求數(shù)列通項(xiàng)公式方法總結(jié)

基本數(shù)列通項(xiàng)公式及其求法等差數(shù)列對(duì)于一個(gè)數(shù)列｛an｝，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差,記為d；從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為Sn。那么，通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)*d,其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：a2=a1+d,a3=a2+d,a4=a3+d,````````an=an-1+d,將以上n-1個(gè)式子相加，便會(huì)接連消去很多相關(guān)的項(xiàng)，最終等式左邊余下an,而右邊則余下a1和n-1個(gè)d,如此便得到上述通項(xiàng)公式。此外，數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn=n*a1+n*(n-1)*d/2,其具體推導(dǎo)方式較簡(jiǎn)單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再?gòu)?fù)述。值得說(shuō)明的是，（Sn)/n=a1+(n-1)*d/2，也即，前n項(xiàng)的和Sn除以n后，便得到一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以d/2為公差的新數(shù)列，利用這一特點(diǎn)可以使很多涉及Sn的數(shù)列問(wèn)題迎刃而解。等比數(shù)列對(duì)于一個(gè)數(shù)列｛an｝，如果任意相鄰兩項(xiàng)之商（即二者的比）為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等比數(shù)列，且稱這一定值商為公比q；從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為Tn。那么，通項(xiàng)公式為an=a1*q(n-1)(即a1乘以q的（n-1)次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想：a2=a1*q,a3=a2*q,a4=a3*q,````````an=an-1*q,將以上（n-1)項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后，左邊余下an,右邊余下a1和(n-1)個(gè)q的乘積，也即得到了所述通項(xiàng)公式。此外，該數(shù)列前n項(xiàng)的和Tn=a1*(1-q(n))/(1-q).一階數(shù)列通項(xiàng)公式求法概念不妨將數(shù)列遞推公式中同時(shí)含有an和an+1的情況稱為一階數(shù)列，顯然，等差數(shù)列的遞推式為an=an-1+d,而等比數(shù)列的遞推式為an=an-1*q；這二者可看作是一階數(shù)列的特例。故可定義一階遞歸數(shù)列形式為：a(n+1)=A*an+B········☉,其中A和B為常系數(shù)。那么，等差數(shù)列就是A=1的特例，而等比數(shù)列就是B=0的特例。若干求法思路基本思路與方法：復(fù)合變形為基本數(shù)列（等差與等比）模型；疊加消元；連乘消元思路一：原式復(fù)合（等比形式）可令a(n+1)-ζ=A*(an-ζ)········①是原式☉變形后的形式，即再采用待定系數(shù)的方式求出ζ的值，整理①式后得a(n+1)=A*an+ζ-A*ζ,這個(gè)式子與原式對(duì)比可得，ζ-A*ζ=B即解出ζ=B/(1-A)回代后，令bn=an-ζ,那么①式就化為b(n+1)=A*bn,即化為了一個(gè)以（a1-ζ)為首項(xiàng)，以A為公比的等比數(shù)列，可求出bn的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式。思路二：消元復(fù)合（消去B）由a(n+1)=A*an+B········☉有an=A*a(n-1)+B··········◎☉式減去◎式可得a(n+1)-an=A*（an-a(n-1））······③令bn=a(n+1)-an后，③式變?yōu)閎n=A*b(n-1)等比數(shù)列，可求出bn的通項(xiàng)公式，接下來(lái)得到an-a(n-1)=f(n)(其中f(n)為關(guān)于n的函數(shù)）的式子，進(jìn)而使用疊加方法可求出an二階數(shù)列通項(xiàng)公式求法概念類比一階遞歸數(shù)列概念，不妨定義同時(shí)含有a(n+2)、a(n+1)、an的遞推式為二階數(shù)列，而對(duì)與此類數(shù)列求其通項(xiàng)公式較一階明顯難度大了。為方便變形，可以先如此詮釋二階數(shù)列的簡(jiǎn)單形式：a(n+2)=A*a(n+1)+B*an,（同樣，A，B常系數(shù)）求法基本思路類似于一階，只不過(guò)，在復(fù)合時(shí)要注意觀察待定系數(shù)和相應(yīng)的項(xiàng)原式復(fù)合：令原式變形后為這種形式a(n+2)-ψ*a(n+1)=ω(a(n+1)-ψ*an)將該式與原式對(duì)比，可得ψ+ω=A且-（ψ*ω）=B通過(guò)解這兩式可得出ψ與ω的值，令bn=a(n+1)-ψ*an,原式就變?yōu)閎(n+1)=ω*bn等比數(shù)列，可求出bn通項(xiàng)公式bn=f(n)，即