高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點(diǎn) 自主練透 第3講 復(fù)數(shù)與平面向量練典型習(xí)題 提數(shù)學(xué)素養(yǎng)（含解析）試題

第3講復(fù)數(shù)與平面向量一、選擇題1．若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2＋3i,1＋i)的實(shí)部與虛部之積為()A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i解析：選B.因?yàn)閑q\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以其實(shí)部為eq\f(5,2)，虛部為eq\f(1,2)，實(shí)部與虛部之積為eq\f(5,4).故選B.2．(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且滿(mǎn)足(a＋2b)⊥(a－b)，則x＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．1或eq\f(1,2)解析：選A.因?yàn)?a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因?yàn)橄蛄縜＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq\f(1,2)，故選A.3．(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))a，b為平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選B.設(shè)b＝(x，y)，則有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq\r(5)，|a|＝2eq\r(5)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)，故選B.4．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選A.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.5．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)解析：選A.由題意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).故選A.6．已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A.因?yàn)?1＋i)·z＝eq\r(3)i，所以z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3)i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(\r(3)＋\r(3)i,2)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選A.7．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝2，則a在a－b方向上的投影為()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)解析：選B.由向量的數(shù)量積公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝eq\f(a·（a－b）,|a－b|)＝eq\f(|a|2－a·b,\r(|a|2＋|b|2－2a·b)).又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝eq\f(4－（－2）,\r(4＋4－2×（－2）))＝eq\r(3)，故選B.8．在如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為線段BC上的點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的最小值為()A．12 B．15C．17 D．16解析：選B.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，4)，D(2，4)，設(shè)E(x，0)(0≤x≤2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是當(dāng)x＝1，即E為BC的中點(diǎn)時(shí)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))取得最小值15，故選B.9．(一題多解)(2019·貴陽(yáng)模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．8 B．12C．16 D．20解析：選D.法一：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則a·b＝0，a2＝16，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋a))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋\f(3,4)a＋\f(1,2)b))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)a＋\f(3,2)b))＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(3,2)a·b＝eq\f(5,4)a2＝20，故選D.法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，設(shè)AD＝t(t>0)，則B(4，0)，C(2，t)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝(4，0)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2，t）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))))＝(4，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)t))＝20，故選D.10．(一題多解)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為eq\f(π,3)，向量b滿(mǎn)足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是()A．eq\r(3)－1 B．eq\r(3)＋1C．2 D．2－eq\r(3)解析：選A.法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因?yàn)閍與e的夾角為eq\f(π,3)，所以不妨令點(diǎn)A在射線y＝eq\r(3)x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故選A.法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.設(shè)b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設(shè)a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射線OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故選A.11．(多選)下列命題正確的是()A．若復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復(fù)數(shù)B．z1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1＋z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z＝z(z是z的共軛復(fù)數(shù))D．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數(shù)單位)，它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y＝1解析：選BC.對(duì)于A，z1和z2可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若z1和z2是共軛復(fù)數(shù)，則相加為實(shí)數(shù)，不會(huì)為虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正確；對(duì)于D，由題可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))x＋y＝5，故D錯(cuò)誤．故選BC.12．(多選)已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點(diǎn)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))解析：選AC.如圖所示，設(shè)BC中點(diǎn)為E，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選AC.13．(多選)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，則()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC的面積為2eq\r(3)D．△ABC的面積為eq\r(3)解析：選AC.由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，則PD⊥BC，又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以PD＝eq\f(1,2)AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝1可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).二、填空題14．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1－i)2＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________．解析：因?yàn)閦＝－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－1＋i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)15．(2019·山東師大附中二模改編)已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________，a·(a＋b)＝________．解析：由題意，設(shè)向量a，b的夾角為θ.因?yàn)閨a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2eq\r(3)·cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(3),2).又因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,6).則a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6.答案：eq\f(π,6)616．(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝eq\f(1,2)(a＋b)，|d－c|＝eq\r(2)，則|d|的取值范圍是________．解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，則c＝(1，1)．設(shè)d＝(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝2，點(diǎn)(x，y)在以點(diǎn)(1，1)為圓心、eq\r(2)為半徑的圓上，|d|表示點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故|d|的取值范圍為[0，2eq\r(2)]．答案：[0，2eq\