加法法則

(additiverule)

法則二

對任意兩個隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

概率的加法法則

(例題分析)【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報紙，該地成年人中有20%讀甲報紙，16%讀乙報紙，8%兩種報紙都讀。問成年人中有百分之幾至少讀一種報紙。解：設(shè)A＝{讀甲報紙}，B＝{讀乙報紙}，C＝{至少讀一種報紙}。則

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28條件概率與獨(dú)立事件條件概率

(conditionalprobability)

在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

P(B)P(AB)P(A|B)=條件概率的圖示

事件A

B及其概率P(A

B)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生概率的乘法公式

(multiplicativerule)用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A、B為兩個事件，若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率的乘法公式

(例題分析)【例】設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

事件的獨(dú)立性

(independence)一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率，則稱兩個事件獨(dú)立若事件A與B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此時概率的乘法公式可簡化為

P(AB)=P(B)·P(B)推廣到n個獨(dú)立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)事件的獨(dú)立性

(例題分析)【例】某工人同時看管三臺機(jī)床，每單位時間(如30分鐘)內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為0.85。若機(jī)床是自動且獨(dú)立地工作，求（1）在30分鐘內(nèi)三臺機(jī)床都不需要看管的概率（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)床需要看管的概率

解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺機(jī)床不需要看管的事件，A3

為丙機(jī)床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)

P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2

A3)=P(A1)

P(A2)

P(

A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108全概公式

(例題分析)【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個是次品的概率。

解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有全概公式

(例題分析)全概公式

設(shè)事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=

（滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組），且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對任意事件B，有我們把事件A1，A2，…，An

看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An

之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式貝葉斯公式

(例題分析)【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率

解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：貝葉斯公式

(逆概公式)與全概公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，幫助我們確定引起事件發(fā)生最可能的原因設(shè)n個事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=

(滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組)，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則§5.3離散型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量的概率分布條件概率與獨(dú)立事件隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量

(randomvariables)一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X

取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)隨機(jī)變量X

取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X

00

X100X

0離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示，該表格稱為X的概率分布X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0

1

2

3P(X=xi)

pi0.050.100.550.30離散型隨機(jī)變量的概率分布

(0—1分布)

一個離散型隨機(jī)變量X只取0，1兩個可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示列出隨機(jī)變量取這兩個值的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(0—1分布)

【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0

1P(X=xi)=pi0.05

0.95離散型隨機(jī)變量的概率分布

(均勻分布)

一個離散型隨機(jī)變量取各個值的概率相同列出隨機(jī)變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)及其出現(xiàn)各點(diǎn)的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布

(均勻分布)

【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi1

2

3

45

6P(X=xi)=pi1/61/6

1/6

1/61/6

1/601/6P(x)1x23456離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計算公式為離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計算公式為離散型隨機(jī)變量的方差

(例題分析)【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為如下。計算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi1

2

3

45

6P(X=xi)=pi1/61/6

1/6

1/61/6

1/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：§5.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布概率密度與分布函數(shù)正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率概率密度函數(shù)

密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x

及其頻數(shù)f(x)值(值,頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx概率密度函數(shù)

在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù)x1

<x2，P(x1<X

x2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab概率是曲線下的面積分布函數(shù)

(distributionfunction)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于

x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為均勻分布均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱X在區(qū)間[a,b]上均勻分布數(shù)學(xué)期望和方差分別為

xf(x)ba正態(tài)分布正態(tài)分布

(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2.

經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)xf(x)概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-

<x<

)

=總體均值正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)在x

的上方，即f(x)>=0正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值

，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)正態(tài)分布是一個分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值

的標(biāo)準(zhǔn)差

來區(qū)分。

決定曲線的高度，

決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對于均值

對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會與橫軸相交正態(tài)曲線下的總面積等于1隨機(jī)變量的概率由曲線下的面積給出

和

對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormaldistribution)一般的正態(tài)分布取決于均值

和標(biāo)準(zhǔn)差

計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表