專題02 等腰三角形的存在性問題【有答案】

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專題二等腰三角形的存在性問題【考題研究】近幾年各地的中考數(shù)學(xué)試題中，探索等腰三角形的存在性問題頻頻出現(xiàn)，這類試題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思精巧，要求學(xué)生要有較高的分析問題的能力和解決問題的能力，這類問題符合課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要求?！窘忸}攻略】在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．【解題類型及其思路】解題類型：動(dòng)態(tài)類型：1.一動(dòng)點(diǎn)類型問題；2.雙動(dòng)點(diǎn)或多動(dòng)點(diǎn)類型問題背景類型：1.幾何圖形背景；2.平面直角坐標(biāo)系和幾何圖形背景解題思路：幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算；代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．【典例指引】類型一【二次函數(shù)綜合題中根據(jù)條件判定三角形的形狀】典例指引1．拋物線與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（1，0），與軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)M是其頂點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）第一象限拋物線上有一點(diǎn)D,滿足∠DAB=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）直線(﹣3＜＜﹣1)與x軸相交于點(diǎn)H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，P．證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形.【解析】試題分析：（1）把B、C的坐標(biāo)代入，解方程組即可得到結(jié)論；（2）令y=0，求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AD交y軸于點(diǎn)N，求出求直線AN的解析式，與拋物線聯(lián)立成方程組，解方程組，即可得到D的坐標(biāo)；（3）求出直線AM、AC的解析式，當(dāng)x=t時(shí)，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，由HE+EF﹣FP=＞0，得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．試題解析：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）令y=0，得：，解得：，，∴A（﹣3，0），B（1，0），設(shè)直線AD交y軸于點(diǎn)N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），可求直線AN的解析式為y=x+3，聯(lián)立，解得：或，∴D的坐標(biāo)為（2，5）；（3）M（﹣1，﹣4），可求直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，∵當(dāng)x=t時(shí)，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，∵HE+EF﹣FP=＞0，∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．【名師點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，難度較大．解答第（2）問的關(guān)鍵是：利用∠DAB=45°，找出直線AN與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；解答第（3）問的關(guān)鍵是：用含t的代數(shù)式表示出HE，HF，HP，EF的長．【舉一反三】（2020·江西初三期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）當(dāng)a=-時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-，）．【解析】【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP=PM時(shí)，P位于CM的垂直平分線上．求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．②當(dāng)CM=MP時(shí)，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點(diǎn)）．③當(dāng)CM=CP時(shí)，因?yàn)镃的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)．【詳解】(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(?3,0)，∴解得：.∴所求拋物線解析式為：y=?x2?2x+3；(2)∵拋物線解析式為：y=?x2?2x+3，∴其對稱軸為，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,a)，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C(0,3),M(?1,0)∴當(dāng)CP=PM時(shí),(?1)2+(3?a)2=a2,解得a=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：；∴當(dāng)CM=PM時(shí),(?1)2+32=a2,解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；∴當(dāng)CM=CP時(shí),由勾股定理得：(?1)2+32=(?1)2+(3?a)2，解得a=6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4(?1,6).綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為或或P(?1,6)或；(3)過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,?a2?2a+3)(?3<a<0)∴EF=?a2?2a+3，BF=a+3，OF=?a∴∴當(dāng)a=時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為.類型二【利用二次函數(shù)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)】典例指引2．（2019·山東初三期末）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).（l）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖l，若點(diǎn)為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在軸上是否存在一點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）最大值為，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）存在符合條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，或或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式即可得到答案；（2）設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用求出解析式即得到面積的最大值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）存在，分以點(diǎn)C、A為頂點(diǎn)及線段AC為底邊三種情況，分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）由題知：，解得：∴所求拋物線表達(dá)式為（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)設(shè)∴，，，∴∴當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（3）連接①當(dāng)點(diǎn)為頂點(diǎn)，時(shí)，此時(shí)為底邊的垂直平分線，滿足條件的點(diǎn)，與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴點(diǎn)坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)為頂點(diǎn)，時(shí)，在中，∵，，由勾股定理得：，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧，交軸于兩點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)，此時(shí)它們的坐標(biāo)分別為，③當(dāng)為底邊時(shí)，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)垂直的垂直平分線交軸于點(diǎn)，過中點(diǎn)，∵，∴∴∴，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述存在符合條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，或或【名師點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法，最值問題的確定需將所求問題列出解析式并配方為頂點(diǎn)式，即可得到答案；（3）是圖形中存在等腰三角形問題，此類問題需分三種情況進(jìn)行討論，依次求出點(diǎn)的坐標(biāo).【舉一反三】（2019·廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)三鑫雙語學(xué)校初三期中）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BCF的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由．【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（﹣4，﹣12）；（3）點(diǎn)Q有坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）將A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)y＝ax2+bx+c即可；（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設(shè)F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數(shù)式表示出△BCF的面積，用函數(shù)的思想即可推出結(jié)論；（3）此問要分BQ＝BF，QB＝QF，F(xiàn)B＝FQ三種情況進(jìn)行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進(jìn)一步寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數(shù)y＝ax2+bx+c，得，解得，，∴拋物線解析式為y＝x2+3x﹣8；（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴yBC＝﹣x﹣8，設(shè)F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，△FBC的面積有最大值，此時(shí)F（﹣4，﹣12），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（﹣4，﹣12）；（3）存在點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：①如圖2﹣1，當(dāng)BQ＝BF時(shí)，由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，解得，m1＝，m2＝∴Q1（0，），Q2（0，）；②如圖2﹣2，當(dāng)QB＝QF時(shí)，由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解題，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；③如圖2﹣3，當(dāng)FB＝FQ時(shí)，由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；設(shè)直線BF的解析式為y＝kx+b，將B（﹣8，0），F(xiàn)（﹣4，﹣12）代入，得，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴yBF＝﹣3x﹣24，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣24，∴點(diǎn)B，F(xiàn)，Q重合，故Q5舍去，∴點(diǎn)Q有坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．類型三【確定滿足等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間】典例指引3．（2018濟(jì)南中考）如圖1，拋物線y=-316x2平移后過點(diǎn)A（8，,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對稱軸與x軸相交于點(diǎn)（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S陰影（2）如圖2，直線AB與y軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，∠PMN為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N，設(shè)OM=t，試探求：①t為何值時(shí)ΔMAN為等腰三角形；②為何值時(shí)線段PN的長度最小，最小長度是多少．【答案】（1）平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-316x2+bx，=12；（2）①【解析】【分析】（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-316x（2）作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，①分當(dāng)MN=AN時(shí)，當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)MN=MA時(shí)，三種情況討論可得△MAN為等腰三角形時(shí)t的值；②由MN所在直線方程為y=t6x-t26，與直線AB的解析式y(tǒng)=﹣x+6聯(lián)立，得【詳解】（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-將點(diǎn)A（8，,0）代入，得y=-316所以頂點(diǎn)B（4,3），所以S陰影=OC?CB=12；（2）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得8m+n=04m+n=3，解得：m=-所以直線AB的解析式為y=-①當(dāng)MN＝AN時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8+t2，縱坐標(biāo)為由三角形NQM和三角形MOP相似可知NQOM=MQOP,得當(dāng)AM＝AN時(shí)，AN＝8-t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ=358-t，由三角形NQM和三角形MOP相似可知NQOM=MQ解得：t＝12（舍去）；當(dāng)MN＝MA時(shí)，∠MNA=∠MAN<45°故故t=②由MN所在直線方程為y=t6得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為XN=72+2t29+2t，即t2﹣xNt+36﹣x由判別式△=x2N﹣4（36﹣92xN）≥0，得xN≥6或xN≤又因?yàn)?＜xN＜8，所以xN的最小值為6，此時(shí)t=3，當(dāng)t=3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6，），此時(shí)PN取最小值為152【名師點(diǎn)睛】本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形平移變換、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.【舉一反三】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．點(diǎn)D從C出發(fā)，沿線段CO以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作OC的垂線交BC于點(diǎn)E，作EF∥OC，交拋物線于點(diǎn)F．（1）求此拋物線的解析式；（2）小明在探究點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，EF長度可看作O；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，EF長度也可以看作O，于是他猜想：設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)位置時(shí)，當(dāng)線段EF最長，你認(rèn)為他猜想是否正確，為什么？（3）連接CF、DF，請直接寫出△CDF為等腰三角形時(shí)所有t的值．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF最長（3）當(dāng)t=2或52或3時(shí)，△【解析】【分析】（1）由于已知拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)E（t，-t+3），接著表示出D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定EF最大時(shí)的t的值，從而判斷點(diǎn)D是否為OC的中點(diǎn)；

（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3）和利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分類討論：當(dāng)CD=CF或FC=FD或DC=DF時(shí)得到關(guān)于t的方程，接著分別解關(guān)于t的方程即可．【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a?1?（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；（2）他猜想正確．理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C（0，3），B（3，0）代入得n=33m+n=0，解得m=-1n=3，則直線BC的解析式為y=設(shè)E（t，﹣t+3），則D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+9當(dāng)t=32時(shí)，EF最大，最大值為9此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，32所以點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF最長；（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2，CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2，DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2，當(dāng)CD=CF時(shí)，即t2=t2+（﹣t2+2t）2，解得t1=0，t2=2；當(dāng)FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=52當(dāng)DC=DF時(shí)，即t2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=3；綜上所述，當(dāng)t=2或52或3時(shí)，△

【新題訓(xùn)練】1．（2020·江西初三）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(﹣2，﹣4)，直線x=﹣2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=﹣x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=﹣2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到點(diǎn)A時(shí)停止移動(dòng)．（1）線段OA所在直線的函數(shù)解析式是；（2）設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，問：當(dāng)m為何值時(shí)，線段PA最長？并求出此時(shí)PA的長．（3）若平移后拋物線交y軸于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)Q使得△OMQ為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=2x；（2）當(dāng)m=1時(shí)，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)【詳解】解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，所以直線OA的解析式為y=2x；故答案為y=2x；（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m），（﹣2≤m＜0），∴平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1∴當(dāng)m=1時(shí)，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，理由如下：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，則Q（0，﹣m2+2m），∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，當(dāng)OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5﹣2）；當(dāng)OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，則OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8）；當(dāng)QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，∵OQ∥AB，∴∠QOF=∠BAO，∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5﹣2）或（0，﹣8）．2．（2018·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為．（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（﹣1，1）；當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．3．（2016·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）請直接寫出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖（1），在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．【詳解】（1）當(dāng)中y=0時(shí)，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當(dāng)中x=0時(shí)，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點(diǎn)D（﹣1，4）．（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時(shí)，x=，∴當(dāng)△CDE的周長最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c，則有：，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當(dāng)∠PAF=90°時(shí)，P（m，﹣m﹣3），∵點(diǎn)P在拋物線上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；②當(dāng)∠AFP=90°時(shí)，P（2m+3，0）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；③當(dāng)∠APF=90°時(shí)，P（m，0），∵點(diǎn)P在拋物線上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．綜上可知：在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（1，0）．4．（2019·廣東廣州市第二中學(xué)初三）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C，D為BC的中點(diǎn)，直線AD與y軸交于E點(diǎn)，與拋物線y＝x2＋bx＋c交于第四象限的F點(diǎn)．（1）求該拋物線解析式與F點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①問EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此時(shí)t的值．【答案】（1）y＝x2＋2x＋3，F(xiàn)(6，-3)（2）①有，t=3；②，，1，【詳解】（1）∵矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C∴∴∴y＝x2＋2x＋3設(shè)直線AD的解析式為∵A(4，0)、D(2，3)∴∴∴∵F點(diǎn)在第四象限，∴F(6，-3)（2）∵E(0，6)∴CE=CO連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P′，當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到H′時(shí)，EP+PH+HF的值最小.設(shè)直線CF的解析式為∵C(0，3)、F(6，-3)∴∴∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴H′(3，0)∴CP=3∴t=3如圖1，過M作MN⊥OA交OA于N∵△AMN∽△AEO，∴∴∴AN=t，MN=I．如圖1，當(dāng)PM=HM時(shí)，M在PH的垂直平分線上，∴MN=PH∴MN=∴t=1II．如圖2，當(dāng)PH=HM時(shí)，MH=3，MN=，HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中，，，（舍去），III．如圖3．如圖4，當(dāng)PH=PM時(shí)，PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，，25t2-100t+64=0，∴，，1，5．（2019·湖南中考模擬）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當(dāng)BP=BC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．6．（2018·山東中考模擬）如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到（2，1）時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形CDBF的面積最大=．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x軸于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣a+2），F(xiàn)（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E（2，1）．7．（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）點(diǎn)P（4，6）．【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）△PDE為等腰直角三角形，

則PE=PD，

點(diǎn)P（m，-m2+2m+6），

函數(shù)的對稱軸為：x=2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4-m，

則PE=|2m-4|，

即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，

解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，6）或（5-，3-5）．8．（2018·廣東中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【詳解】（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）由二次函數(shù)可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)E（m，），當(dāng)DC=CE時(shí)，，即，解得，（舍去），∴E（，）；當(dāng)DC=DE時(shí)，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當(dāng)EC=DE時(shí)，，解得=，∴E（，）．綜上，存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，∵△PBD的面積===，∴當(dāng)m=時(shí)，△PBD的最大面積為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．9．（2019·四川中考模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3，頂點(diǎn)為M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ＝m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；（3）探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；（3）線段BM上存在點(diǎn)N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形.【詳解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴,解得,∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，則有,解得,∴直線MB的解析式為y=﹣2x+6,∵PQ⊥x軸，OQ=m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）S四邊形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO?CO+（PQ+CO）?OQ（1≤m＜3）=×1×3+（﹣2m+6+3）?m=﹣m2+m+；（3）線段BM上存在點(diǎn)N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形,CM=，CN=，MN=①當(dāng)CM=NC時(shí)，，解得x1=，x2=1（舍去）此時(shí)N（，），②當(dāng)CM=MN時(shí)，，解得x1=1+，x2=1-舍去），此時(shí)N（1+，4﹣）.③當(dāng)CN=MN時(shí)，,解得x=2，此時(shí)N（2，2）．10．（2019·甘肅中考模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當(dāng)n=時(shí)，PM最大=；②當(dāng)PM=PC時(shí)，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；當(dāng)PM=MC時(shí)，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3-，n2﹣2n﹣3=2-4，P（3-，2-4）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．11．（2019·安徽中考模擬）如圖，已知直線與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（不用說理）；若不存在，請說明理由.【答案】（1）所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）的面積有最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.【詳解】解（1）點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，，解得，所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是位于直線上方，.的面積,拋物線開口向下，又，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是.此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.12．（2018·江蘇中考模擬）（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）；（3）．【詳解】（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無解．當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣4）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴====．13．（2019·重慶中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對稱軸為直線，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，由，令x=2，則y=－3，∴點(diǎn)G為（2，－3），設(shè)直線AG為，∴，解得：，即直線AG為，設(shè)P（x，），則F（x，－x－1），PF．∵，∴當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）存在．∵M(jìn)N∥x軸，且M、N在拋物線上，∴M、N關(guān)于直線x=1對稱，設(shè)點(diǎn)M為（，）且，∴，當(dāng)∠QMN=90°，且MN=MQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，∴，即或，解得，（舍）或，（舍），∴點(diǎn)M為（，）或（，），∴點(diǎn)Q為（，0）或（，0），當(dāng)∠QNM=90°，且MN=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，同理可求點(diǎn)Q為（－，0）或（，0），當(dāng)∠NQM=90°，且MQ=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，過Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，則QE=MN，，∵方程有解，∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性知點(diǎn)Q為（1，0），綜上所述，滿足存在滿足條件的點(diǎn)Q，分別為（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．14．（2019·遼寧中考模擬）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（3）在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.【詳解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）設(shè)y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，﹣2）∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）15．（2020·浙江初三期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對稱軸分別交x軸、線段AC于點(diǎn)E、F．（1）求拋物線的對稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）連結(jié)AD，CD，求△ACD的面積；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE勻速向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，取△ACD一邊的兩端點(diǎn)和點(diǎn)P，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且P為頂角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的對稱軸x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面積為12；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，6）或（2，3）．【詳解】（1）對于拋物線y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），令x＝0，得到y(tǒng)＝6，∴C（0，6），∴拋物線的對稱軸x＝﹣＝2，A（6，0）．（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（2，8），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，將x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4∴F（2，4），∴DF＝4，∴＝＝12；（3）①如圖1，過點(diǎn)O作OM⊥AC交DE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°∴CP＝AP，△OEP為等腰直角三角形，∴此時(shí)AC為等腰三角形ACP的底邊，OE＝PE＝2．∴P（2，2），②如圖2，過點(diǎn)C作CP⊥DE于點(diǎn)P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝2，∴PD＝PC，此時(shí)△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，∴P（2，6），③如圖3，作AD的垂直平分線交DE于點(diǎn)P，則PD＝PA，設(shè)PD＝x，則PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴PE＝8﹣5=3，∴P（2，3），綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，6）或（2，3）．16．（2020·湖北初三期末）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，4），B（5，0）和原點(diǎn)O，P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA相較于點(diǎn)C．（1）求出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使射線OP平分∠AOy，若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在．請說明理由；（4）當(dāng)m＞0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為